Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

лать при г=ір(х), т. е. когда скорость роста капли не зависит от ее размера. Таким свойством обладает формула Кнудсена (3.43), которую для удобства запишем в следующем виде

6п J и У 2nRT

Здесь температура капли Ts может отличаться от температуры окружающего газа, причем вычислять ее можно по формуле

(3.48). Поскольку радиус капли не входит в формулу для г, то интегрирование уравнений характеристик выполняется при про­

X,

Общее решение кинетического уравнения запишем через произ­ вольную функцию в виде Сг= Р(Сі), тогда, используя граничное условие f(x1, г) =/о(г), получим

X

112

где 1о(х, г) является корнем уравнения

Интересно отметить, что в рассматриваемом случае расчет функции распределения капель по размерам выполняется неза­ висимо от способа решения задачи. При этом f(x, г) можно рас­ считывать отдельно по уже готовому решению. Например, мас­ совую концентрацию конденсата можно определять по формуле, вытекающей из соотношения (3.54)

где Q„ определяется соотношением (3.53).

Скорость изменения массовой доли конденсата находим из из уравнения (3.59), которое с учетом формул (3.53) и (3.73) за­ пишем в виде

Таким образом, в рассматриваемом случае, характеризую­ щемся тем, что скорость роста капли не зависит от ее размера, основное кинетическое уравнение можно заменить системой из трех уравнений в частных производных (3.79) (или из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для одномерного течения), которая не зависит от функции распределения капель по размерам. Последняя может быть найдена по формуле (3.76) с использованием уже готового решения.

При одномерном течении П„ = П„(л:) частные производные в левой части уравнений (3.79) заменяются полными.

В заключение выведем формулу для й„. Из соотношений

(3.53) и (3.75) при /о= 0 получим

113

После интегрирования получим окончательно

X

§ 3.5. Одномерное течение в сопле при наличии химических реакций и конденсации

Как известно, изменение давления при адиабатическом рас­

Из сравнения уравнения (3.81) с уравнением Клапейрона—Кла­ узиуса (3.5) видно, что давление насыщения уменьшается быст­ рее, т. е. в соплах возможна конденсация.

Рабочая смесь в соплах аэродинамических труб и ракетных двигателей, как правило, характеризуется сложным и перемен­ ным от сечения к сечению составом, поэтому расчеты необходи­ мо проводить с учетом химических реакций и конденсации.

Пусть рассматриваемая смесь состоит из N газообразных ком­ понентов, которые могут реагировать между собой. Общую сис­ тему химических реакций в этом случае можно записать в виде

г=1, 2,. .., /;

Вк — компонента смеси (например, Н2, Н, Н20 и т. д.).

Будем считать, что все химические реакции протекают рав­ новесно, тогда количество реакций I должно совпадать с количе­ ством сложных веществ. Допустим, что одна из N компонент при рассматриваемых условиях работы сопла может конденсировать­ ся (как и ранее, параметрам конденсированной фазы будем придавать индекс «s»). Уравнения сохранения массы, импуль­ са и энергии для одномерного стационарного течения невязкого газа можно записать в виде

114

Система (3.83) имеет такой же вид, как и для течений без кон­ денсации и химических реакций, при наличии которых энтальпия

k=i

и законам действующих масс для системы равновесных химиче­ ских реакций (3.82), которые можно записать в следующем виде

где универсальная газовая постоянная До= 8,315 Д ж -К-1 моль-1.

компонентов), а р — суммарный молекулярный вес смеси

Вдальнейшем отношение ajpk удобно обозначить через Ah,

амассовую концентрацию газа 1—ots обозначить через а. Таким образом,

(3.88)

Остальные N—I массовых концентраций определяются из ус­ ловий сохранения (в процессе расширения в сопле при протека­ нии химических реакций и конденсации) количества молекул

115

(или массы) данного элементарного вещества. В принятых обоз­

получаем а^га) = 2). Постоянные в правой части уравнения (3.89) определяются по массовому составу смеси перед соплом. Важно отметить, что массовая концентрация конденсированного веще­ ства входит в уравнение (3.89) и таким образом влияет на сос­ тав газа.

Из системы 2N уравнений (3.85), (3.86) и (3.89) определяют­ ся N массовых концентраций газообразных компонентов и JV их парциальных давлений. Из уравнений (3.85) и (3.86) можно иск­

где Ik и Is—энтальпии компонентов, отнесенные к одному молю. Если при расширении в сопле газ можно считать калорически со­ вершенным (с постоянными удельными теплоемкостями), то

ды молекул газа возбуждены. В этом случае газ нельзя считать калорически совершенным и энтальпия сложным образом зави­ сит от температуры. Обычно такая зависимость заранее известна и задается в виде таблиц или аппроксимирующих многочленов.

Чтобы представленная система уравнений была замкнутой н полностью описывала течение с химическими реакциями и кон­ денсацией, необходимо добавить к ней уравнение для определе­

116