Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf

Скачать файл (6,86Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

i i.iчсt японка соотношений (2.32) в в ы р а ж е н и и (2.30) и (2.31) lav?

I 0

тT

Вряде .случаев процесс М ' ) является медленно изменяющимся относительно функциональных производных. При этом ряд (2.6)

можно представить приближенно следующим образом:

l k - l ) T ,

(5.56)

U - O T . « ? - 0 T F

Соотношение (2.3b) соответствует случаю дискретио-пепрерыв- мого наблюдения. Если используемый сигнал высокочастотный, то разложение (2.36) всегда предпочтительнее, чем ряд (2.6).

Гели ввести обозначения

( k - 1 Y T

WT. i \

то соотношение (2.36) можно записать и векторном виде:

где Д/г - - матрица, состоящая из элементов — \ V i 2 ,е )> * Приведем теперь в иллюстративных целях ряд соотношений,

соответствующих белому аддитивному шуму, когда

В векторном случае белые шумы могут быть взаимно .коррелиро ванными:

3 2

В соответствии с выражениями (2.10), (2.15) и (2.40), получим

—	.	(.2.42)
H { t , * Д и ) Л и - ) \	=

Используя теперь соотношения (4.37) и (4.38),. найдем

N, J I

В пекториом случае iimwm аналогичные соотношения:

кг	J	dA	. • ° ч	Т*а
Рассмотрим	иакже	редукцию	соотиогпений <2.34)> 1(2.35} к

лучаю ('2.40):

° 'о " о

при t > ,

при

t *• t .

2.3.О П Т И М А Л Ь Н Ы Е А Л Г О Р И Т М Ы О Ц Е Н О К П Р О Ц Е С С О В . СТАТИСТИЧЕСКИЕ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И КОТОРЫХ

АП Р И О Р Н О Н Е И З В Е С Т Н Ы

Д л я нахождении экстремами функционалов отношения

правдо

подобия

необходимо

решать

непосредственно

функциональное

уравнение

с г . 5 2 )

либо

н'тюльзовать

квал^атичное

р а з л о ж и т е

(2.6). Если

выраже

ние

(2.52)

линейно относительно

Ц / ) , то

оптимальная

оценка

легко находится, и она представляет собой некоторый

линейный

функционал относительно реализации у(1).

нелинейном

случае,

варьируя

квадратичный функционал (2 6) и приравнивая

иулнГпер-

HVK)

функциональную

ППОНЗВм U1VTO,

получим

k , { t , J K t ) r ^ $ k - a { t т , Л ч 1 ) , Л ( . с Д [ л С П - з \ ч ^ ] с 1 - т : = О . ( 2 . 5 Ь )

.9.

Введем

функцию

q ' \ t / t

,ЛЦ . ) , A'Tr) \

уравнением

Действуя

на

(2.53)

интегральным

оператором

ядром

4 , { t , f

Д ( Л ) , A 4 t ) >

найдем

Структура

измерителя,

реализующего

этот

оператор,

п р и с т а в л е н а

н а рис. 2.1. Оценка

процесса

для

всех

Н ч 0 , Т )

находится

линен-

УФ

—

- > >

---—(+>

Риг. 2.1. Алгоритм измерении npouccciu статистические характеристики*которого априорно ной тегтпы.

noil фильтрацией нерпой			функциональной крон. толпой, вычислен
ной п околочксгремадытй			"мочке». Н е с ш а я		функция		оптимального
фильтра	носит,' вообще говоря,			стохастический		характер.		Квазион-
тимальнын		вариант измерителя		получим	при	замене		линейного
фильтра	со	случайными	параметрами фильтром с				неслучайными
параметрами, импульсная			характеристика		которого		определена
уравнением':

Если потребовать далее от фильтра выполнения условия физи

ческой

реализуемости,

положив

и п .

, ^ \

I < H t , t , ^ , A t * ) r

при

t >

t ;

q , \ t , T - , i i i , M - t

, 1

t o e !

то алгоритм

обработки

принимаемых

колебаний

будет

иметь вид:

I t ) = Hi)

+ f

Q i t

,«c, A U ) ,

M.t)] К t тЧ, W

* .

(.§,5

Рекуррентный алгоритмсзценки процесса получим из предыду

щих

соотношений заменой

д (Д)

на

Л'(Д]

па

д ^ О О .

Д л я

оценки

погрешности

намерении

процесса

линейной

системой

с неслучайными параметрами при обработке

реализации

y(-t)

па

всем

отрезке

(0,Т)~

вычислим

функцию:

Вили-погрешность

указании

окодо^кстремалыюго

значении

статистически

не

эяпиент от

первой (функциональной

производной,

го последнее

елпгясмро

в соотношении (2,5$)

отсутствует,

ГТотснцпплыши

наименьшая

погрешность намерения

имеет

место, если

разложение

ф у и к ц и о ш и т

отношении

пра1ддоиодобпя_

осуществляется н окрестности истинного ппачеини

пронесен A4V\«Mu'

Дли к о и к р е п ш т н !

iipiiHPAOiiitux

соотношений

рассмотрим

р-лд

задач оценки

процессов

использованием

функциональных

про

изводных,

найденных в

2'2,

Прежде

tic о го

РАССМОТРИМ

случай,

когда процесс

кодируется и

сигнале линейно.-

Используя

вы

ражение (2.2<|). (2.2Г>)

н (2.Г)8),

запишем

к,ем

^функция Q(t,т) • находится из					уравнения
	j Q ( t , t ) - I I a ^ W . A M ^ > a ? ^ ) d t = S u - < r ) .							c.ft.62)
Если все		а к ( Л Ч = Ц ^		к ^ = 0", k « \| . i , . . , ,			R L T O выражения (2 fill
»(2.62)	упрощаются:							^ '
		* U e W - M ® " ) } d < ? d t ;						ч г б i ) -
	S q a . ^ i		\ p ^ , ® y d t		=	$ c t - < ? ) .		(2.6<o
В одномерном			случае	(2.23)	при a(i) = \		и b(t)<=0	имеет три
виальный - результат:
		< l a ) > = A U ) ;
		G-'(-t) =		A ( t , ' . ) .				(2.65)
. ' В одномерном случае				(2.33)	получим
*?	^	"г a 2 A ( t , T r ) , 7				у
A ( t ) = A ( t ) + — —				d t J d j f i A			t j f ^ ) »
			J M 3 C ) d J c l dQ - -					( 2 . Б 6 )
Менягя з'ДеСь псрядокннтегрировани я						по т и ^ , запишем

*		"S A ( , x ) d x ] do-	ia.6T>
!Й'6СкЬльку	.	• 0

то при	t ^ ^ O ,	когда A ( t , 0 ) - • - О	имеем
l ( , i ) = A ( t ) ^ - ^ [ ^ t ) - J i u ) d x ] = u \ t ) .			(.2.69)
		о
' Здесь	учтено, что

Зв

Действительно,- рассмотрим	уравнение
о т - © -	-

Меняя порядок интегрировании по т и А-, найдем при дифферен цировании но <г

Умножая	обе части равенства (2.72) на A t 1 ? , * ) " нптегр.»'
руя по Ф и пределах		от 0 до Г,	получим
т	х	т	,
\ d x \ Q ( . t , t ) d * J A ( J C ^ A ^ O ^ =
о	о	о

C t

JCtlt, ^ dt dx ^ \

Q c^,«0 d * ,

что н

требовалось

доказать .

При

линейном

кодировании

параметра

оптимальная

оценка

процесса

непосредственно легко

находится

из

у р а в н е ш м

(2.52).

2.4, Р Е Ш Е Н И Е

Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н О Г О

У Р А В Н Е Н И Я П Р А В Д О П О Д О Б И Я

ПГ'Н

Л И Н Е Й Н О М К О Д И Р О В А Н И И ПАРАМЕТРА В С И Г Н А Л Е

Пусть

наблюдается

векторное

колебание

T^t)

=ACt) е +•г (Д) ,

i.2.ik)

где_^

— единичный

вектор-столбец;-

h ^ t )

—

аддитивные шумы

с корреляционной матрицей A(t,x).

Первая функциональна.! производная от

функционала

отноше

ния правдоподобия соответствует иыражешио. (2.2'1)

при G.4 l.V)* U

V U ) = 0 -

Ур'анпенне правдоподобия имеет

М1Д

ПСПО.-IMVH

функцию

Q[t. т),

ил

(2.64)

получим

оптимальный

и п о р н т м

нахожчения

искомой , оценки:

Д а н н а я оценка	несмещенная,	поскольку
	< K t ) > = №		.	•	• £ . 7 7 }
Кроме того, можно показать, что
Рассмотрим	теперь задачу	оценки		процессапо	наблюдениям
его линейных	функционалов	на фоне		взаимно-коррелированных

аддитивных помех. Отметим, что случай, когда помехи в к а ж д о м канале некоррелнрованы между собой, изучен в работе [78].

Пусть на вход системы обоаботки информации поступает ко

лебание			—
			^<Л) = < М Л < Л Н			-		С2-79)
где <2_{Л(Л)} —			результат действия линейных операторов					на функ
цию	K(t).
Функционал			(2.2)	после	логарифмирования		имеет в	данном
случае	в и д :		т т
			т т
	т т		00			.
	т т	n
-	И	И *	к {	Щ \ г	М	ЪЛЪ 4t - dL*	-