Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл (8,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 66] ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ 237

одного выброса	равно
	оо
	dt J / 1 (0, х) dx
6	а	(5.78)
С		(5.78)
С	J /] (0, х) dx	\| ф (0, х\ dt, х') dx'
	J /] (0, х) dx	\| ф (0, х\ dt, х') dx'
		а
а для дискретной случайной		функции

Ъхг>а

С	^ р ф , х х)	р(0,	х<; dt, Xj)
	х.^а	Х‘>а
З а д а ч а	80. Для случайной		функции — числа ча

стиц внутри цилиндра, который может занимать различ ные положения,— решить задачу о выбросах для уров ня а, где а — целое число.

Р е ш е н и е . Так как при смещении цилиндра на dt следует учитывать возможность увеличения числа частиц только на единицу, то выброс за уровень х = а возможен только с самого уровня. Поэтому суммы, фигурирующие в (5.72), содержат только одно слагаемое:

cdt = — ndt.

Математическое ожидание числа выбросов на промежут ке длиной Т равно

о!

Средняя длина пребывания случайной функции над уровнем а в промежутке длиной Т равна

ЪТ = Т	■чг!	пке~п
ЪТ = Т	2	Ц - .
	/с=а+1

Средняя длина одного выброса равна

(5.79)

238 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1ГЛ. 5

Когда а -*■ оо, то выражение (5.79) ведет себя как — —г .

Это физически понятно, так как очень большое а означает очень большую положительную флуктуацию числа час тиц в цилиндре.

В среднем на участке пути 1/а должен будет произой ти выход одной частицы, поэтому средняя длина выброса становится близкой к 1/а.

ля	З а д а ч а 81. Для	ориентации космического кораб
ля	необходимо, чтобы	в полосе неба длиной L единиц
{L	1) и шириной в 1	единицу оказалась хотя бы одна

квадратная со стороной в 1 единицу площадка с к звезда ми ярче т-й видимой величины. Математическое ожида ние числа звезд до m-й величины в площадке в 1 кв. едини цу вдоль всей полосы одинаково, равно N (т). Найти вероятность того, что космический корабль сможет произвести ориентировку. Воспользоваться решением задачи 78.

Р е ш е н и е . Расположим мысленно квадратную пло щадку на краю рассматриваемой полосы, а затем будем перемещать ее до противоположного края полосы. Путь, который она при этом пройдет, равен L — 1. Космичес кий корабль сможет произвести ориентировку при одном из двух несовместимых событий, если 1) уже в начальном положении видимая величина к-й по яркости звезды мень ше т\ 2) видимая величина А-й по яркости звезды в на чальный момент больше т, но при перемещении площад ки происходит хотя бы один раз выброс видимой величи ны /с-й звезды ниже уровня т.

m	Вероятность события 1) равна	fc	„
m		fc	„
J	я 1к ) dmi = i -	2	• (5-8°)
0		i=1

Для вычисления вероятности события 2) определим сначала вероятность выброса рассматриваемой случай ной функции ниже т за время dt. Для этого вероятность того, что в точке со значением аргумента, равным t, ви димая величина Ar-й по яркости звезды заключена в про межутке [ти ту -f- dwij, помножим на даваемую выра жением (5.52) вероятность перехода в точке со значени ем аргумента t -j- dt к видимой величине к-й по яркости

§ 67] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 239

звезды в промежутке	[т , т'	-f dm] при	условии
т' < тх и проинтегрируем по т'		от 0до т, а по	— от
т до со:
о°	m ,

* $ т г = г г <г№">N ' <“ ■)dm' \ k S
rn	л

(A- 1)1 -iVfc

S 'v ' <m'> “

(m) e~N(m) dt = cdt. (5.81)

Следовательно, математическое ожидание числа выбро сов при изменении аргумента на L — 1 равно

	73ГГ15Г ЛГ* И ^	(т)	- 1).		(5.82)
а вероятность события 2) равна
1 -	ехр [ - ^ 4 ^ N * И	e^	<m) (L - 1)]	•	(5-83)
Итак, вероятность того, что космический корабль смо
жет произвести ориентировку, равна
2 - е-щт) \|	_ ехр [(Т4	^	N* (т) e~N^	(L — 1)] .
					(5.84)

§67. Стохастический интеграл

Втеории вероятностей часто приходится сталкиваться со стохастическим интегралом вида

ь
р = jjr](t)X(t)dt,	(5.85)

где т] (t) есть некоторая (не случайная) функция t, а X (t) есть случайная функция аргумента t. Для каждой реа лизации х (t) случайной функции X (t) интеграл (5.85) равен обычному интегралу Римана

r\(t)x(t)dt

(5.86)

240 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ [ГЛ. 5

и случайная величина |i при данной реализации х (t) при нимает значение (5.86).

В соответствии с обычным пониманием определенного интеграла стохастический интеграл также есть предел сумм,

ь	п
\г](t)X(t)dt =	lim у. 4\{ti)X (tf) (*,” — Д,	(5.87)
«)	П —> оо .
а	г = 1

причем выполняется условие: при п -> оо длина наиболь

шего из интервалов tf — стремится к 0. Множество возможных реализаций случайной функции X (t) опре деляет множество значений случайной величины ($.

Если верхний предел стохатического интеграла (5.85) есть переменная величина т, то этот интеграл является случайной функцией аргумента т,

Р(т) = ^Т](0Х(0^.

(5.88)

Точно так же случайной функцией является стохастиче ский интеграл

Р(Т) = ^ т)(£, x)X(t)dt.

(5.89)

Другой тип стохастического интеграла определяется как интеграл Стилтьеса

X
Р(т) = jj 4(t)dY(t) .	(5.90)

В этом интеграле каждой реализации у (<) случайной функции Y (t) соответствует интеграл Стилтьеса

X
^x\(t)dy{t),	(5.9J)

§ 67] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 241

который отличается от интеграла Римана тем, что под зна

ком интеграла стоит	не	дифференциал dt, а
dy (t) =	у	(t -f dt) — у (t),

соответствующее дифференциалу dt.

Аналогично, может рассматриваться случайная функ ция аргумента — параметра, от которого зависит стоха

стический интеграл Стилтьеса
ъ
Р(т) = ^ Л(*> t)dY(t).		(5.92)
а
Интеграл (5.92), как и предыдущие примеры стохасти
ческих интегралов, является пределом сумм
г	"
\ ц(г, т)dY(t) = lim	^)[У(^) — У(*?-1)],

причем должно выполняться условие: max (i” — ^_г) стре-

мится к 0, когда п —>- оо.

Определим дисперсию стохастического интеграла (5.85). Будем при этом для простоты считать, что случай ная функция X (t) центрированная, X (t) = 0. Тогда при некоторых широких условиях и М$ = 0

Мlim 2т|(*")*Ю(*Г — <i-i)

пп

= М lim 2 2 г](*Г)Т|(W - П-г) № - %-гт * ) Х № =

п-*°° г=1 Н=1

пп