Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 3
§ 61] КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 217
условий в центральной части области. Если же для той же случайной функции аргументом является время, то для стационарности нужно, чтобы в течение рассматривае мого промежутка времени соотношение между высотой волн и силой и направлением ветра было таким, чтобы волны не возрастали и не ослабевали, общее состояние поверхности моря оставалось неизменным во времени.
Для того чтобы случайная функция — толщина нити была стационарной, необходимо, чтобы в течение рассматри ваемого промежутка времени был неизменен режим работы станка.
Случайные процессы, изображенные графиками не скольких их реализаций на рис. 15, а, имеют черты стацио нарного процесса. На рис. 15, б приведены реализации, характерные для нестационарных процессов. Категорич но утверждать это на основании графика, разумеется, нельзя.
Процесс X (t) называется стохастически непрерывным,
если при любом е О |
|
lim Р (| X (t + At) - X (t) | > e} = 0. |
(5.9) |
Af'—*0 |
|
Случайный процесс X (t) называется чисто разрывным, если для любого промежутка аргумента [t, t + At] функ ция X с вероятностью 1 — р (t, х) At — о (At) остается неизменной, равной X (t), и лишь с вероятностью р (t, х) At + о (At) может претерпеть изменение. Таким образом, при чисто разрывном случайном процессе слу чайная функция может изменяться только скачкообразно. Пример чисто разрывного процесса приведен на рис. 16.
В приведенных выше примерах случайные функции — число частиц в некотором объеме как функция времени или координаты, а также видимая величина ярчайшей (или к-й по яркости) звезды в площадке как функция ко ординаты, являются чисто разрывными случайными про цессами.
Допустим, что для любых значений аргумента (5.1), удовлетворяющих условиям tx < t%< . . . < tn, и любых чисел
^5 > |
•••> % п } |
(5 4 0 ) |
218 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. 5
которые в некоторой реализации приняла случайная функ ция, условная вероятность того, что для значения ар
гумента |
tn+1 |
tn |
случайная |
функция |
примет |
значение |
|
в промежутке [хп+1, |
ж„+1 + dxn+1] при условии, что X |
(tt) |
|||||
попало |
в промежуток [xi, |
Xi + dxi) |
(i = 1, |
. . ., |
n), |
||
зависит только от хп, и"не зависит от хи х2, . . ., хп_г. Тогда случайный процесс называется марковским или
процессом без последействия.
Из приведенных выше примеров марковским является процесс изменения скорости молекулы при столкновениях с другими молекулами и изменение скорости звезды в ре зультате сближений с другими звездами. Вероятность того, что молекула будет иметь скорость в заданном про межутке в некоторый последующий момент, при условии, что в момент t ее скорость была равна х, зависит от х , но не зависит от того, какие скорости имела молекула в те чение времени, предшествующего моменту t.
Остальные приведенные примеры случайных процес сов являются немарковскими.
Определение марковского процесса показывает, что он полностью задается двумерными плотностями вероятно
стей, так |
как для |
марковского процесса |
|
|
fn (^1? |
^2> ®2* |
• |
• •> ^711 %п) “ |
|
= /г (^1) ®1> ^2> |
(^2> ж2) ^3i ®з) • • */г (^п—1» |
%п)- (5.11) |
||
З а д а ч а 72. Плотность числа частиц в пространстве постоянна, составляет п частиц в единице объема. Найти конечномерные распределения случайной функции — чи-
§ 61] КЛАССИФИКАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 219
ела частиц в фиксированный момент времени внутри ци линдра, который может занимать различные положения, так что ось его при этом совпадает с некоторой фиксиро ванной прямой. Объем цилиндра равен 1, площадь его основания равна 1.
Р е ш е н и е . Вследствие того, что плотность заполне ния пространства частицами во всей области постоянна, рассматриваемый случайный процесс стационарный. Слу чайная функция — число частиц — может принимать
О
t
Рис. 17.
только целые неотрицательные значения. Аргументом яв ляется расстояние центра цилиндра от некоторой точки на фиксированной прямой (рис. 17). Одномерное рас пределение является законом Пуассона и не зависит от значения аргумента,
Р{г,х) = Р ф ,х) = ^ р . |
(5.12) |
Для нахождения двумерного распределения рассмот рим два значения аргумента tx и t2 и сдвиг цилиндра обо значим х — t2 — tx.
Высота цилиндра равна 1. Если сдвиг цилиндра т > 1, то число частиц внутри цилиндра при t = t2 не зависит от
числа частиц при t = tx, и |
|
|
|
P ( i , , * . : f „ * 0 = |
( ^ ) ( !^ |
) . |
(5-13) |
Пусть теперь т <; 1. Числа частиц в трех цилиндри |
|||
ческих областях высотою т, |
1 — т и т, |
изображенных на |
|
рис. 17 и обозначенных римскими цифрами I, I I |
и / / / , |
||
независимы друг от друга. Поэтому, найдя вероятности
того, что в области I |
число частиц равно хх — х, в области |
I I — х, в области |
I I I — х2 — х, и просуммировав по |
220 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1ГЛ. 5
всем возможным значениям х, т. е. от 0 до меньшего из
чисел хх и х2, |
найдем искомую вероятность: |
|||
Р {tx, Х х , |
t 2 , х2) |
|
|
|
inf (х,, х2) |
|
e- tn (Тге)Жг-х g-xn |
||
|
[ ( 1 - Т ) п ) *Xе p-d-tin |
|||
= |
S |
xl |
(Ti — х)1 |
(ass — х)! |
|
|
inf (xi, x,) |
1 — T \х |
|
|
= (Т7г)зс,+Х!е~(1+’с)п |
21 |
п х г |
|
|
— к)! (ж2 — х)! |
|||
|
|
|
к ! ( х \ |
|
х= 0
Рассуждая таким же образом, можно найти распреде ления всех размерностей. Получаемые выражения, одна
ко, становятся все более |
сложными. |
З а д а ч а 73. Среднее |
число звезд до видимой вели |
чины m в одном квадратном градусе поверхности неба на галактической широте Ъ равно N (т). Найти распределе ние случайной функции — видимой величины ярчайшей звезды в квадратной площадке площадью 1 кв. градус при перемещении площадки вдоль галактической парал лели.
Р е ш е н и е . Так как при перемещении площадки галактическая широта Ъ остается постоянной, процесс можно считать стационарным. Аргументом случайной функции является расстояние центра площадки от некото рой точки на галактической параллели. Согласно решению
задачи 49 вероятность того, что видимая |
величина яр |
|
чайшей звезды в |
площадке заключена |
в промежутке |
[т, т -f- dm], равна |
|
|
/х (t, т) dm = |
/х (0, m)dm — е-л?(т ) N' {т) dm. (5.15) |
|
Для нахождения двумерной плотности вероятности снова воспользуемся рис. 17. Обозначим сдвиг площадки
т = t 2 — t x . Если т |
1, то видимые величины ярчайших |
|||
звезд в площадке при t |
= |
t x и t = t 2 независимы друг от |
||
друга; следовательно, в этом случае |
||||
f2 (0, тх; |
т, |
т2) dmxdm2 = |
||
|
_ |
g-щт,) рр (/nx)dmx-e~N^m^ N' (m2)dm2. (5.16) |
||
Пусть |
теперь т < 1 . |
Предположим, что тх > т2. |
||
Тогда вероятность того, |
что до сдвига видимая величина |
|||