Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
состоящим из бесконечно тонких круглых плоских дисков, радиус которых равен Yr\ —z 2 > а толщина равна dz. Легко показать, на основании (3.54), что доза гамма-излучения во внешней точке, находящейся на высоте (г0 — z) над центррм такого диска, для случая однородной начальной объемной плотности заражения дается формулой
d Д т == 2 « ВN0dz |
IЕ1 [?0(г0 |
- г)} - |
Ех [НУ 2г0 (r0 - |
z)] ), |
(3.113) |
|
а интенсивность гамма-излучения |
на |
основании |
(3.59) |
состав |
||
ляет |
|
|
|
|
|
|
dI=2*CN0dz\Et[H(ra-z)} |
- |
1 ^ = Д - Е2 |
[НѴ 2г0 (г0 - |
г)] J. (3.114) |
||
Интегрирование (3.113) и (3.114) по dz в пределах (—г0 , г„) довольно громоздко и дает соответственно (3.64) и (3.71), как и должно быть. На этом исследование поставленной задачи можно считать оконченным.
§ 30. Гамма-излучение объемно-радиоактивного полушария [6, 25, 26]
Рассмотрим два важнейших частных случая задачи на опре деление дозы и интенсивности гамма-излучения во внешней
точке для объемно-ра |
|
|
|
|
|
|
||||||
диоактивного полушария |
|
|
., |
|
fy |
|||||||
радиуса |
г0 при однород- |
|
|
|
в \ |
|
|
|
||||
ной начальной |
объемной |
|
|
|
|
|
|
|||||
плотности |
|
заражения. |
|
|
|
|
|
|
||||
Первый |
частный |
случай |
|
|
|
|
|
|
||||
изображен |
на |
рис. 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначения |
те же, что |
|
|
|
|
|
|
|||||
и на рис. 14. Внешняя |
|
|
|
|
|
|
||||||
точка расположена на оси |
|
|
|
|
|
|
||||||
симметрии |
полушария. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для гамма-излучения в |
|
|
|
|
|
|
||||||
этой |
точке |
определяется |
|
|
|
|
|
|
||||
(3.91), |
но |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
17 |
|
|
AB = R2 |
— Rj_ = Rycos2 |
|
|
|
До |
|
|
|
||||
|
& - |
а2 |
+ cos Ь |
|
|
|
||||||
|
AB = R2 |
— RY = 2tfO l/cos2 |
» |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
arccos |
Ro |
|
( |
arccos а, |
(3.115) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где R2 = BM, RX |
VRÎ+ГІ |
' |
|
|
|
когда |
||||||
— AM и а дается (3.93). Для вакуума, |
||||||||||||
[А = 0, |
(3.91) |
упрощается |
|
и с |
учетом (3.115) |
принимает вид |
||||||
ИЗ
Со |
j [j g - |JLoÄob' r coS=» - a* + sinO tgö]J |
X |
|
|
m |
|
|
X s l n & d f r + |
j [ l —e -a |
»-.»•] sin&rffr. |
(3.116) |
|
». |
|
|
Интегралы в (3.116) вычисляются только |
|
при а = |
О, |
когда |
|||||||||||||
внешняя |
точка |
лежит |
на поверхности |
полушария. |
|
При этом |
|||||||||||
|
|
|
Со |
|
i + - ^ 2 ( l ^ s v - 0 ) - £ 2 ( ! V - ( |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 Со/"о |
|
|
d Го) |
|
|
|
|
|
(3.117) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так что |
доза |
гамма-излучения (3.116) при |
а —0 |
выражается |
|||||||||||||
через функции |
Кинга |
(1.91). Интенсивность |
|
гамма-излучения |
|||||||||||||
во внешней |
точке |
дается (3.92), |
которое для |
вакуума, |
когда |
||||||||||||
Н- = 0, с учетом (3.115) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2* CM, |
Г». |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
Со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X COS&Sln&ûf |
& + j |
[ l — g-2n.Ä.Vco»»e-«>] cos fr sin ôûf |
ft. |
(3.118) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый |
интеграл |
в (3.118) вычисляется только |
при |
а = 0. |
|||||||||||||
Окончательно |
получим, |
что |
|
|
|
1 -f- /2~fa rn 1 |
|
|
|
||||||||
/ — д С |
Л ° |
l l _ - g - t i . r o |
_f_ |
_1_ |
g - V W o |
1 + |
|
|
|
||||||||
Co |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
r2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Co |
'0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.119) |
На основании общих формул (3.91) и (3.92) с помощью |
|||||||||||||||||
соотношения |
|
Ri= |
/?0[cos Ь — V c o s 2 ô — а2 ] и (3.115) можно про |
||||||||||||||
анализировать |
|
еще |
два |
варианта |
|
рассматриваемого |
частного |
||||||||||
случая, когда |
fi 0 = |
0 |
и с 0 = |
JJ., как это было |
проделано |
в § 29. |
|||||||||||
Второй частный случай, когда внешняя точка находится на под
стилающей плоскости, изображен |
на рис. 14. Очевидно, |
доза |
||
и интенсивность гамма-излучения |
во внешней |
точке соответ |
||
ственно равны половине дозы |
и интенсивности |
гамма-излуче |
||
ния от объемно-радиоактивного |
шара, которые |
даются |
(3.91) |
|
и (3.92). Анализ вариантов этого частного случая не представ ляет затруднений на основании изложенного в § 29.
Рассмотрим теперь первый частный случай, выбрав начало координат в центре полушария. Это изображено на рис. 18, обозначения те же, что и на рис. 15. Доза и интенсивность
114
гамма-излучения |
во внешней точке |
определяются |
соответст |
|||
венно |
формулами |
(3.105) и (3.106), |
но интегрирование |
по dR |
||
нужно |
производить в пределах от {R0—>') |
до YRl |
+ r2. |
Инте |
||
гралы |
вычисляются только при Ri = |
0, |
когда внешняя |
точка |
||
находится на поверхности полушария, причем получаются
формулы (3.117) |
и (3.119), как и должно |
быть. Для упроще |
ния следует переменить порядок интегрирования. Тогда доза |
||
гамма-излучения |
во внешней точке будет |
определяться (3.108), |
но в последнем двойном интеграле нужно интегрировать по dR
от R0 |
до |
YR20 |
|
+ i'2, |
а |
по dr |
от YR2—R20 |
|
ДО |
г„. |
Изменение |
|||||||
порядка |
|
интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
должно |
быть, |
разумеется, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сделано |
и при |
определении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интенсивности |
|
гамма-излу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чения |
во |
внешней |
точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Формулы |
(3.117) |
и |
(3.119) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получаются |
при |
|
R\ = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
о чем уже говорилось выше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно |
|
проанализиро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вать еще два варианта рас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сматриваемого частного слу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
чая, когда |
(І0 = |
0 |
и |
[х0 = |
|А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем |
для последнего ва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
рианта |
интегрирование |
вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
полняется |
до |
конца |
без |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
затруднений, |
а |
окончатель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ные громоздкие выражения |
для |
дозы |
и |
интенсивности гамма- |
||||||||||||||
излучения |
во внешней точке несколько похожи соответст |
|||||||||||||||||
венно |
на |
(3.111) и (3.112). Второй частный случай, когда |
||||||||||||||||
начало |
координат |
выбрано |
в |
центре |
полушария, |
изображен |
||||||||||||
на рис. |
15 |
(§ |
29). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
До |
сих пор применялись |
только |
два |
способа, |
предложен |
|||||||||||||
ные в § 29, для решения и исследования |
двух |
частных слу |
||||||||||||||||
чаев |
поставленной |
задачи. |
|
Можно, |
разумеется, |
применить |
||||||||||||
и третий способ. Автором показано, |
|
что по третьему способу |
||||||||||||||||
можно |
определить |
дозу |
и |
|
интенсивность |
гамма-излучения |
||||||||||||
в точке, |
расположенной |
на |
поверхности |
объемно-радиоактив |
||||||||||||||
ного |
полушария |
под |
углом |
&0 |
к |
подстилающей |
плоскости. |
|||||||||||
Очевидно, |
0 < Я 0 < - ^ - . |
Начальная |
объемная |
плотность зараже |
||||||||||||||
ния при этом считалась однородной. Однако полученные формулы для дозы и интенсивности гамма-излучения чрезвы чайно громоздки, так как содержат двойные интегралы, кото рые не выражаются через элементарные и известные функции,
амогут быть найдены только численными методами при
заданных )->.„, |
г0 и %0. Для вывода этих |
формул потребова |
лось решить |
вспомогательную задачу на |
определение дозы |
115
и интенсивности гамма-излучения во внешней точке, распо ложенной на высоте h над центром бесконечно тонкого круг лого плоского диска радиуса а и толщины dz, при однород ной начальной объемной плотности заражения, а затем анало гичную задачу для обрезанного диска, т. е. диска, от которого отрезан сегмент. Для круглого диска по (3.54) и (3.59)
|
dДл |
= 2 wBN0 dz [ЯЛц h) - |
Е^Ѵо? |
+ |
h2)}, |
|
|
|
||||
|
dl-- |
2 те |
CN0dz E2([>. h) — • |
h2 |
•E^Vcfi+h*) |
|
|
(3.120) |
||||
|
|
|
|
|
Ya2-'r |
|
|
|
|
|
|
|
причем (3.113) и (3.114) являются |
частными |
случаями |
(3.120) |
|||||||||
при |
р. = |
{І0 , |
h ==(/-„ — z), а2 |
= (r\ —z2). |
Вопрос |
о |
применении |
|||||
первого и второго способов, предложенных |
в § 29, для реше |
|||||||||||
ния |
задачи на определение дозы |
и интенсивности гамма-излу |
||||||||||
|
|
|
|
чения в точке, находящейся на по |
||||||||
|
|
|
|
верхности |
объемно-радиоактивного |
|||||||
|
|
|
|
полушария |
под углом Ь0 |
к подстилаю |
||||||
|
|
|
|
щей |
плоскости, |
подлежит |
исследова |
|||||
|
|
|
|
нию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
два |
важнейших |
част |
|||||
|
|
|
|
ных случая задачи на определение |
||||||||
|
|
|
|
дозы гамма-излучения во внутренней |
||||||||
|
|
|
|
точке для объемно-радиоактивного |
||||||||
|
|
|
|
полушария |
(объемно-радиоактивной |
|||||||
|
|
Рис. |
19 |
полусферической полости) радиуса г0 |
||||||||
|
|
при |
однородной |
начальной |
объемной |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
плотности |
заражения. |
Первый |
част |
|||||
ный случай, когда внутренняя точка расположена на оси
симметрии |
полушария |
на расстоянии |
R = |
\z\ от |
его центра, |
|
изображен |
на рис. 19. |
Если |
применить |
третий |
способ, то |
|
с помощью |
рис. 19 и (3.120) |
получим, |
что |
|
|
|
-{E1[HVrl |
+ |
R2-2Rz]dz |
(3.121) |
причем fJ- = [A0. Вычисление интегралов в (3.121) не представ ляет затруднений, так как свойства интегральной показатель ной функции хорошо известны. Окончательный результат имеет вид
Д,- |
2xBN0 |
2-E^0R)-EMr-R)} |
|
+ |
|
|
|
|
|||
f - g - (('"о - R ) 2 |
Е і Ы г о -R)]-(r2o |
+ R2) |
£i{^0V^+R2)} |
||
116
• г а - ш + м г » - / ? ) ] |
em(і-о-Л) |
|
|
|
|
|
|
|
(3.122) |
Формула (3.122) |
при R — >'0 |
переходит в (3.117), как |
||
и должно быть, а |
при R = 0 с |
помощью |
правила |
Лопиталя |
получим из (3.122) дозу гамма-излучения |
в центре |
полушария |
||
Д,= |
- ï*BN0 |
j - ! — в-Р-.^.]. |
(3.123) |
|
Формулу (3.123) легко вывести непосредственно. Второй частный случай, когда внутренняя точка расположена на под
стилающей |
плоскости |
на расстоянии |
R — x |
от |
центра |
полу |
|||||
шария, тоже изображен на рис. 19. Если |
опять |
применить |
|||||||||
третий способ, то с помощью рис. 19 и (3.120) |
будем |
иметь, |
|||||||||
что |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- г)]d z + \ E ^ z - |
R)} dz • |
|
||||
|
|
|
• о |
|
|
|
|
|
|
|
(3.124) |
|
|
|
j E1[HVt* |
+ |
I?-2Rz] |
dz |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
-Го |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
|х = |
[А0. Окончательно |
получим |
|
|
|
|
||||
Дл |
= |
-.BN0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft) |
- |
Е2[у.0(г0 |
+ R)]- |
Е*Ыг0 |
- R)} |
+ |
|
||
2R {(r0-R)3E1[^{r0-R)]-{r0 |
|
+ |
R)iE1[v.0{r0 |
+ |
|
R)]}- |
|
||||
|
[ 1 + Ѵ-оіГо-R)] |
е-М"-*>—[1 |
+ Цо(г0 + |
R)]e-**'+«4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.125) |
Формула (3.125) при R = i'a дает половину результата (3.64), как и должно быть, а при R — 0 с помощью правила Лопи таля получим (3.123).
Автором также показано, что по третьему способу можно определить дозу и интенсивность гамма-излучения в точке,
расположенной |
внутри |
объемно-радиоактивного |
|
полушария |
на расстоянии R от его |
центра и под углом 9-0 к |
подстилаю |
||
щей плоскости. |
Очевидно, 0 < & 0 < - £ - . Начальная |
объемная |
||
плотность заражения при этом считается однородной. Однако полученные формулы для дозы и тем более для интенсив ности гамма-излучения чрезвычайно громоздки, так как содер жат двойные интегралы, которые не выражаются через элементарные и известные специальные функции. Эти инте гралы могут быть найдены только численными методами при
б з |
.117 |
