Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.06.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 1
|
|
P |
wx |
дту |
|
|
dwy |
|
|
dp |
|
|
|
|||
|
|
dx |
|
|
ду |
|
|
ду |
1 |
|
|
|
||||
+- |
|
д |
2 |
dwv |
|
|
dw. |
|
|
|
dw. |
|
dw,* |
|
||
ду |
|
ду |
|
|
дх |
|
|
|
дх |
ду. |
|
дх |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение |
неразрывности |
|
|
|
|
|
|
(2-2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ри»») = |
0- |
|
|
|
(2-3) |
|
Переходим |
к оценке |
порядка |
величин |
отдельных |
сла |
|||||||||||
гаемых. |
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скорость |
возрастает |
в |
пределах |
пограничного |
||||||||||||
слоя |
отдо*—0 « а стенке |
(где 6 = 0 ) до wx |
= wxm |
на |
гра |
|||||||||||
нице слоя. Следовательно, производная dwx/dy |
д о л ж н а |
|||||||||||||||
быть порядка wxm/ym=wxm/§, |
|
|
а |
вторая |
производная |
|||||||||||
порядка Wxmfd2. Уравнение неразрывности |
|
позволяет |
||||||||||||||
оценить |
величину |
производной |
dwv/dy |
и |
самой |
ско |
||||||||||
рости |
wy: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw,, |
|
dw, |
|
w*m |
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
ду " |
-r\j. дх |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь легко |
найти |
порядок |
остальных производных: |
|||||||||||||
|
|
|
d2ws |
|
w |
|
dw,и |
|
W. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Г- |
' |
дх |
|
I |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
d-Wy |
|
|
|
д |
d2Wv |
|
Я>хт |
|
|
|
|
||
|
|
|
dx2 |
|
|
I2 |
|
I |
ду2 |
|
|
|
|
|
|
|
и далее |
установить |
порядок |
членов правой |
части |
урав |
|||||||||||
нений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
d |
{( |
dw*да |
\ |
|
W* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
дх |
|
дх |
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
д |
|
dwv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
дх |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
д |
(„ |
|
dw* |
|
|
|
Ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
д |
I |
^ |
dwy |
\ |
^ |
^ |
W,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
- д |
Г |
^ |
г ) |
|
|
|
|
|
|
||||
и так д а л е е |
|
( |
5 \ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
S <^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
/, то ( — ) < 1 и, следовательно, в |
правой |
|||||||||||||
части |
уравнения (2-1) из четырех |
слагаемых, |
зависящих |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
от |А, о с т а е т с я только |
о д н о — § j j ~ ( ^ ~ ^ r |
|
( |
dwx 1 |
dwx |
Д а л е е П р а н д т л ь |
принимает, что в |
пограничном |
слое |
|||||||||
силы |
вязкости |
и силы |
инерции имеют одинаковый поря |
|||||||||
док. |
Это |
допущение |
|
позволяет |
дать |
оценку |
толщины |
|||||
пограничного |
слоя и, |
|
кроме |
того, |
д о к а з а т ь |
одно |
из |
в а ж |
||||
нейших |
положений |
теории |
пограничного |
слоя — о |
по |
|||||||
стоянстве давления поперек слоя. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
инерционные |
члены |
уравнения |
(2-2) |
(левой |
|||||||
части) имеют |
порядок |
рог |
5//=, |
а |
силы |
вязкости |
- |
|||||
V.wxm/!b, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р - |
- |
•• |
|
|
|
|
|
|
|
н, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-5) |
|
Очевидно, что производная др,'ду [в уравнении (2-2)]
должна |
иметь |
порядок |
инерционных |
членов, |
т. е. pw2 |
8//2. |
||||
А так |
как согласно |
уравнению |
(2-1) |
производная |
др/дх |
|||||
должна |
быть |
порядка |
рог JI, |
то |
отношение |
|
||||
|
|
|
dp . |
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду ' |
дх |
|
|
|
|
|
|
Д р у г и м и |
словами, |
градиент |
давления |
др/ду |
мал |
|||||
в сравнении с градиентом др/дх |
и поэтому |
можно |
при |
|||||||
нимать |
др/ду^О. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученный |
результат имеет |
большое |
практическое |
|||||||
и теоретическое |
значение. |
|
|
|
|
|
||||
22
Д а в л е н и е |
в п о г р а и и ч н о м |
с л о е м о ж и о |
|
с ч и т а т ь п о с т о я н н ы м п о н а п р а в л е н и ю |
н о р |
||
м а л и и р а в н ы м д а в л е н и ю рт |
в н е ш н е г о п о |
||
т о к а . |
|
|
|
Условие др/ду |
= 0 заменяет уравнение ' (2-2) |
и, сле |
|
довательно, уравнения пограничного слоя записываются так:
' ( * - Й Ч - * 4 ^ ) - * - - & + £ ( " 5 г ) : )
(2-6)
При выводе второго равенства (2-6) предполагалось,
что |
массовая сила Y имеет |
такой ж |
е порядок, как и дру |
гие |
силы; практически это |
условие |
всегда выполняется, |
если |
б / / < 1 . |
|
|
Уравнение неразрывности остается прежним, а урав нение энергии упрощается. Производя оценку порядка величин отдельных слагаемых уравнения (1-10) и от брасывая малые слагаемые, получаем для установив шегося ламинарного плоскопараллельного течения сле дующее уравнение энергии:
di , di dp i
Аналогичным образом из (1-13) получаем:
pWx Л ' о I „ „ . д'о _ у . „ . I д / , дТ
2-2. УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
П е р е х о дя к уравнениям турбулентного пограничного слоя, необходимо д а т ь оценку порядка производных до бавочных напряжений, определяемых зависимостями (1-18).
Пульсации скорости w'x и w'y, как показывают эксперименты, одного порядка, что позволяет принять w'xw'y~w'2x.
23
П уль сации плотности, как правило, существенно меньше пульсации скорости, однако при больших сверх звуковых скоростях, а т а к ж е при интенсивном теплооб мене пульсации плотности и скорости соизмеримы. По этому в общем случае можно принять:
' 2 _ р _
Следовательно в первом из уравнений (1-17) можно принять:
дадх
I
dz.•хУ . |
|
|
|
|
р |
па |
|
~3у~ |
~~ду~1р |
W'xW'y |
+ |
Р'™'"!' |
|
||
Во втором |
из уравнений |
(1-17): |
|
|
|
||
|
дау |
д |
|
г~гт2л |
Р |
wx2 |
|
|
ду |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
Р wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отбрасывая |
слагаемые |
|
порядка |
р |
|
получаем |
|
уравнения турбулентного |
пограничного |
слоя в |
виде |
||||
|
|
-w |
|
= Х |
|
др |
|
|
дх |
|
|
дх |
|
||
|
у |
ду |
|
|
|||
|
Г dtc. |
•р W'xW'y |
|
дй- |
\ (2-9) |
||
ду |
ду |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
_ ( |
р + |
Р |
ш -) = |
0. |
|
|
Последнее уравнение показывает, что при значитель ных пульсациях скорости давление изменяется по тол
щине пограничного |
слоя. |
|
|
|
|
|
Оценка порядка величин позволяет установить связь |
||||||
между |
толщиной пограничного |
слоя |
и величиной |
пуль |
||
саций |
скорости. Действительно, |
поскольку инерционные |
||||
члены уравнения (2-9) порядка |
pw2x, |
а дополнительные? |
||||
слагаемые —pw'2 x /8, то при одинаковом порядке |
инер |
|||||
ционных и дополнительных |
слагаемых |
получаем: |
|
|||
|
:-2 |
' 2 |
|
„ |
' 2 |
|
|
|
• '"Nj р |
или |
|
_ 0 |
|
24
Выражение ]/~w 2jwx называют степенью турбулент ности и обозначают через е:
v 4
Таким образом, толщина турбулентного пограничного слоя порядка квадрата степени турбулентности:
Легко |
убедиться, что |
уравнения |
энергии |
д л я |
турбу |
|||||
лентного |
пограничного |
слоя примут |
следующий |
вид: |
||||||
|
|
|
|
|
|
х |
дх |
1 |
|
|
|
|
дТ |
|
|
|
1 — т |
di |
I |
|
|
|
|
ди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fdwx |
у |
• |
(дш'х\* |
|
|
|
(2-10) |
|
|
|
\ду |
|
|
)~*~\ду) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
1 дТ |
|
|
|
TZZT |
д'о |
|
|
|
|
|
I |
ду |
) |
^{ду |
) |
+ |
|
|
|
Последнее уравнение записано без учета возможных пульсаций коэффициента вязкости.
2-3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРМАНА
Уравнения пограничного слоя П р а н д т л я существенно проще исходных уравнений движения и позволяют ре шить ряд частных задач с простыми граничными усло виями. Однако в общем случае решение задачи остается очень сложным с вычислительной стороны.
Следующий решающий шаг в теории пограничного слоя сделан К а р м а н о м , предложившим интегральное со-
25