Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

т

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

Средняя

квадратнческая

ошибка

фильтрации равна

© v

(1}

= \М (

t

,

t )

i

e

, V ) d e .

1.2.162)

Заметим,

что

физически

реализуемый

алгоритм

линейной

фильтрации

получается

из уравнения

(2.152)

и.имеет

вид

где

 

 

1

t

 

 

 

 

 

 

 

^4t,or)

=

J

- ( Л / О А Л * , ^ ? ;

{?.\bk)

 

 

2.S. О Д Н А

З А Д А Ч А

 

Н Е Л И Н Е Й Н О Й

 

 

 

Н И З К О Ч А С Т О Т Н О Й Ф И Л Ь Т Р А Ц И И

 

 

 

 

 

 

i

•

 

 

 

 

Пусть наблюдается

колебание

 

 

 

 

 

 

. у ( Л ) - А * ( Л )

+

i^U") ,

 

С2.155)

где, как и ранее, h(t) и n(t) — нормальные процессы с известными статистическими характеристиками .

Оптимальный измеритель может быть построен, в частности, в соответствии с алгоритмом (2.121), в .котором

т

Таким образом, здесь функция

Xv.VhM'O\

явно за­

висит от параметра, подлежащего оценке.

 

Итак,

 

 

• т

-т

 

l 4 t ) = v ^ + 2SL^,ACt)AwU№)l ^ \ V ^ ) ^ ^

-

I

И м п у л ь с н ая

переходная функция оптимального фильтра зави­

сит от \(t).

В

качестве квазиоптнмального варианта

можно

ис­

пользовать

алгоритм, при котором вместо соотношения

(2.164)

ис­

пользуется

среднее по ансамблю реализации А. (7):

 

 

При этом функция £ ( / , т ) определяется уравнением:

Структура измерителя приведена но рис. 2,4.

Vit)

т

*~Ъ

Ait

JtfO

i/ti

Piie. 2.1, Алгоритм нелинейной тшочлстотпой" фши.трашт.

Если A " 4 t , f ) " ~ S l ^ t - f ) , то вместо уравнений t2-l6S)

N 0

2.170) получим с учетом соотношения (2.169)

Jut,*yw" V e)dt * — u1л <фЧ®) + v i ч е -

^ 2 )

. 6 3

 

 

2.9. М Н О Г О М Е Р Н Ы Е З А Д А Ч И

О Ц Е Н К Ж П Р О Ц Е С С О В

 

 

Обычно в сигнале кодируется несколько

параметров. Д а ж е ес­

ли

только

некоторыр

из них являются

полезными,

представляет

интерес их совместное

измерение. При этом

сигнал

можно

считать

регулярным.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщим

полученные результаты

на

случай

оценки

векторно­

го процесса. Пусть

наблюдается колебание

вида

 

 

 

 

 

 

 

yrv) = ь ^ Д^-)} + net),

 

 

 

12.mi

где

 

1 \ V )

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим логарифм функционала отношения правдоподобия

отрезком

многомерного - рада:

 

 

 

 

 

 

 

 

Т N

N

 

N

 

 

т т

 

 

 

 

 

+ \ ч* { i Д w, ^ауНад

 

^ + г \ \ \5 w -

 

 

 

Ч2 \t,*,XU) ,"U*)\[i\<0 -1 (г)] dt dt ,

u.n-o

 

 

 

N

 

_ ^

 

 

_

 

_

 

 

где

'

 

~Xi.t)

— околоэкстремальная

векторная

функция;

 

i4 \ t, mV)Ди) \ — вектор-столбец

первых

частных

функ-

 

, ч

 

 

 

циональных „производных,

вычисленных

кД^^Н'О-Л^')^ — матрица вторых смешанных частных функциональных производных, вычис­ ленных при 1<д-) = -fixl

Частые функциональные производные определяются интегГральнымн соотношениями

t-o i \ *

(2.175)

6 Q

- п<Д = i,2, ... ,n, -T7e4[e,,6+ 2 , ... ,t n >) ,

где o(£]F — произвольная непрерывная векторная функция.

При отсутствии

априорной информации о парамгчрпх оператор

фильтрации имеет

в и д :

54 :

г д е - м а т р и ч н ая

функция Q(t,т)

определяется уравнением

 

причем

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HU,t)e

" Ч Ь - г ^ Д У )

•

U.I7S)

, Еел1 измеряемый ьекторный

процесс

 

является

многомерной

нормальной

случайной

функцией

с функционалом плотности веро­

ятности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р \

Щ

«ke*p^ [[[ХиЛЪ] V 4 t д) *

 

 

 

 

4 [A(.*)-~H<t)] eUd«c\

•

 

{i.m)

IX)

вместо

уравнений

(2.120)

и (2.12!)

получим

 

 

 

х [t) - л U ) + \ и а

, * ) \ к , [ * Д

е.*), у (,т)} +

 

 

 

+ ] >Г 1^)^?(<У)-А(<5)]й<з-|

dr ;

 

(,2.i80v

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I «,t)

= * (Л) + So

L t l , t ) | H A

, Л ( д ) , у v t ) ] +

 

 

 

 

+

i H ^ . ^ t w - H ^ d f f ^

 

dir .

• '

w.l&O

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная

функция

оптимального

 

многомерного

фильтра

удовлетворяет

интегрально-матричному

уравнению

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\,

 

( t , < * ) d ^ + L

U , < n . - W U , 6 - ) ,

 

(2.182)

где

е

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stt^-SBU^V-teVO d S - .

 

(.2.185)

 

 

 

Многомерные варианты алгоритмов линейной[фильтрации оце­

нок

максимального правдоподобия имеют вид,'

 

 

 

Л (.t) - J u > + J X t f . Д ) Р ^ ) - Л

v o ] d t ;

 

 

 

• j .

 

-

«V

 

\ Л

-

 

л

(2.184)

 

л а ) » о < Л ) * j 1 ^ л н л ^ ) - ^ v o j d f ,

 

 

где

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

0

T

( 0 I&5)

* I t , * ) -

S LAt,<s) H ^ t ) de- .

^ '

~о —

Потенциальная точность, совместной оценки процессов алго­ ритмами (2.180), (2.181), (2.184) характеризуется дисперсионной матрицей

 

 

 

X

<Л) =

L U . t ) •

 

 

 

13.186)

В случае линейной многомерной фильтрации вместо соотноше­

ний

(2.155),

(2.156)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

lU)="5(.t)+S I v t . t ) ^ ^ ) - ! ^ ) ] dr;

12.

 

 

 

т

 

 

 

. о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

среднеквадрагичесГКПх

о т ш ю щ "фильтрации

будет

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

частном

случае,

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A l V t )

-

Ne<A) $U><0 ,

 

02.190)

из

уравнений

(2Г188)

найдем

 

 

 

 

 

 

•г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д а н н о е , уравнение можно

привести

к_виду

классического

уравне­

ния Винера — Хопфа,, если

 

обе ч а с т » «со

домножить

справа

на

ti'Ht)

'•и^втести. обозначение

 

 

 

 

 

П р и

этом л получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J l l t r

) У

I t , eft d t

+ м (Л

 

 

la . № )

 

ГГрн помехе

типа

белого

стационарного

шума упрощаются

и

операторы нелинейной фильтрации. Если сигналы имеют вид опе­

раторов Немыцкого, то уравнение

(2.182) может быть приведено

к виду

v

а

 

8.10.

А Л Г О Р И Т М Ы

О П Т И М А Л Ь Н О Й

Э К Ш Ч П О Я Я Ц И И

 

 

 

 

ГАУССОВЫХ П Р О Ц Е С С О В

 

Пусть

колебание у (г)

имеется на

интервале времени

наблюде­

ния t

%

<*» > t } •

Требуется

указать

оценку процесса

А ^ « ) для

to v t

» Прн

этих

условиях,

пользуясь соотношениями

(2.120) п

(2.121),

запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- в>

 

 

 

 

 

 

 

 

т j W " \ ' i r , 5 ) [ ^ ^ ) - A ( ® ) ] a ^ |

d * ;

\гю)

 

 

 

- оо

 

 

 

 

 

 

Уравнение (2.J3!) при сделанных предположениях имеет иид

Где искомая функция L(i0,r)

зависит о т ' / . Эта зависимость

более

очевидна, если записать /и в

виде

 

 

 

где To — длительность интервала

времени

упреждения .

 

 

В случае линейной экстраполгшим при

л е п

с

учетом

соотношения (2.150) получим

из

выражения

(2.196)

 

 

V

З д е с ы

г

_4

Смотрите также файлы