Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 3
№9] |
СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ |
177 |
ется заданным, если заданы функции распределения аргумента — плотность вероятности или интегральный закон распределения. Рассмотрим, например, статисти ческий коллектив — множество всех прямых, различным образом ориентированных в пространстве, в котором аргу ментом является угол между прямой и некоторой фикси рованной плоскостью. Объем этого статистического кол лектива бесконечен и даже несчетен. Аргумент в нем
может принимать любые значения в промежутке
Задать распределение аргумента в нем можно через плот ность вероятности. Выше мы показали, что если у рассма триваемых прямых все ориентации равновероятны, то
/ (a)da = cos a da . |
(4.13) |
(4.13) имеет смысл доли членов коллектива, аргумент которых заключен между а и а + da.
Если полностью определены все условия выполнения измерения некоторой величины — инструмент, лицо, про изводящее измерения, обстановка, то тем самым можно считать, что образовался статистический коллектив бес конечного объема, аргументом которого является резуль тат производимого измерения. Как отмечалось выше, плотность вероятности аргумента будет нормальной функ цией (3.119) с математическим ожиданием, равным ис тинному значению измеряемой величины, и стандартом, равным средней квдратической ошибке измерения. Мы будем говорить, что в таких статистических коллективах аргумент распределен непрерывно.
Статистический коллектив можно описывать также сле дующим способом. Допустим, что все значения, прини маемые аргументом статистического коллектива, заклю чены в промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток на к равных частей, выбрав к так, чтобы в каждую часть попало достаточно много значений аргумента. Положим
Если Ах мало, то / (х)Ах приближенно (тем точнее, чем меньше Ах) равно вероятности попадания случайной
178 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
1ГЛ. 4 |
величины в промежуток |
|
|
|
|
X---- |-Д х, x + |
- |- A x j. |
(4Д4) |
Когда Аж конечно, приближение в общем случае будет лучшим, когда ж совпадает с серединой промежутка. В таком случае плотность вероятности определяется из приближенного равенства
/ (ж) Аж = |
, |
(4.15) |
где mi — частота значении агрумента в данном интервале. Положив в равенстве (4.15) Ах = 1, мы видим, что плотность вероятности / (ж) приближенно равна вероят ности того, что случайная величина примет значение
в интервале
(4.16)
Для примера рассмотрим статистический коллектив звезд в окрестности Солнца, если аргументом служит абсолютная величина звезды М. Так как абсолютная
величина звезды однозначно |
определяет |
ее светимость, |
то функцию распределения |
абсолютных |
величин звезд |
кратко называют функцией светимости.
Из многих определений функции светимости приведем те, которые были получены П. П. Паренаго (табл. 4) и
В. Ж. Лейтеном (табл. |
5). |
|
|
|
Т а б л и ц а 4 |
|
|
Функция светимости Паренаго |
|||||
|
|
|||||
м |
НМ) |
м |
|
НМ) |
м |
НМ) |
- 6 |
0,00000013 |
+ |
4 |
0,017 |
+ 13 |
0,107 |
—5 |
0,00000126 |
+ |
5 |
0,024 |
+14 |
0,118 |
—4 |
0,0000048 |
+ |
6 |
0,033 |
+15 |
0,018 |
- 3 |
0,000019 |
+ |
7 |
0,036 |
+16 |
0,102 |
—2 |
0,000060 |
4- 8 |
0,031 |
+17 |
0,079 |
|
—1 |
0,000126 |
+ |
9 |
0,033 |
+18 |
0,049 |
+ 0 |
0,00051 |
+10 |
0,047 |
+ 19 |
0,020 |
|
+ 1 |
0,0023 |
+11 |
0,069 |
+ 20 |
0,0041 |
|
+ 2 |
0,0063 |
+12 |
0,100 |
+21 |
0,0008 |
|
+ 3 |
0,0078 |
|
|
|
|
|
S 49] СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ 179
Т а б л и ц а 5
Функция светимости Лейтена
м |
Д М ) - 100 |
м |
Д М ) -100 |
м |
Д М ) .100 |
- 0 ,5 |
0,009 |
8.5 |
3.6 |
17.5 |
6,7 |
+ 0 ,5 |
0,094 |
9.5 |
4.4 |
18.5 |
4,1 |
1.5 |
0,23 |
10.5 |
5.4 |
19.5 |
2.3 |
2.5 |
0,58 |
11.5 |
6,3 |
20.5 |
1.4 |
3.5 |
0,86 |
12.5 |
7.6 |
21.5 |
0,7 |
4.5 |
1,26 |
13.5 |
9.7 |
22.5 |
0,4 |
5.5 |
1,7 |
14.5 |
12,1 |
23.5 |
0,05 |
6.5 |
2,3 |
15.5 |
14,4 |
24.5 |
0,005 |
7.5 |
2,9 |
16.5 |
10,8 |
|
|
Как отмечалось выше, в таблицах4и5 плотность веро ятности / (М) приближенно равна доле звезд с абсолютной
величиной, заключенной в промежутке м - i м
Я -
Допустим, что табл. 4 и 5 дают истинное распределение по абсолютным величинам в двух каких-то статистических коллективах звезд. (На самом деле они являются двумя приближенными распределениями абсолютных величин звезд в окрестности Солнца.) Тогда имеется возможность при помощи моментов выполнить сравнения этих двух статистических коллективов. Нужно вычислить средние (Af0), стандарты (о0), асимметрии (As) и эксцессы (Ех).
Моменты относительно начала а (а удобно принять рав ными 14 или 15) вычисляются по формуле
>ч,а = 2 ( М - я )* /( М ), |
(4.17) |
м |
|
которая отвечает и равенству (2.48) и (2.49). Затем по фор мулам (2.63) и (2.65) — (2.67) определяются М 0, ц2, р,3
и р,4, и при помощи (2.89) и (2.92) асимметрия и эксцесс. Результаты вычислений для функций светимости Па-
ренаго и Лейтена имеют вид
|
Функция |
Функция |
|
Паренаго |
Лейтена |
Мо |
+ 12,73 |
+13,55 |
бо |
3,850 |
3,873 |
As |
— 0,708 |
— 0,610 |
Ех |
0,0059 |
+ 0,230 |
180 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
[ГЛ. 4 |
|
Стандарты обеих функций |
практически одинаковы. |
|
У функции Паренаго меньше средняя абсолютная |
вели |
||
чина (больше средняя светимость), больше по абсолют ной величине асимметрия и меньше эксцесс.
Если члены статистического коллектива могут отли чаться друг от друга значениями двух или более характе ристик, то такой статистический коллектив называется многомерным. Многомерный статистический коллектив может изучаться при помощи аппарата, применяемого для исследования случайных векторов.
§ 50. Случайная выборка из статистического коллектива
Если из статистического коллектива объема т случай ным образом извлечь один член, затем, не возвращая его, второй член и т. д., то полученная таким образом сово купность значений
Хг, Х а, . . . , Х п |
(4.18) |
называется случайной безвозвратной выборкой объема п.
Очевидно, что п т.
Если каждый раз после извлечения члена статистиче ского коллектива записывать значение аргумента и воз вращать член коллектива обратно, то совокупность (4.48)
называется случайной возвратной выборкой объема п.
В этом случае значение п не ограничено.
Если статистический коллектив имеет бесконечно большой объем, то понятия безвозвратной и возвратной выборки совпадают.
В дальнейшем нас будут интересовать случайные вы борки из статистического коллектива бесконечно боль шого объема. Пусть плотность вероятности аргумента в нем есть / (х). Случайную выборку (4.18) можно рассма тривать как случайный n-мерный вектор. Все компоненты этого вектора имеют одну и ту же плотность вероятности и взаимно независимы. Поэтому плотность вероятности случайного вектора (4.18) определяется равенством
П |
|
/ п {Хи Х2, . . . , Хп) = П / (xt). |
(4.19) |
t=l
§ 50] СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА 181
Можно рассматривать различные характеристики слу
чайной выборки, например, |
|
выборочную сумму |
||||
|
|
и = |
П |
хь |
|
|
|
|
2 |
(4.20) |
|||
выборочное |
среднее *) |
|
1=1 |
|
|
|
|
|
п |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
|
S |
X о |
(4.21) |
выборочную дисперсию |
|
i = |
l |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
п |
|
|
|
|
|
° 2 = |
4 - 2 |
|
№ |
- ^ ) 2- |
(4-22) |
|
|
2=1 |
|
|
|
|
наименьший |
элемент |
выборки — min (Xi, |
Х2, . . ., Х п), |
|||
наибольший элемент выборки — max (Xi, Х2, . . ., Х„) и другие.
Эти характеристики сами являются случайными вели
чинами. |
Любая |
функция выборки т) (Хь Х2, . . ., Х п) |
есть случайная |
величина. |
|
Пусть |
х0 — математическое ожидание аргумента в |
|
статистическом коллективе. Определим математическое ожидание выборочного среднего:
ПП
М Х=*м (±% X .) = -± - 2 мх{= ± п х 0= (4.23)
' г — 1 ' i = l
Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию аргумента статистического коллектива.
Пусть Со — дисперсия аргумента в статистическом коллективе. Найдем дисперсию выборочного среднего
П
4 = м (X - M X f = м ( Х - х0у = м Г- i -S ( - *о)Т=
|
n |
L i = l |
|
|
|
— |
2 M (Xj — x ay |
2 2 ^ l(Xj — £o) (Xj —a:0)]. |
|
i=l |
гф) |
*) Отметим, что, в отличие от предыдущих глав, X здесь обо
значает не математическое ожидание аргумента X , а среднее но
индивидуальной выборке, т. е. случайную величину.