Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

кому ожиданию, т. е. п. При т = 1 корреляционная фун­ кция равна 0.

З а д а ч а 75. Найти корреляционную функцию для случайного процесса рассмотренного в задаче 73.

Р е ш е н и е . Будем считать, что видимые величины звезд заключены в промежутке [0, оо]. Воспользовавшись

оо 7ГЦ

К0(т) = 2 ^ § (тг — m) (тг — ю) X

О О

+ 5 (mt — in)2егъктщ (1 — x) N' (т) dmv (5.42)

О

При т 1, как и в предыдущей задаче, К 0 (т) = 0. Коэф­ фициент 2 при первом члене (5.42) поставлен, чтобы наря­ ду со случаями тг /п2 учесть симметричные им случаи

тх < т2.

§ 64. Случайная функция с некоррелированными приращениями. Пуассоновский процесс.

Взаимная корреляционная функция двух случайных функций

Случайная функция X (t) называется функцией с некоррелированными приращениями, если при любых

Достаточным условием некоррелированности приращений является взаимная независимость приращений. (Но это условие не является, конечно, необходимым.)

Примером случайной функции с некоррелированным приращением является пуассоновский процесс. В этом процессе случайная функция монотонно возрастает, при­ нимая целочисленные значения; условная вероятность ее приращения в промежутке t9 — tx на число т не зави­

сит от предыдущего поведения функции, задается распре­ делением Пуассона со средним К (Z2 — Zx). Параметром, определяющим пуассоновский процесс, является величи на Я. Если пространство равномерно заполнено газом, тс число молекул в цилиндрической области, которую мы мысленно непрерывно удлиняем, есть пуассоновский процесс. Очевидно, что в пуассоновском процессе прира­ щения случайной функции являются взаимно независи­ мыми. Пуассоновский процесс является нестационарным процессом.

Рассмотрим две случайные функции одного и того ж( аргумента X (Z) и Y (t). Взаимной корреляционной функ цией этих двух функций называется функция

и Z2, то говорят, что X (Z) и Y (Z) являются некоррелирован­ ными случайными функциями.

§ 65. Переходные вероятности

Пусть случайная функция X (Z) может принимать лишь дискретные значения од, х2,..., хп. Обозначим посредством

вероятность того, что в момент Z2 она примет значение Xj при условии, что X (Zx) == xt. Вероятности (5.45) назы­ вают переходными вероятностями. Если случайный про­ цесс стационарный, то вероятность (5.45) зависит только от разности значений аргументов т = Z2 — Zx. Марков­ ский процесс полностью определяется заданием матрицы переходных вероятностей и распределением случайной функции при некотором значении аргумента Zx.

Если случайная функция имеет непрерывное прост­ ранство состояний, то переходной вероятностью

функция может только возрастать, то при Xj <Zxt, оче­

За д а ч а 77. Найти, как ведет себя р {tu xt; t2, х}) =

=р (0, т, xj) для случайной функции задачи 72, если

т = t2 — tx бесконечно мало.

Р е ш е н и е . Процесс, рассмотренный в задаче 72, стационарный. Пусть число частиц в цилиндре при не­ котором значении аргумента t равно к. Тогда условная вероятность того, что при смещении цилиндра на т число частиц в нем уменьшится на 1, равна кх. Вероятность того, что число частиц увеличится на 1, равна пх, а ве­ роятность того, что число частиц не изменится, равна 1—кх — пх. События, состоящие во входе в цилиндр и вы­ ходе из него двух и более частиц, рассматривать не сле­ дует, так как их вероятности второго и более высокого по­ рядка малости относительно т. Итак,

Из (5.48) видно, что рассмотренный процесс чисто раз­ рывный.

З а д а ч а 78. Найти р (0, т; dt, т!) для случайной функции — видимой величины к-й по яркости звезды в квадратной площадке, площадью 1 кв градус, перемещаю­ щейся вдоль галактической параллели. Среднее число звезд до видимой величины т в 1 кв градусе поверхности неба на данной широте равно N (т). Для решения задачи использовать "решение задачи 73.

Р е ш е н и е . Пусть при значении аргумента t ви­ димая величина к-й по яркости звезды в площадке равна т.

При смещении площадки на dt, если из площадки выйдет одна из к звезд с видимой величиной те, то видимая величина к-й по яркости звезды увеличится, станет рав­ ной видимой величине (к + 1)-й по яркости звезды пло­ щадки. Вероятность этого события равна kdt. Если види­ мая величина к-й звезды равна те, то вероятность того, что видимая величина (к -f 1)-й звезды заключена в проме­

Видимая величина к-й по яркости звезды в площадке уменьшится, если в площадку войдет звезда с видимой величиной < т. Вероятность этого события —N (те) dt. Если видимая величина вошедшей звезды больше види­ мой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то к-й по яр­ кости звездой станет вошедшая в площадку звезда. Ис­ пользуя решение задачи 63, найдем вероятность того, что видимая величина к-й по яркости звезды окажется в этом случае в промежутке [те', те' + dm']: эта вероятность равна

5 " (5-50)

Если видимая величина вошедшей звезды меньше види­ мой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то последняя после этого станет к-й по яркости. Используя решение задачи 63, найдем, что вероятность того, что в этом слу­ чае видимая величина к-й по яркости звезды окажется в промежутке [те', те' + dm'], равна

Складывая (5.50) и (5.51), найдем для случая те' < те

Если при сдвиге площадки на dt из нее не выйдет ни одна из к звезд с видимой величиной те и не войдет ни одна звезда с видимой величиной •< те, то видимая