Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

сдвига — в промежутке [m2, m2 + dm2], равна вероятно­ сти первого события, помноженной на вероятность того,

=N' (mi) dm1e-TjV(m!)TiV' (m2) dm2. (5.17)

Вслучае mx< m 2 индексы 1 и 2 в правой части (5.17) нужно поменять местами.

Случай тх = т2следует рассмотреть особо. Вероятность того, что до и после сдвига видимая величина ярчайшей звезды площадки находится в промежутке [ти mi -f rfmx], равна произведению вероятности, что видимая величина ярчайшей звезды в области I I находится в промежутке [mx, mi -f- dmi], и вероятности того, что и в области / и

Условие mi = m2 будет выполнено и в том случае, когда в области / и в области I I I видимая величина яр­ чайшей звезды заключена в промежутке [ т х, тг + dmj, а в области I I видимая величина ярчайшей звезды боль­ ше mi. Но вероятность этого события — бесконечно малая более высокого порядка, чем (5.18).

Аналогично рассуждая, можно получить плотности вероятностей любых размерностей для случайной функции.

§ 62. Математическое ожидание функции X ( t 2),..., X(tn)).

Моментные функции случайных функций. Математическое ожидание; дисперсия

Если случайный процесс задан своими плотностями ве­ роятности (5.5), то математическое ожидание функции ч (X (h), х (t2), . X (*„))

Мх\ (X (tj), X (t2) ,..., X (tn)) =

=^ ^ *Пfall ^2? •••» Я«) X

Это определение соответствует определению математи­ ческого ожидания функции случайного вектора. Матема­

В общем случае, если случайная функция нестацио­ нарна, ее математическое ожидание изменяется вместе с аргументом.

Начальной n-мерной моментной функцией случайной функции называется

Сумма

(5.23)

i=l

называется порядком моментной функции. Математическое ожидание (5.21) самой случайной функции есть ее одно­ мерная начальная моментная функция порядка 1.

Центральной /г-мерной моментной функцией случай­ ной функции называется

Одномерная центральная моментная функция первого порядка случайной функции очевидно тождественно рав­ на нулю:

Дисперсией случайной функции называется ее цент­ ральная одномерная моментная функция второго порядка,

Л (*) = М*) = ^ [ Х (0 -* (* )]■ =

оо

= 5 { x - X 2(t))h(t,x)dx. (5.26)

— оо

Если случайная функция стационарная, то ее одно­ мерная вероятность не зависит от значения аргумента. Следовательно, все ее одномерные моментные функции также не зависят от аргумента. В частности, у стационар­ ной функции ее математическое ожидание и дисперсия (если они существуют) являются постоянными величина­ ми, не зависящими от значения аргумента:

Наряду со случайной функцией X (t) рассмотрим случайную функцию Y (t), отличающуюся от X (t) на

стационарных процессов, корреляционная функция есть монотонно убывающая функция tг — tt.

Для стационарного процесса корреляционную функ­ цию можно приближенно определять по реализациям слу­ чайной функции. Для этого интеграл в (5.35) заменяется суммой

Здесь X } {tjj) — значения случайной функции в /-й реа­ лизации при значениях аргумента t — t}ti. Эти величи­ ны получаются из измерений.

Для приближенного вычисления корреляционной функ­ ции нестационарного процесса нужно иметь большое чис­ ло реализаций случайной функции, чтобы иметь основа­ ние для замены в (5.35) интеграла суммой

3 = 1

где

8

(5.39)

3 = 1

Если при возрастании т корреляционная функция, найденная по ее практическим реализациям, убывает монотонно, то ее часто удобно аппроксимировать выра­ жением

К0(T)5S а* «-“***,

или

К 0(т)^о2е-а2М.

Итак, если случайная функция стационарна, то ее ма­ тематическое ожидание постоянно, а корреляционная функция есть функция только разности аргументов. Об­ ратное утверждение неверно, т. е. из постоянства мате­

§ es] КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ 227

матического ожидания и зависимости корреляционной функции только от разности аргументов не следует, что случайный процесс стационарен. Однако эти условия накладывают сильные ограничения на распределения. Случайные процессы, им удовлетворяющие, называют ста­ ционарными в широком смысле.

З а д а ч а 74. Определить корреляционную функцию для случайного процесса рассмотренного в задаче 72.

Р е ш е н и е . Если при первом положении цилиндр содержал хг частиц и при мысленном его смещении на рас­ стояние т 1 цилиндр с одной стороны оставили X час­ тиц, а с другой стороны цилиндр вобрал S частиц, то число частиц в цилиндре при втором положении окажется рав­

Распределение Х г в (5.40) пуассоновское со средним п. Распределение X биномиальное, так как оно определяет вероятность попадания к частиц в часть цилиндра, если число частиц во всем цилиндре равно a*. Распределение S пуассоновское со средним пх.

затем по Я и хи и приводя подобные члены, находим, что

Если т > 1, то числа частиц в двух возможных поло­ жениях цилиндра взаимно независимы, и, следовательно,

в*