Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 3
172 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
[ГЛ. 3 |
безразмерную |
характеристику |
|
|
pi, 1 |
|
|
бхС5у |
|
где Ox, cry соответственно стандарты X и Y. Характеристику г называют коэффициентом линей
ной корреляции или просто коэффициентом корреляции
случайных величин X и Y. |
Шварца, всегда |
Как это следует из неравенства |
|
- 1 < г < 1 . |
(3.148) |
Если X и Y взаимно независимы, |
то согласно (3.147) |
их коэффициент корреляции равен нулю.
Определим коэффициент корреляции в том случае,
когда Y является |
линейной функцией X: |
|
|||||
|
|
|
Y = |
аХ + |
Ь. |
(3.149) |
|
В этом |
случае Y |
= аХ -j- b, |
у — Y = а (X — X) и |
||||
/ (х , y)dx dy= б (у — ах |
b)f1 (x)dx — |
|
|||||
Поэтому |
находим |
|
|
|
= 6 (у — ах — b)f, (y)dy. |
||
|
|
|
|
|
|||
Рт, 1 = |
о о |
СО |
|
|
|
|
|
\ |
$ (x — X)(y — Y)f(x,y)dxdy = |
|
|||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
= |
§ |
а (х — X)2/х (х) dx = ав\, |
|
Оу = |
$ |
$ (У— Y)2f(x, y)dxdy = |
|
||||
|
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
|
|
= |
jj а2(х — X)2fi(x)dx |
а2Ох |
|
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
ау = |
| л | |
|
(3.150) |
|
так как стандарт всегда положителен. |
|
||||||
Следовательно, |
когда Y есть линейная функция X, то |
||||||
§ 48] |
МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА |
173 |
|
Коэффициент корреляции равен 1, если а |
0, и ра |
||
вен |
—1, если |
а < 0 . |
|
Отсутствие |
линейной статистической зависимости и |
||
функциональная линейная зависимость между X и Y — это крайние частные случаи. В общем случае между X и Y существует линейная статистическая зависимость и их коэффициент корреляции отличен от 0 и от + 1 : он за ключен в промежутке (—1, 1). Чем больше | г |, тем силь нее линейная статистическая зависимость между X и Y. Она положительная, если г 0, и отрицательная, если
г< 0 .
За д а ч а 70. Найти параметры двумерного нормаль ного распределения:
|
— |
- Q ( i , V). |
(3.152) |
||
/ (я, У) = |
|
|
|||
где |
2 я а 1 3 2 1 ^ 1 — р 2 |
|
|
|
|
|
|
( » - 1 )(у -У ) I |
|||
Q (*. у) = -рг-; |
(х -Ж г , (у-У )2 |
— 2р |
|||
3 l3 2 |
|
||||
Р е ш е н и е . |
Находим |
|
|
(3.153) |
|
|
(х~ХР |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
„ 2 |
|
|
|
|
|
2я1 |
(3.154) |
|
|
|
|
|
||
М У )= |
= — L = r '. |
. |
(3.155) |
||
|
-- 50 |
|
. |
* |
|
Таким образом, каждая из случайных величин X и Y |
|||||
распределена нормально, |
|
|
|
||
|
(Ti — Ох, й 2 = |
0 у . |
|
|
|
Найдем смешанный центральный момент второго порядка:
ооС»
Hi, i = 5 5 — (г/ — у ) / (а>г / ) =p<3i<32- (3.156)
—оо —оо
Равенство (3.156) показывает, что р есть коэффициент
корреляции X и Y.
Глава 4
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ИСТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
§49. Статистические коллективы
Пусть рассматриваются объекты, которые могут отли чаться друг от друга значением некоторой определенной характеристики, Всякое каким-то образом выделенное множество таких объектов называется статистическим коллективом (или генеральной совокупностью), а объекты,
в него входящие,— членами этого статистического кол лектива. Число членов статистического коллектива т называется объемом статистического коллектива. Харак теристика X, которая может принимать различные зна чения у различных членов коллектива, называется аргу ментом статистического коллектива.
Можно, например, рассматривать как статистический коллектив звездное скопление, считая аргументом массу (или температуру, или показатель цвета и т. д.) его чле нов-звезд. Можно также мысленно выделить как стати стический коллектив множество всех звезд спектрального класса В, входящих в состав Галактики, считая их све тимость (количество энергии, излучаемой в единицу времени) аргументом.
Примерами статистических коллективов будут мно жество частиц плазмы в некотором объеме с аргумен
том,— величиной заряда |
у частицы,— или множество |
всех молекул кислорода, |
находящихся в воздухе внутри |
данного помещения, с аргументом,— модулем скорости молекулы.
Пусть в статистическом коллективе значение аргу мента хг имеют mi членов, хг — т 2 членов и т. д., x h — mk
членов. Числа |
|
ти тг, . . ., mh |
(4.1) |
называются частотами соответственно |
значений |
хи хг, . . ., x h |
. (4.2) |
аргумента X. |
|
§ 49] |
СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ |
175 |
||
Если т — объем статистического коллектива, то, оче |
||||
видно, |
что |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 т{ =*т. |
|
(4.3) |
|
|
i—1 |
|
|
Величины |
|
|
|
|
|
mi |
m2 |
т /с |
(4.4) |
|
т |
’ • ’ |
т |
|
|
|
|||
называются относительными частотами значении аргу мента (4.2).
Очевидно, что если случайным образом извлечь из статистического коллектива один член, затем, после возвращения его обратно, снова случайно извлечь какойто член и т. д., то значения аргумента извлекаемых членов можно рассматривать как значения случайной величины. Если объем статистического коллектива ограничен, то эта случайная величина может быть только дискретной. Согласно классическому определению вероятность p t того, что случайная величина примет значение х ;, равна
относительной частоте аргумента т г .
Для изучения статистического коллектива исполь зуется аппарат, применяемый при исследовании случай ных величин.
Статистический коллектив определяется интеграль ным законом распределения аргумента, рассматриваемого
как случайная величина: |
|
|
F(*) = P ( X O ) = 2 |
2 гп,. |
(4.5) |
■Ti<X |
X.J<X |
|
Произведение
mF (х)
дает число членов коллектива со значениями аргумен тов, не превосходящими х. Аналогично,
S TYL• |
\ |
^ - i |
(х — Xi) |
(4-6) |
б {х — X i) = |
— |
2 |
||
г |
|
i |
|
|
176 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ [ГЛ. 4
есть плотность вероятности. Функцию |
|
|
X (х) = mf (X) = 2 |
(х — ^i) |
(4.7) |
i |
|
|
можно рассматривать как дифференциальный закон рас пределения аргумента с полной массой т. Величина
|
ь |
|
|
^х (х) dx |
(4.8) |
|
а |
|
дает число членов |
коллектива, аргумент |
которых за- |
ключей между а и |
Ь. |
|
Статистический коллектив характеризуется моментами распределения. В частности,
yr\ m. |
1 VI |
(4-9) |
= |
— 2l mixi |
|
i |
i |
|
является средним значением аргумента статистического коллектива, а
°о = 2 |
(xi — х0)2 = |
2 mi (*i — хо)2 |
(4-10) |
i |
|
i |
|
есть дисперсия аргумента. Часто их называют также сред ним и дисперсией статистического коллектива. Равенства (4.9) и (4.10) показывают, что если каждому члену стати стического коллектива (а не каждому значению аргумен та) присваивать свой номер, так что все mi = 1, то эти равенства должны быть записаны в виде
т |
|
= |
(4-И) |
i= l |
|
т |
|
ol = - ^ ^ ( X i - x 0)\ |
(4.12) |
i= l |
|
При такой записи среди значений жг могут быть и по вторяющиеся.
Статистический коллектив может иметь и бесконечно большой объем. Такой статистический коллектив счита