Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.06.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

К уравнениям движения необходимо

добавить у р а в -

н е н и е н е р а з р ы.в н о е т и

 

 

и у р а в н е н и е с о с т о я н и я

 

 

р

 

(1-9)

 

 

в котором R — газовая постоянная,

a

z — коэффициент

сжимаемости; обычно можно принимать z*»l .

Если полагать коэффициент вязкости величиной из­

вестной и постоянной, то записанная

система уравнений

в случае несжимаемой жидкости замкнута: имеется че­

тыре

уравнения

с четырьмя

неизвестными

величинами

(wx,

wy, wz

и р);

массовые

силы

X,

У, Z, как

правило,

известны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и решении

задач

о течении сжимаемой

жидкости

к записанной системе уравнений необходимо

д о б а в и т ь '

зависимость

ц = ц(Т)

и

у р а в н е н и е

с о х р а н е н и я

э н е р г и и .

При отсутствии

химических

реакций

 

 

 

di-

 

dp

f dqx

I

dqy

, dq

 

 

 

 

 

 

 

dt

~~

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

уравнении энергии

/ — энтальпия,

г = с р Г ;

cv

— теп­

лоемкость

пои постоянном

давлении;

qx,

qy,

qz

— тепло-

вые

потоки

в

направлении

осей координат:

qx=—

3 т

 

ЯУ —

~ ^ - ~ Щ - >

1z=~^~d~z>

 

 

Ф.—Днссипативная

функ­

ция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф = Ч ( № ( - ^ У + ( 4 ? - ) ] +

 

 

Л- [ ЛЕМ- -4=-_^2_Л2 -1- ( ЛЕ^4-ЛЕЛЛ

г

4 -

 

 

 

 

 

dz

' ду ) ~ r \ d x ~ dz J *

 

 

 

_ j _ ( dw* _ j _

dwv

у

2

/

dwx

_ j _

dwy

_t_ dw9

\ 2

/ i 1t\

 

~T~[-dj—r'w)—^\~bir~r-dy~-^-dz-~)

 

 

 

• [ l

' n >

П о л н ы е производные

dijdt

и dp/dt

определяются

обычным образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di

di i

di

 

,

di

i

di

 

 

 

 

4 r = w + - d T w * + i f r w y + - w w z -

12

Д л я несжимаемой жидкости и при условии % = const уравнение энергии принимает более простой вид:

п п

р С р

dT

(

д*Т

,

_

д'-Т

,

д*Т

\

, .

, 0 .

_ =

Х

^

+

+

_

_

^

+ ! А ф ,

(1-12)

а в выражении

для Ф пропадает последнее

слагаемое.

Следует отметить, что уравнение энергии

необходимо

и при изучении

течения несжимаемой жидкости. Однако

если принять

ц = const, то уравнение энергии можно

применить после определения давления и скоростей дл я нахождения поля температур . В случае ж е сжимаемой жидкости необходимо совместное решение всех уравне­ ний. Т а к а я ж е необходимость возникает и при расчете течения несжимаемой жидкости, если учитывать зави­ симость коэффициента вязкости от температуры .

При изучении течений газов с большими скоростями и большими градиентами температур удобнее пользо­

ваться уравнением энергии,

в которое входит вместо

энтальпии газа i полная энтальпия to-

i 0 = H -

w1

Чтобы получить такое уравнение, поступим следую­ щим образом . Умножим обе части первого из уравнений (1-5) на Док, второго — на доу и третьего — на wz. З а т е м сложим соответствующие части всех трех уравнений, а результирующее — с уравнением энергии (1-10). В ре­ зультате получим:

P ^ = X w x + Y w y + Zwz-i др- dt -

 

• ( ^ + i r + ^ ) + " * + e -

<м з >

Функция

Q зависит от

сил

трения:

 

+

1 = Ш; \

 

dw~

 

X d i v

w ) j

дх

дх

 

 

{

dwx

• дщ 41

.

д

г

f dw%

I dwdw~s М \ i _

^ ду

 

 

 

 

 

 

 

dz

I

i

д

 

 

 

 

 

+

 

 

2 4 f — f d i v w )

 

 

 

dy

J]

*

дх

dwx

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z—jr^iv

 

w

 

 

 

 

 

 

dw,.

dw2

13

К записанным уравнениям д о л ж н ы быть добавлены граничные условия, определяющие конкретные условия рассматриваемого частного течения.

1-5. УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ

Уравнения Н а в ь е — Стокса (1-5) и уравнения энер­ гии (1-Ю) справедливы в самом общем случае движения газа, в том числе и для турбулентных течений. Однако практическое их использование оказывается невозмож­ ным, поскольку все величины (скорости, давления и тем­ пературы) являются сложными и неизвестными функ­ циями времени. Поэтому целесообразно ввести в расчет

осредненные

по времени

величины,

которые

изменяются

вполне закономерно. К а ж д а я из

величин

представляется

как

сумма

осредненного

значения

(обозначаемого

чер­

той

сверху)

и пульсационпого

(отмечаемого

штрихом),

например:

wx=wx+w'x;

р = р + р '

и т. д.

 

 

 

 

 

 

Введение

в

уравнения

движения

осредненных

вели­

чин

предложено

О. Рейнольдсом

(1895 г.);

получаемые

при этом уравнения называют уравнениями

Рейнольдса.

Н о прежде чем переходить к выводу уравнений

Рей­

нольдса, необходимо

сделать

несколько

предваритель­

ных

замечаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя величина за промежуток времени At нахо­

дится по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= ±

J

\dt.

 

 

(1-14)

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Если средняя величина / неизменна во времени, то

такое течение называют

установившимся

(несмотря на

наличие пульсаций) . Выбор промежутка времени At для

установившихся течений не имеет значения

при усло­

вии, если At существенно больше

частоты пульсаций.

Если ж е средняя величина /

изменяется во

времени,

т. е. если осредненное течение неустановившееся, то про­ межуток времени At должен быть достаточно м а л ы м , чтобы можно было пренебречь изменением осредненной величины. Другими словами, осреднение во времени воз­ можно при условии, что средняя скорость изменяется во времени существенно, медленнее истинной скорости пуль­ сационпого течения,

.14

И з самого определения

осредненной величины сле­

дует, что средняя величина

пульсаций

Г - о .

Кроме того, справедливы следующие правила осред­ нения:

 

LTT*=7i

+

Jj

/ Т = 0 ;

Ш=?>и

(1-15)

В качестве

примера

найдем

осредненную

во времени

 

dwx

 

 

 

 

 

 

 

величину p-fif-'

 

 

 

 

 

 

 

dw~

*г

I

г> д

,—

I

, ч

— dw~ i

— dw

 

 

 

dt

 

 

 

dt

dt

+

P' ^

+

P'

 

 

 

 

 

Чтобы понять физический смысл дополнительных слагаемых, получаемых при осреднении уравнений дви­ жения, рассмотрим течение несжимаемой вязкой ж и д -

Рис. 1-1. Обозначения напряжений.

кости, полагая скорость (осредненную) постоянной д л я

всего течения

и параллельной оси х (рис.

1-1).

Выделим в

потоке

площадку ABCD,

п а р а л л е л ь н у ю

плоскости

xz,

и определим напряжения,

возникающие

на этой площадке вследствие пульсации

скорости. Д л я

простоты

примем, что

стороны' выделенного к в а д р а т а

равны единице

и что, следовательно, его п л о щ а д ь т а к ж е

равна единице.

 

х ~ — — ~ — — — ~ =

Р а с х о д

жидкости через площадку

ABCD

равен pw'yj

 

 

д в и ж е н и я — pw'vw'

-

а изменение количества

(стрелка

означает

вектор); этому

количеству

движения соответ­

ствует сила

R = — pw'yw',

которую можно представить в виде суммы трех сла­ гаемых:

 

av = —pw'yw'y;

xxy = —pw'yw'x;

xzy

=

—pw'yw'z.

Осредненные во времени величины

равны:

 

 

ay

= — pw'y2;

: т Х 1 / =

— pw'yw'x\

tzy

= — pw'yw'z

 

(1-16)

 

 

 

(до'

—w'x-\-w'y-\-w'z).

 

 

 

 

Очевидно,

что н а п р я ж е н и е а,, — н о р м а л ь н о е , а

напря ­

жения хХу и

хгу — касательные

(первый

индекс

указы­

вает

направление касательного

напряжения,

а второй —

ось,

к которой

перпендикулярна

соответствующая пло­

щ а д к а ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, в турбулентном течении

жидкости

возникают

добавочные нормальные и касательные напряжения, ве­ личина которых пропорциональна осредиенному значе­

нию произведения

соответствующих пульсаций ско­

ростей. Величина

турбулентных касательных напряже ­

ний может быть во много раз больше касательных на­

пряжений

трения.

 

 

 

 

 

 

Напомним,

что найденные

добавочные

н а п р я ж е н и я

получены дл я несжимаемой

жидкости .

 

 

Теперь

перейдем

к выводу

уравнений

Рейнольдса.

С этой целью введем

в уравнения

Н а в ь е — Стокса

осред­

ненные величины, заменив

 

 

 

 

 

wx=wx

+ w'x;

wy=wy

+ w'y;

wz^Wz+'w'z;

 

 

 

р=р+р';

р = р + р',

 

 

и, кроме того, учтем

наличие добавочных напряжений о

и т. Поскольку

преобразования

 

всех уравнений

произ­

водятся одинаковым образом, ограничимся подробным изложением осреднения первого из уравнений Н а в ь е — Стокса, а остальные формулы приведем без вывода.

16

Смотрите также файлы