Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

заданных JJ.0, r0, R и ô0 . Эти формулы были выведены с помощью результатов обоих вспомогательных задач, о которых говори­ лось ранее. Вопрос о применении первого и второго способов, предложенных в § 29, для определения дозы и интенсивности гамма-излучения в точке, расположенной внутри объемно-

радиоактивного полушария

под

углом ô0 к подстилающей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости

и

на

расстоя­

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

нии R от его центра,

под­

 

 

 

 

 

 

 

M

 

лежит

дальнейшему

иссле­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дованию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

z

 

В заключение

проанали­

 

 

 

 

 

 

 

 

зируем

 

кратко

 

задачу

об

^

—

'

 

 

 

 

 

 

определении

дозы

 

гамма-

0

 

 

 

 

 

излучения во внешней

точ­

Г^—

 

 

 

 

 

 

 

si

У

 

_J—-—1

•

 

 

ке, изображенной на рис. 20.

\

(Ы

I .

 

 

 

У

 

 

 

Общее

решение этой задачи

 

 

 

 

 

 

 

в предположении

справед­

 

\ .

v>dv

 

 

 

 

 

ливости

элементарной

тео­

 

 

 

 

 

 

рии ослабления

 

может быть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

написано с помощью (3.52).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражается

 

оно

сложным

 

 

 

 

Рис. 20

 

 

 

объемным

интегралом,

так

 

 

 

 

 

 

 

как

вещество

 

полушария

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и окружающая

среда,

име­

ют,

вообще

говоря,

различные

коэффициенты

 

ослабления

гамма-излучения. Написать это

общее

решение

 

на

 

основа­

нии

(3.52) и рис. 20 не представляет

затруднений,

 

причем

по

условию 0 < Л ? < г о

и 0 < z < c o .

Рассмотрим

только

важный

частный

случай,

когда

^ 0 = 1 ^ и внешняя

 

точка

расположена

на оси симметрии

полушария. С помощью (3.52), (3.54) и рис. 20

получим,

что при однородной

начальной

 

объемной

плотности

заражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дл=

J

°

j

^-^dr'

j

rdr

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2-r.BNp

 

 

 

 

Z

 

(T'-Z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[e-**(l—e-*".) —Hz\Ex

{Hz) — Ег[н(г0

 

+

z)]])

 

 

 

 

Ho

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.126)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

2 =

0 (3.126)

переходит

в (3.123),

как и

 

должно

быть.

 

 

§ 31. Постановка задачи о гамма-излучении

 

 

 

 

 

поверхностно-радиоактивного сфероида

[6, 27, 28]

 

Рассмотрим постановку задачи о гамма-излучении поверх­ ностно-радиоактивного вытянутого сфероида, так как сама эта задача вследствие своей сложности должна являться предме­ том отдельного исследования. Вытянутый сфероид (рис. 21)

118

представляет собой

тело,

образованное

вращением

 

эллипса

вокруг

большой оси. Для

решения

различных

задач

матема­

тической

физики

по

расчету

полей

вытянутого

сфероида

удобно

пользоваться

вытянутыми

сфероидальными

координа­

тами 5,

У] и ф*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала

рассмотрим

постановку

задачи

на определение

дозы гамма-излучения во

внешней точке для поверхностно-

радиоактивного вытянутого

сфероида в предположении одно­

родной

начальной поверхностной

плотности заражения

и спра-

1 а 0

m

 

 

ô É 4V

x

Рис. 21

ведливости элементарной теории ослабления. Будем определять дозу га'мма-излучения только во внешних точках M и N, лежащих соответственно на продолжениях большой и малой осей (рис. 21), а затем попытаемся установить, как упростятся выражения для дозы гамма-излучения в случае сильно вытя­ нутого сфероида, для которого эксцентриситет близок к еди­ нице, т. е. е 0 = ( 1 — д), где А —малая величина, и в случае слабо вытянутого сфероида, для которого эксцентриситет бли­

зок к

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

помощью

(3.19),

приложения

1

и

рис.

21

получим,

что

в точке M доза гамма-излучения

 

 

 

 

 

 

 

Д, =

2*Вп.Ъ

\

< -

*

'

Ѵ (

3

. 1 2 7

)

а

х

где г2 = (х— a-q')2 -f- b2(l— ff2); x — расстояние точки M от центра вытянутого сфероида; а — большая полуось; b — малая

* Приложение 1.

119

полуось; с — полуфокусное расстояние; т( — вторая вытянутая сфероидальная координата точки, находящейся на облучаю­ щей поверхности Д ^ .

Интеграл (3.127) может быть найден только

численными

методами

при заданных

а, Ь, ц и х.

Для сильно

вытянутого

сфероида

(3.127)

примет вид

 

 

 

 

Ді = 2ѵВп0Ѵ2Ье-**

j

-ï—r^

(3.128)

причем интеграл

(3.128)

может быть найден только числен­

ными

методами

при заданных

а, ft, ц и л\ Для слабо вытя­

нутого

сфероида

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

e-o'U—LtUAdn'

 

 

Дт=*2кВп0аЬ j

-

=â

—r-,

(3.129)

a X

где r 2 = (jc2-—2ax-q'-\-b2),

a

переход к

имеет'место при a = b = r0,

с = 0, x — R

новании (3.19),

приложения

1 и рис. 21

гамма-излучения

в точке N составляет

случаю шара

(3.32)

и ч{ = cos Ь.

На ос­

получим, что доза

 

 

 

Д, = BnQb f

J <-*rV*—*l?ä2L*

 

4L,

 

(3.130)

 

 

 

 

 

 

 

I l

f'l

 

 

 

 

 

 

 

 

\ = — \ = — V1—^

 

Ф І - а г с з щ

 

 

 

Ф ; = ( 7 г _ Ф ; ) ,

где

r2

=

(b2 - j - c2tf2

+ г2 — 2bzY\—-г]'2зіпф');

г —расстояние

точки

TV от центра

вытянутого сфероида;

 

ф'— третья

вытяну­

тая

сфероидальная

координата

точки, расположенной на облу­

чающей

поверхности ASV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двойной интеграл в (3.130) может быть найден только

численными

методами

при заданных

а, b,

JA И Z. Для

сильно

вытянутого

сфероида

(3.130)

несколько

упрощается,

так как

Ь =

аУ~2~К и г 2

= (с2 'тг)'2 +22

— 2bz\/\—т)' 2

sin ф'), а для слабо вы-

тянутого сфероида r2—[b2-\-z2—2bz\f\

— г,'2

эіпф') и У

а2—с2-ц'2=

= а^\

 

§~e o7 '/ 2 j-

П е р е Х ° Д

к случаю

шара (3.32)

выполняется

при

a=b

= r0,

c = 0nz=R,

 

но требует

довольно

сложного

преобразования

 

сферических

координат.

С помощью

(3.27)

можно найти также и исследовать интенсивности

гамма-излу­

чения

в точках

M и N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

постановку

задачи "на определение дозы

гамма-

излучения во внутренней точке для поверхностно-радиоактивной

120

вытянутой сфероидальной полости при однородной начальной поверхностной плотности заражения и в предположении справедливости элементарной теории ослабления. Будем опре­ делять дозу гамма-излучения в центре этой полости. С по­ мощью (3.19) и приложения 1 получим, что

причем интеграл в (3.131) может быть

найден только

числен­

ными

методами при заданных a, b и

| А .

Переход

к

центру

сферической

полости

• (3.34)

 

 

 

 

выполняется при

a = b — rQ

и

 

 

 

 

с = 0.

Можно

поставить

также

 

 

 

 

задачи о гамма-излучении по­

 

 

 

 

верхностно-радиоактивных вы­

 

 

 

 

тянутых

полусфероидов

и по­

 

 

 

 

верхностно-радиоактивных вы­

 

 

 

 

тянутых

полусфероидальных

 

 

 

 

полостей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

также

поста­

 

 

 

 

новку задачи о гамма-излуче­

 

 

 

 

нии

поверхностно-радиоактив­

 

 

 

 

ного

сплюснутого

сфероида,

 

 

 

 

так как

сама

данная

задача

 

 

 

 

из-за своей сложности должна

 

 

 

 

быть

предметом

специального

 

 

 

 

исследования.

 

Сплюснутый,

 

 

 

 

или

планетовидный,

сфероид

 

 

 

 

(рис.

22)

представляет

собой

 

 

 

 

тело,

образованное вращением

 

 

 

 

эллипса

вокруг

малой

оси.

Для решения

различных

задач

математической физики по расчету полей сплюснутого сфе­ роида удобно пользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами С, р. и ф*.

Сначала рассмотрим постановку задачи на определение дозы гамма-излучения во внешней точке для поверхностнорадиоактивного сплюснутого сфероида в предположении одно­ родной начальной поверхностной плотности заражения и спра­ ведливости элементарной теории ослабления. Будем определять дозу гамма-излучения только во внешних точках M и N, лежа­ щих соответственно на продолжениях большой и малой осей (рис. 22). Затем попытаемся выяснить, как упростятся полу­ ченные выражения для дозы гамма-излучения в случае сильно сплюснутого сфероида, для которого эксцентриситет г0 =(1—д),

* Приложение 2.

121

Смотрите также файлы