Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2

N

 

R ^ CW = ®" •cds«e Ct'-<t) +

.

14.18)

Такую корреляционную функцию имеет аддитивная смесь белого >шума (со спектральной плотностью мощности и гармониче­ ского сигнала единичной амплитуды, искаженного постоянной, но случайной мультипликативной помехой с дисперсией о 2 .

Легко проверить подстановкой выражения (4.18)

в'соотноше ­

ние '(4.8^

что

 

 

 

'Если «представить

0

*

в виде

функцию

( t , < t )

^

= -

-|-г vOS u 0 У: - 1 ) +

( t - < 0

<AcL0)

и подставить в уравнение «обращения», то получим

Пусть оценивается величина Х = о 2 . Из выражения (4.19) имеем

d

U ^ )

_

Т

.

^ . 22)

 

с1<?г

™"

N b T ( ? a T

 

 

С другой стороны,

используя

соотношения

 

(4.15), (4.18) и

<4.20), найдем

+ 4"

H t " O l did* ^

т

•

,

(А.25)

 

 

Т

 

 

 

No

J

NQ -v<Sa T

 

 

что, как й следовало ожидать, совпадает с выражением (4.22). Величина % зависит только от энергетических параметров при­

нимаемого •колебания-. Если оценивается неэнергетический пара­ метр, например, частота <оо, то

 

 

 

•— и •>

 

Это

р а в е н с т в о - получается н

при

использовании

соотношения

(4.15). •

 

 

 

 

Таким образом, при

оценке

параметров флуктуирующих сигна­

лов

вместо вычисления

величины f

по выражению

(4.8) предпоч-

102

•рительнее

непосредственно

находить производную - *

в соот­

ветствии

с соотношением

(4.15).

 

Возвращаясь к функционалам плотности веррятности нормаль­ ны* случайных процессов, отметим, что их можно представить в виде

т т

где

I

— сингулярный множитель, не' зависящий

от параметра

во

всех

случаях,

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

00

 

 

 

 

 

 

 

Приведенные

соотношения

непосредственно

обобщаются

на

случай

наблюдения

векторного проийсса у((),

пи случай наблюде­

ния

поля !/(t,r),

а

также

на

случай

оценки

 

векторного пара*

метра

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

О Ц Е Н К И

С Р Е Д Н Е Й

Ч А С Т О Т Ы

 

 

 

К В А З И Г А Й М О Н И Ч Е С К О Г О С И Г Н А Л А И С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Х

 

 

 

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К

С Т А Ц И О Н А Р Н О Й

Г А У С С О В О Й

 

 

 

 

 

М У Л Ь Т И П Л И К А Т И В Н О Й П О М Е Х И

 

 

Предположим, что па н.чод приемного устройства

измеритель-

ной

системы

поступает киазнгармоничоекий

сигнал,

искаженный

стационарной i-ayccoisoii мультипликативной помехой и аддитивным белым гауссовым шумом

^ D - ' ^ e b o S W ^ + ^ t K o s ^ ^ v t y ( , t ) ] + н ( Л ) -

>

причем

,103

Таким образом,

Оценим, ..режде всего, среднюю частоту квазигармоннчеоких колебаний . Полагая, что

из уравнения типа (3.16) получим для функции.

При 'JbT>.>. 1 приближенное решение находится методом с преоб- ( разованием Фурье .

где _ '2

— отношение мощности'флуктуирующей части сигнала к мощности

аддитивного шума с плотностью Д^.

в полосе

р.

Оптимальный

выходной

эффект

измерителя

средней частоты

будет

.

•

' . .

 

 

? Щ = - ^ l ^ t ) C Q S tot

CU +

Т

Т

2

где функция /z(J—т) связана с

Й Ч ' Ъ - т ' )

уравнением

104

1

 

 

о

 

 

Вычислим

величину

дисперсии оценки средней частоты:

 

-г .

П

г - p 4 U > f u k > ) | t - < c \

 

 

 

о о

 

 

 

Т Т

 

Г г

Сч.315)

+

 

 

 

И fApttSia b)0t%iriOe«t[^j- 8 (Л "О -

Оценим теперь

величины| ®)и,. .,н

полагая для

простоты, что

^о = 0. Вычислим,

прежде всего, логарифмическую

производную

от нормирующего

множителя функции

правдоподобия

 

0 0

 

 

в

'

 

4<?£

_ - р<|<+к

l t - t \

 

 

 

 

г i — - е

соъю'А-г) d t d t *

— —

" (А.У?)

Поскольку

 

 

 

 

 

 

de-Д

 

. ( i * k ) N ?0

. 2

: i "

 

 

To оптимальная оценка

величины

"является

корнем

уравнения

 

 

0 0 .

 

 

 

 

 

 

 

г + k

- l

dt dt.

 

 

 

 

1 =

 

 

 

105

Р а н е н и е этого

уравнения

может

быть найдено

методом

итерации.

У.юбнее,

отнако,

использовать

выражение

для

оптимального

выходною

эффекта

измерителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(AAO)

fipil'H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-*\\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A M)

H отличие oi измерителя средней чистоты

здесь

 

необходима

перестройка, фильтра

с характеристикой

K ^ - t ,

<з*Д)

,

либо

тре-

йуется

н.чбор

таХНХ

фильтров, причрм

изменению подлежит

как

полоса

г?рипум<;ч-пя,

г я к

и усиление

 

*

 

 

 

ЙЫЧИс/itW

не шчииу

условной д и с п е р с и и ^ , »

предполагая

леи мин •гичегК!У**1 nfcM?(rte.HHOcTh

оценки

 

* 7

 

 

 

Gr'2

 

 

1. мЧМ&ЬЗЙ. J ^ ^ £ J ? A L _

did* .

 

г*

т т

JS

ПРИ .• к. «;< \. , ,

т

Оптимальный выходной чффект. измерителя ширины спектра мультиплика, ичных флуктуации совпадает с выражениями (4.40), (4.41), по на этот раз параметром настройки с л ) ж н т величина р.

Вычислим величину

-\

r f

ч

,

.

p

- f t ( . < * i i * " k ) | t - t l r

TOO

Таким образом

8ft

При W \

Сч.чч)

при к>»И

Заметим, что

 

- I

ds-Д 3jb

dji • d t d t -

 

 

 

 

 

при

k. A*. \

;

 

 

 

 

 

 

 

(Ч.Ч5)

 

 

 

T .

при

k. i ^

t .

 

 

 

 

 

При

совместном

измерении "неизвестных параметров <зД и р"

матрица

Фишера

имеет

вид

 

 

 

 

Г к г

т

 

кт.

 

 

 

Ф

к.Т

. •

" т

 

 

 

Т.

при

к > > 1

(.чЛ-7)

Т

107

(Матриц,) условныхирварпацпй otuitdoK совместного намерения 5*н р1 .4игш, при к < л 4 . получается конечной, а именно: -

к 4 ? '

кт

 

(4Л8)

 

Т

Но tpnniieiiHso'ро ..лучаем

намерения одного параметра При из­

вестном лругом здесь налицо ухудшение точности измерения (дис­

персии

«цеймО

в два

раза, П р и \ ь . * 1 определитель

матрицы Фи­

шера равен нулю, так что совместная оценка параметров з**

и р

невозможна.

 

 

 

 

 

 

 

 

Н ряд? случаев оказывается необходимым оценить величину k

при

известной ширине

спектра мультипликативных

флуктуации.

Диалогично предыдущему можно

показать,

что

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

к * < 1 ,

'

• •>

«* —г——

 

 

 

IkiK

при

 

 

k

jsT'J?*-k*£ si+k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

1 уравнение нраПАоподоГжп

позволяет записать

явный

вид

а.т(ир)пм;(

обработки

гтрин,цма.емых

колебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сч.50)

где

функции h ' 4 i - t )

и

4 , ( t " t )

удовлетворяют

уравнениям

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ Н, ft - <s) К, (.т - з-") d <5 -11 - г I e

 

CA3I)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.52)

 

При

известных H и /V0

оценка

величины ft эквивалентна

оценке

 

. Используя выражение (4.42), можно Получить непосредст­

венно

(формулу

(4.40)

из

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сч.55)

 

 

 

 

4

м Ь г

 

 

 

 

108V

Смотрите также файлы