Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

rKp до оо. Если вспомнить обозначения (3.53) и воспользоваться соотношениями

из которого ясно, что прирост массы конденсирующегося веще­ ства определяется как процессом образования зародышей, так

ипроцессом их роста.

Впоследующих параграфах кинетическое уравнение (3.56) будет использовано при исследовании стационарных одномерных, плоских и осесимметричных течений. Для общности результатов удобно при изучении двумерных течений вместо одной независи­ мой координаты ввести функцию тока ф. В переменных х, ф, г уравнение (3.56) запишется в виде [120]

или, раскрывая второй член левой части,

Это уравнение является линейным уравнением в частных про­ изводных первого порядка. Уравнения характеристик для него имеют вид

107

Решение уравнения (3.60) эквивалентно решению системы уравнений (3.61). Если известны первые интегралы системы (3.61), то решение основного кинетического уравнения опреде­ ляется как произвольная функция от этих интегралов.

§ 3.4. Случаи интегрирования основного кинетического уравнения

Континуальный режим роста капель. Систему уравнений

(3.61) можно проинтегрировать в некоторых практически важ­ ных случаях. Ниже будут рассмотрены два из них. Метод на­ хождения двух первых интегралов системы (3.61) был предло­ жен Бахановым и Буйковым в работе [11] для случая, когда ско­

здесь Хі •— значение координаты х, соответствующее началу нуклеации.

Интегрирование уравнения (3. 62) возможно при двух услови­ ях: ѵ = const и TS = T. Первое условие выполняется при не очень

сильном изменении температуры, так как v ~ D /]/7 \Второе усло­ вие можно несколько ослабить, если температура капли незначи­ тельно отличается от температуры газа. Как показали Баханов и Буйков [12], при T t t T s формулу (3.62) можно заменить экви­ валентной с эффективными значениями ѵЭф и Д,ф таким образом, что правая часть перестает зависеть от Ts.

Рассмотрим первое обыкновенное дифференциальное уравне­ ние системы (3.61)

dx dr

После подстановки в это уравнение выражения для скорости роста капли (3.62) придем к дифференциальному уравнению с

108

где С1 — произвольная постоянная.

Как видно из этого соотношения, оно определяет рост частиц вдоль координаты х, причем радиус частиц при некотором зна­ чении координаты £ может быть выражен через его значение в другой точке X

причем стоящие под знаком интеграла величины г и гкр соответ­ ствуют значению х = \.

Общее решение кинетического уравнения (3.60) можно запи­ сать в виде произвольной функции типа КДСі, С2)= 0, или С2 =

Для определения произвольной функции необходима задать граничное условие. Пусть в сечении х = х\ функция распределе­ ния задана

/0 * і. r) = f 0(г),

тогда из выражения (3.65) при х = хи получим

K(V + r)2 — Z (x)

109

Заменяя в уравнении (3.65) правую часть с помощью равен­ ства (3.67), а значения г и гкр, стоящие под интегралом, по фор­ муле (3.64), получим

У (Г + v)2 — Z (X)

Преобразуем 6 — функцию, стоящую под знаком интеграла, по следующему правилу [91]

Mg' (х,г, 5)]= 8 (г - X) dg

дг

где r = x(x, 1) является корнем уравнения g(x, г, £)=0. В рас­ сматриваемом случае

g (X, г, І )= Ѵ ( г + v)s— Z (х) + Z (6)— V — гкр (5),

Если граничное условие таково, что при х = Хі капли отсутст­ вуют, то /о=0 и уравнение (3.70) упрощается. Вычисление f(x, г) по формуле (3.70) обычно проводится без использования опе­ рации интегрирования. Воспользуемся основным свойством функции Дирака [91]

п о

где £о(/\ X) является корнем уравнения х — г>т- е-

раметра |о. определяемого двумя независимыми переменными х и г. Величина go представляет собой значение х, при котором произошло образование зародыша, имеющего для рассматривае­ мого X радиус г.

Чтобы получить формулу для массовой концентрации кон­ денсата, подставим выражение для функции распределения

(3.70) при /о=0 в уравнение (3.51)

00 X

■ X i

В левой части этого уравнения стоит частная производная по х, потому что, как уже отмечалось, можно пользоваться всеми формулами данного параграфа для расчета как одномерных, так и двумерных течений. В первом случае частную производную следует заменить полной, так как as = as(x). Для плоских и осе­ симметричных течений as= as{x, ф) и соотношение (3.72), как и все остальные в этом параграфе, выполняется вдоль любой ли­ нии тока ф = const.

Свободномолекулярный режим роста капель. Рассмотрим вто­ рой практически важный случай, когда основное кинетическое уравнение (3.60) может быть проинтегрировано. Это можно сде­

111