Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

на определение дозы и интенсивности гамма-излучения для поверхностно-радиоактивных и объемно-радиоактивных полу­ шария, вытянутого сфероида, сплюснутого сфероида, шарового сегмента и шара, от которого отрезан сегмент. Задача на опре­ деление дозы и интенсивности гамма-излучения для объемнорадиоактивного шара исследована недостаточно.

Рассмотрим задачу на определение дозы и интенсивности гамма-излучения для поверхностно-радиоактивного полушария радиуса г0 , изображенного на рис. 11, при однородной началь-

Рис. и

ной поверхностной плотности заражения. Из рис.

11

легко

найти, что

 

 

 

 

 

 

г2 = Я 2 + r 2 - 2 / ? r 0 c o s & ,

 

 

 

& m a x = arccos-^-,

 

 

 

(3.77)

RÎ = R2

+ го -

2Rr0 cos ft0,

 

 

 

где R — расстояние от центра

полушария до

внешней

точки;

—>

подстилающей

плоскостью,

т. е. пло­

&о — угол между R и

скостью, на которую опирается полушарие.

Кроме

того, из

рис. 11 можно найти, что

 

 

 

 

 

tg &о COS ь

 

tg &о

= = - .

, 0

_ о ч

Ф0 = arccos *

= arccos —

* 0

(3.78)

у 1 — cos 2 »

 

/ (

2Rr0

) 2

 

 

 

 

У

\R2 +

rz0-r*<

 

 

104

Определим сначала дозу гамма-излучения. Согласно (3.19) получим, что

 

Дл = Вп0^

 

= 2Bn0rl X

 

 

 

AS

 

 

 

Э0

_ ( 1 Г

*

-max

(3.79)

X j ' - ^ — s i n & r f ô | , û f c p +

j

-£-_S in&ûr&JаГф

.0

 

0

&„

<»„(») _

 

так как dS = rgsln &ûf &rfcp. Интегрируя в (3.79) по ûfcp и заме­ няя интегрирование по db интегрированием по dr с помощью первой формулы (3.77), получим, используя (1.90), что

д^^1р^{ЕМ^-г^Е^УЖЩ-^К. (3.80)

где

 

-Ѵ-г

 

К=

f ±—%(f)dr.

(3.81)

До

Формула (3.80) является решением первой части задачи. Первый член в (3.80) согласно (3.32) представляет собой дозу гамма-излучения во внешней точке от поверхностно-радиоак­ тивного шара. Второй член в (3.80) согласно (3.81), (3.77) и (3.78) является функцией параметра Ь0. При & 0 = 0 по (3.78)

Фо= у - и по (3.77) R0=(R — r0), так что

К ^ ^ І Е ^

- г

^ - Е ^ У

Ж

^ }

,

 

(3.82)

а при ô0 = & m a x

К=

0, так как в этом

случае

RQ = ]/7?2

— г§.

Таким образом,

если идти

от вершины полушария к

подсти­

лающей плоскости,

то доза

гамма-излучения во внешней точке

при - ^ -<& 0 <arccos- ^ - остается

постоянной

и равной

дозе

гамма-излучения (3.32) от

шара,

а затем

постепенно

спадает

от даваемой (3.32) до вдвое меньшей

при ô 0 =

0.

 

 

Определим теперь интенсивность гамма-излучения. Соглас­

но (3.27) и (3.79) получим

после

несложных

преобразований,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = J i r

1

^

с м Ѳ і г -

^

- І ,

 

 

(3.83)

 

 

Д - Г 0

 

 

 

 

 

 

 

 

где І0 определяется

(3.30), а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• cos Qy0(r)dr,

 

 

(3.84)

 

 

До

 

 

 

 

 

 

 

 

105

причем из рис. 11

 

РЗ J_ ,-2

г2

 

созѲ =

\ R f

0 .

(3.85)

Формула (3.83) является решением второй части задачи. Первый член в (3.83) представляет собой интенсивность гаммаизлучения во внешней точке от поверхностно-радиоактивного шара, даваемую (3.39). Второй член в (3.83) согласно (3.84), (3.77) и (3.78) является функцией параметра &0 . Когда &0 = 0, то по сказанному выше

 

L = -Y

j - ^ - ^ с о э Ѳ ^ г ,

(3.86)

а при ö 0

= ö m a x 1 = 0 . Поэтому если

идти от вершины

полу­

шария к

подстилающей

плоскости,

то интенсивность

гамма-

излучения во внешней точке п р и ô 0 < arccos— остается

постоянной и равной ин­ тенсивности гамма-излуче­ ния (3.39) от шара, а затем постепенно спадает от да­ ваемой (3.39) до вдвое меньшей при ft0 = 0.

Рассмотрим еще задачу на определение дозы гам­ ма-излучения . для поверх­ ностно-радиоактивной полу­ сферической полости ра­ диуса г0 при однородной начальной поверхностной плотности заражения. Про-

Риг 12

анализируем сначала воп­ рос об определении дозы гамма-излучения во внутренней точке, изображенной на рис. 12.

Легко показать, что Ro — R2 + z2 и

г2 = R2 + z2 + г\ - 2/?г0 sin Ь cos ср — 2zr0 cos &,

(3.87)

где R — расстояние внутренней точки от оси апликат; 8- и ф — соответственно полярный угол и азимут элемента поверхности dS = r\ sin Ь dЬ d ф. На основании (3.19) получим, что доза гамма-излучения во внутренней точке равна

R^Bn^dy]

,

(3.88)

о

*/,

 

где г определяется (3.87). Двойной интеграл в (3.88) может быть найден только численными методами при заданных ц,

106

R, z и Го. Однако

при R = 0, когда

внутренняя точка лежит

на оси

апликат, двойной интеграл в

(3.88) вычисляется, и доза

гамма-

излучения

будет

 

 

 

 

Д 1 = 1 1 | р {

А И г 0 - | г | ) ] - Е ^ Ѵ Л + Щ ,

(3.89)

так

как для

внутренней

точки 2 < 0 .

В

центре полости

2 = 0,

и по правилу Лопиталя

получим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д1 = 2«Вп0е-*',

 

 

(3.90)

а на

 

поверхности

полости

|z| = r0 ,

и

доза

гамма-излучения

обращается

в бесконечность, как и должно быть согласно §'24.

При

 

2 =

0,

когда

внутрен­

 

 

 

 

няя точка лежит на оси

 

 

 

 

абсцисс,

двойной

интеграл

 

 

 

 

в (3.88) может быть найден

 

 

 

 

только

численными

мето­

 

 

 

 

дами

 

при заданных

JA,

Г 0

 

 

 

 

и R,

причем

при R = 0 по­

 

 

 

 

лучим

(3.90), а при R =

r0

 

 

 

 

доза гамма-излучения об­

 

 

 

 

ращается

в

бесконечность.

 

 

 

 

Проанализируем

 

теперь

 

 

 

 

вопрос об определении до­

 

 

 

 

зы

 

гамма-излучения

во

 

 

 

 

внешней

точке, изображен­

 

 

 

 

ной

 

на рис. 13. Легко по­

 

 

 

 

казать, что

(3.87)

остается

 

 

 

 

справедливым. Заметим,что

 

 

 

 

для

рассматриваемой

внеш­

 

 

 

 

ней

точки 0 < / ? < г 0

и 0 < 2 <

 

Рис.

13

 

< о о .

Доза гамма-излучения

 

 

по-прежнему дается (3.88).

 

 

 

 

При

 

R=0,

когда внешняя

точка лежит

на оси апликат,

доза

гамма-излучения определяется (3.89), где \z\

заменяется

на z,

так

как для

внешней

точки z > 0. При r0=R,

когда внешняя

точка

лежит

на оси,

параллельной оси

апликат и удаленной

от нее на расстоянии

г0 , а также при

z — 0,

когда внешняя

точка

лежит

на оси

абсцисс, двойной интеграл (3.88) может

быть

найден

только

 

численными методами соответственно при

заданных JA, r0, Z И [А, Г 0 , R. '

§ 29. Исследование задачи о гамма-излучении объемно-радиоактивного шара [6—8, 10, 22, 23]

Задача на определение дозы и интенсивности гамма-излу­ чения для объемно-радиоактивного шара или объемно-радио­ активной сферической полости из литературы известна уже

107

давно, но исследована она, по нашему мнению, недостаточно. Для дозы гамма-излучения на поверхности и внутри шара

существуют формулы (3.64) и (3.65), а для интенсивности

гамма-

излучения

на

поверхности

шара — формула

(3.71).

Формулы

(3.72) для

парциальных интенсивностей

получены автором.

 

 

 

 

Рассмотрим

подробно

зада­

 

 

 

 

чу

на

определение

дозы

 

 

 

 

и интенсивности гамма-из­

 

 

 

 

лучения

во внешней

точке

 

 

 

 

для объемно; радиоактивно-

 

 

 

 

го

шара

и установим

неко­

 

 

 

 

торые

ее

свойства,

имею­

 

 

 

 

щие,

по

нашему

мнению,

 

 

 

 

практическое значение.

За­

 

 

 

 

метим, что эта задача в

 

 

 

 

рамках элементарной

теории

 

 

 

 

ослабления мож-ет быть ре­

 

 

 

 

шена

тремя

способами.

 

 

 

 

Рис. 14

 

Первый

 

способ

заклю­

 

 

 

чается

 

в том, что

начало

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат

 

выбирается

во

внешней

точке. Это изображено на рис. 14. На основании (3.52)

и (3.54) для элементарной теории ослабления

 

при (гх-{- r2 ) — R,

ri=(R—

Ri)

и г 2 = £ ? 1 доза

гамма-излучения во внешней

точке

будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccosa

ff,

 

 

 

 

 

 

 

 

Ді=2ъВ

J slnbdb

j N0e-^-*Je-»x-dR,

 

 

 

(3.91)

0ff,

аинтенсивность гамма-излучения согласно (3.57) и (3.59) при тех же условиях равна

 

arccosa

 

 

R,

 

(3.92)

 

 

 

 

 

 

 

І=2ъС

j cosôsin&rffl ^

 

N0e-№-RJe-^'dR,

 

 

0

 

 

ff,

 

sin 9-, R при заданном

 

так как $ = Ѳ . Из рис.

14 £ =

 

& изме­

няется от Rt = AM

до Re

= ВМ,

причем

 

 

AB = R2

— Rx

= 2#0

]/cos2 Ь — а2,

(3.93)

 

 

 

 

 

 

я2 ,

 

 

r2=Rl

+ R2 —

 

2RR0cosb.

 

Формулы (3.91) и (3.92) являются основными. В частности, они годятся при любом центрально-симметричном распределе­ нии начальной объемной плотности заражения, т. е. при УѴ0= = N0(r). Для случая однородной начальной объемной плот-

108

Смотрите также файлы