Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf

Скачать файл (7,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если d0	= 0, то (3.154) и (3.155)			обращаются в нуль, как
и должно	быть. Когда	h = d0, т. е.		внешняя точка	располо
жена на поверхности		радиоактивного		слоя, то
	Д т = - ^ ^ [ 1 - Я . ( М о > ]				(3.156)
в согласии	с (3.62), а
1	== ^ Ц г ^ [l-[e^"'-^d0E2		fr	d0)]}	(3.157)
	г*

в согласии с (3.69). В (3.154) и (3.155) можно произвести пре


дельный		переход		к	случаю		обычной	теории,		изложенной
в	§ 24,	если	разложить E2[\>-{fi — d0)]					в ряд Тэйлора			около
точки z = h, считая				h^>d0,		и положить		n0==N0d0		в согласии
со	сказанным		в §	33.	Тогда		получим	соответственно			(3.31)
и	(3.38), как и должно				быть.
	Рассмотрим, во-вторых,					шар радиуса		г0 ,	покрытый		очень
тонким		слоем	вещества постоянной толщины						dQ,	содержащего

радиоактивный изотоп, предполагая начальную объемную плотность заражения однородной. Ограничимся выводом фор

мулы для дозы гамма-излучения	во внешней	точке,	располо
женной на расстоянии R>(r0-j-d0)	от центра	шара.	На осно

вании (3.151) получим после довольно громоздкого интегриро вания, что

АГ1=	j	EMR-r)}rdr		=		£±JJLE,MR-rQ)\-
	-	( / ? + 2 r ; + r f o )	ЕгШ-r0-d0)]			+
		_ j _ _ ! _ [g-H-W-ro-do) _ е-ИЯ-Го)],
		(Го + do)
/<",=		j E M V	R	^	+ Vr2^î)]rdr	=
=	Y^l(a—b)E2[[>.(a			+	b)} — aE2fra)]-
		l—[e^{a+b) _ e~v-a],				(3.158)
	a = YR*~^7l		b = V(rQ + d0)* — rl

Формула ' для дозы гамма-излучения (3.158) при d0 = 0 обращается в нуль, а при R = (/'0 + d0) можно найти дозу гамма-излучения на поверхности радиоактивного слоя. Если разложить E2[p(R — r0 — d0)] и Е2[р(а + Ь)} в ряд Тэйлора

131

около	точки z = (R — r0),	считая {R — >'0)^d0,	и положить
N0d0 =	/i0, то получим (3.32), как и должно быть.
Рассмотрим, в-третьих,		сферическую полость	радиуса г0 ,

покрытую очень тонким слоем вещества, содержащего радио активный изотоп. Толщина слоя постоянна и равна d0, а началь ная объемная плотность заражения считается однородной.

Ограничимся	нахождением			дозы гамма-излучения в					центре
этой полости. С помощью				(3.151)		получим, что
	Д т =			е - ^ . [ е м . -			і] .		(3.159)
		Г"
Разлагая evä°		в ряд Маклорена				и	ограничиваясь первыми
двумя членами разложения, получим (3.34),								как и	должно
быть. Рассмотрим, в-четвертых,					бесконечный			цилиндр	радиу
са г0, покрытый очень тонким					слоем		вещества, содержащего
радиоактивный изотоп. Предположим, что начальная									объем
ная плотность	заражения		однородна, а толщина					радиоактивного
слоя постоянна		и равна	da.	Ограничимся определением дозы

гамма-излучения во внешней точке, расположенной на рас

стоянии R > (r0 -\- d0) от оси цилиндра.					На		основании		(3.151)
будем иметь, что
	Дт = 4ВАГ0	j	prfpj'rfcp	j е	Г/г	,		(3.160)
		/о	0 0
где ср., =	arccosГ ° ~ ^ M	g	l z f f i ;	r 2 = ( P		2 - f z2 +/?2 —2/?P cos <р).
Формула	(3.160) при d0 = 0 обращается					в	нуль, а	при R =
= (r0~rd0)	можно получить дозу			гамма-излучения				у	поверх
ности радиоактивного слоя. Если положить							р = / * 0 и п0		—l\r0d0,
то (3.160) переходит в (3.35), как и должно							быть.
Рассмотрим, в-пятых, бесконечную цилиндрическую									полость

радиуса г0 , покрытую очень тонким слоем вещества, содержа

щего	радиоактивный изотоп.				Толщина слоя постоянна и рав
на dQ,	а начальная объемная				плотность заражения					однородна.
Ограничимся нахождением дозы гамма-излучения									на оси этой
полости. По (3.151) получим, что
		оо
д т = 4nBNQ		j {E^Viro-dQf			+ z2} - Е ^ У Т С + Щ )				dz. (3.161)
		о
Формула		(3.161) при d0=0			обращается в нуль, как и должно
быть. Если		разложить		первую		из подынтегральных					функций
в ряд Тэйлора			около	точки		z=r0,	ограничиваясь				первыми
двумя	членами		разложения,		и положить N0d0			= nQ,		то полу
чим (3.37).
При чтении данного параграфа может возникнуть											вопрос:
почему во все формулы для дозы							и интенсивности				гамма-
излучения		на	поверхности		радиоактивного			слоя,		например

132

в(3.156) и (3.157), входит коэффициент ослабления гаммаизлучения в окружающей среде, а не в веществе радиоактив ного слоя? На этот вопрос легко ответить. В § 33 было пред положено, что поверхностный радиоактивный слой является очень тонким и поэтому можно пренебречь самоослаблением гамма-излучения. Отсюда следует, что ответ на поставленный вопрос вытекает из вида основных формул (3.151) и (3.153), полученных с учетом сделанного предположения. На практике

вряде случаев поверхностный радиоактивный слой не только очень тонок, но очень рыхл и пропитан окружающей средой, так что в этих случаях допустимы результаты уточненной теории для точек, расположенных на поверхности радиоактив ного слоя.

Заметим, что может быть поставлена и совсем другая задача. На поверхности выпуклого тела имеется тонкий радио

активный	слой постоянной	толщины d0. Требуется определить
с учетом	самоослабления	дозу и интенсивность гамма-излуче

ния в точках, расположенных на поверхности этого слоя. Данная задача может быть решена в общем виде, а для случая бесконечного плоского радиоактивного слоя постоянной


толщины	d0	— h решение дается			(3.62) и (3.69), если начальная
объемная	плотность		заражения		однородна.
Наконец,		может	быть	поставлена		и еще	одна задача»
На поверхности выпуклого тела имеется тонкий							радиоактив
ный слой		постоянной толщины d0.				Требуется	определить
с учетом	самоослабления			дозу	и интенсивность гамма-излуче

ния в точках, расположенных в окружающей среде. Данная задача тоже может быть решена в общем виде, а для случая бесконечного плоского радиоактивного слоя постоянной тол

щины du— h решение при	однородной		начальной	объемной
плотности заражения будет
Л т в ^ Ѵ о _ [ а	д _ £	і ( р ) ]	>
a = i x ( z — ft),	р =	а + ц 0 А ,		(3.162)

где (л0 и [J- — соответственно коэффициенты ослабления гаммаизлучения в веществе слоя и в окружающей среде; г — р а с стояние внешней точки от нижней границы слоя.

§ 35. Интегродифференциальный метод определения дозы гамма-излучения [6, 29, 30]

Все задачи на определение дозы гамма-излучения от поверхностно-радиоактивных и объемно-радиоактивных тел различной формы решались в предыдущих параграфах

133

интегральным методом, т. е. для определения доз гаммаизлучения необходимо было вычислять соответственно поверх


ностные		и	объемные интегралы. Однако					эти задачи можно
решать		и	другим	методом,		который		предложен		автором
и	может	быть назван			интегродифференциальным,					так	как
по	этому		методу	для	определения		дозы		гамма-излучения
необходимо			проинтегрировать			дифференциальное				уравнение
с учетом		дополнительного условия.					Подобная		картина		имеет

место, например, в электростатике, где задачи на определение потенциала заряженных тел можно решать или интегральным методом, или интегрированием уравнения Пуассона с учетом граничных условий. Рассмотрим интегродифференциальный метод определения доз гамма-излучения от тел различной формы.

Пусть имеется поверхностно-радиоактивное тело, гамма-

излучение

которого

описывается

теорией,

изложенной

в § 24.

Рассмотрим

интеграл

(3.19). Так как г2

= (х—х')2-\-(у—У')2

-\-(z— z')2,

где х',

у',

z' — координаты

точки

на

облучающей

поверхности

А 5;

х,

у, z — координаты

внешней точки, то \|/=

= \|/(x, у,

z, [х), причем коэффициент ослабления и координаты

внешней

точки

входят в

интеграл

(3.19)

как

параметры. На

основании

(3.19)

получим,

что

-ТГ

^Г

- \

г .

, У

I*)-

(3.163)

Простые вычисления показывают, что (3.163) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

Ѵ Ѵ — ц 2 у ' = 0,

(3.164)

называемому уравнением Гельмгольца, которое для случая вакуума (р- = 0) превращается в уравнение Лапласа. Решение уравнения (3.164) разработано в одиннадцати системах криво линейных ортогональных координат. Среди них следует отме тить прямоугольные, цилиндрические, сферические, вытянутые

сфероидальные		и	сплюснутые	сфероидальные		координаты.
Из	уравнения	Гельмгольца (3.164) можно			найти	У = у'(х, у,
z,	jj.), а затем	можно определить		\j/ = y(x,	у, z,	р.) путем инте
грирования по dp-			с помощью дополнительного			условия

которое не является граничным и имеет интегральный харак тер. Вычисление интеграла (3.165) значительно проще, чем интеграла (3.19).

Интегродифференциальный метод может быть также при менен для определения доз гамма-излучения в точках, распо-

134

ложенных на поверхности объемно-радиоактивных тел. На основании (3.54) будем иметь, что

откуда				= 0	(3.167)
			V 2 4 / ' _ a 2 > ï "	= 0	(3.167)
и
d 2	¥ _	d 2 ig	= Ш ^ о в - ^ а Г Ѵ = Ф(л, у, z, Ы .		(3.168)
rf	Co	d Co	- V
где л,	y,	z — координаты точки		на поверхности	объемно-

радиоактивного тела, причем вычисление интеграла (3.168) всегда гораздо проще, чем интеграла (3.54).

§ 36. Некоторые примеры [6, 29, 30J

Проиллюстрируем интегродифференциальный метод несколь кими примерами. Рассмотрим, во-первых, задачу на определе ние дозы гамма-излучения от бесконечной поверхностно-радио активной плоскости при однородной начальной поверхностной плотности заражения. В этой задаче имеет место плоская симметрия, так что (3.164) будет


			4 ^ - Н - Ѵ = 0.			(3.169)
Общее		решение (3.169)		имеет вид
		Ѵ ' = Ѵ ' ( Ь z l ^ / W r H + ^ J g M ,				(3.170)
где /((А) И		F(\I.) — функции,		подлежащие	отысканию.	Функция
F(\i,) =	0, так как согласно			(3.163) \\|/'(р.,	z) не должна	возра
стать	при удалении		от рассматриваемой		плоскости.	Поэтому
и		Y' =	V'(l. z)=fb)e^'			(3.171)
и		Ѵ = Ѵ ( ^ , 2) = J/(,i)				(3.172)
		Ѵ = Ѵ ( ^ , 2) = J/(,i)				(3.172)