Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Д л я

сокращения

записи

предварительно

обозначим:

дх

дх

2

, .

\

+ ду

ду

Y

I

dwv

\~1

.

д

Г

/

•

(to,

V

г

сое

У J "т"

<fe

^ дх

J

и примем д л я простоты ji=const . В этом

частном

слу­

чае осреднение функции \\>х не дает дополнительных

сла­

гаемых.

Кроме того,

преобразуем левую часть

уравнения:

A =

P .

dwx

|

dwx

,

dwx

i

dw*

dt

ду

dz

=

P

Ow,dt

- ~

{?WXWX)

{?WyWx)

-f-

( р ш г о » я ) -

wx

д (.?&*) , [

д (pwy)

,д

(ршг )

dw

dy

'

dz

1

Но

согласно

уравнению

неразрывности

(1-8) выраже­

ние в

прямоугольных

скобках

равно ^ —

и, следова­

тельно,

Л

^ (Р'^х)

|

d

дх

+~ду~ ( Р ш У ш * ) + ~ а Г

(pwzwx).

Заменяя

истинные

значения

величин через

осреднен-

ные и пульсационные

и производя осреднение,

получаем

уравнения

Рейнольдса:

д

,—,—г~г

i — dw~.

ЧР

J

<?x

дх

'

П

ду

1

r)z

dp

1 даУ

_J_

Of

(P'a»'») +

Р

й

— ду

} (1-17)

dz,.

dig

dz

дх

dp

d*t

,

2—10

6

17

В этих

уравнениях

через а и т обозначены

соответ­

ственно

нормальные

и касательные

добавочные (рей-

нольдсовы)

н а п р я ж е н и я :

— ах

=

р о/2

- f - j p'w'x ^f-

dx + wx?'w'x;

1

ь .*у •

"p w'vw'x

+

^vVxsfx-\-

j

-J- г ^ Й М У

+

—

tx y =

P и » ' г о > ' » 4 - й?г p 't»'* +

j

^ f - p'M)'z dz - f

+ p'tw' z ai' s ;

-

= " p < V +

j" P 7 ^ ^

r

f

y

+

™v7™\j\

'•yz

pw'zw'y

+

Й7г р'ш'„ +

j

р Ч а ^ - g - dz

+

(1-18)

zyX =

p w'xw'y

+

г15ж p'tiy'y 4- j

p'w'x

^

dx 4-

4 - p ' t w ' y a » ' x ;

-

*: =

P®' 2 + jp'tB'z

fife

4- Ш2 р ' Ю ' г ;

=z* =

PW'XW'Z

+ Wxp'w'z4" j Р'Ш'Я

rfX

+

4- p'tu'xtw'j,;

гУ

= " p sy'ytiy'z 4- w v

P 4 ^ 4 - j

p 7

^

4-

-

f

9'w'yW'z.

Последние

слагаемые касательных напряжений

pw'yw'x,

p'w'zw'x

и p'w'zw'y

(тройные

корреляции)

обычно

пренеб­

режимо

малы

в сравнении

с другими

слагаемыми . Кро ­

ме того, зачастую вообще можно пренебречь

влиянием

пульсаций

плотности.

Наиболее

простую

форму

добавочные

н а п р я ж е н и я

принимают

в случае

установившегося

движения

несжи­

маемой

жидкости:

3 * = — ра/2 ;

а у = = — p a / 2 ;

a z

=

-

(1-19)

^

= —

pay'ytt)'*; % r =

— pay'zte/y;

i x z

= —

pw'zw'x.

О д н а ко и в этом случае

определение

напряжений

представляет

задачу исключительной сложности, не

имеющую пока

удовлетворительного решения.

Первый важны й шаг в этом

направлении

был

сделан

Л . П р а н д т л е м ,

установившим

зависимостьмежду

пуль­

простоты Х=const и пренебрегая

влиянием

последнего

слагаемого, получаем:

+

& + *

(1-20)

теперь

< 7 *= ~~Х-ЖГ~h?cvT'w'x;

Л

(1-22)

h'= — * 4 т " + 9 C v T ' m ' z .

дг

2*

19

ставляет задачу

большой

сложности

д а ж е для

лами ­

нарного течения

несжимаемой жидкости.

Р е ш а ю щ е е

упрощение

уравнений

движения

было

является лишь вблизи обтекаемых поверхностей;

об­

ласть, в которой влияние вязкости значительно,

полу­

пограничного слоя

влиянием вязкости практически мож­

но пренебречь. Толщина пограничного слоя б

обычно

мала

в

сравнении

с характерным

размером

/

обтекае­

мого тела или поверхности:

Последнее неравенство и было использовано

Прандт ­

лем

для

оценки

порядка отдельных слагаемых,

входя­

щих

в

уравнения

движения, что

позволило

отбросить

ряд

слагаемых,

не

о к а з ы в а ю щ и х

заметного

влияния на

значительно

проще исходных, что облегчает решение

ряда практически в а ж н ы х задач .

Переходя

к выводу уравнений П р а н д т л я , ограничим­

нений

(1-5) при условии

dt

2

д Г

3

дх