Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Последняя намного меньше энергии конденсации и ею будем пренебрегать. Итак, можно записать

Для роста малых капель уравнение (3.47) упрощается. Сле­ дуя Хиллу [150], пренебрежем вторым слагаемым в левой части (3.47) по сравнению с первым и положим Td = T, ps — poo(Ts), Pd — P- Для малых капель из формулы (3.41) следует

гш_. «к{рѴтТіт— Ps)

ÖBy2nRTs

Учитывая все это, из уравнения (3.47) получим трансцендентное уравнение для определения температуры капли Ts (при отсут­ ствии инертного газа)

Критериальные зависимости при наличии отставаний. Рассмотрим случай, когда между скоростями капель и несущей среды имеется заметная разница, т. е. когда происходит обтекание капли. Использование представленных выше соотношений в данных условиях может привести к заметным ошибкам. Сле­ дует отметить, что задача определения роста капель, когда ее скорость отли­ чается от скорости внешнего потока, пока еще полностью не решена.

Введем числа Нуссельта и Шервуда (диффузионное число Нуссельта), Прандтля и Шмидта (диффузионное число Прандтля).

Как следует из формул (3.39) и (3.46), для диффузионного потока массы

иколичества тепла, отданного каплей среде, при отсутствии внешнего обдува

ипри условиях А—"О, Т , —•Та, ps—*рі

Nu = Sh -+ 2.

Числа Pr и Sc, как показывают расчеты, обычно находятся в пределах

0,7-М ,0.

103

Характер обтекания капель определяется числом Рейнольдса в относи­ тельном движении

Re = 2r I w — ws I рт)—1.

Для оценки влияния обдува на испарение и рост капель обычно пользу­ ются полуэмпирическими критериальными зависимостями [124]

(3.49)

При этом, например, диффузионный поток массы определяется по фор­ муле Фресслинга

М = ÂfRe= 0 ( і + А -/R e ^CSc )■

где выражение, стоящее в скобках, называется «ветровым множителем», так как характеризует увеличение диффузии, обусловленное относительным дви­ жением. Коэффициент А, входящий в эти формулы, по данным тщательно проведенных экспериментов Фресслинга по испарению подвешенных капель [124] равен 0,276, а по теоретическим данным М. Е. Швеца — 0,34. Значения А, полученные большинством других авторов, находятся вблизи 0,3, хотя и имеются результаты, заметно отклоняющиеся от этого значения. Формула Фресслинга хорошо аппроксимирует экспериментальные данные при малых числах Рейнольдса (от 1 до 10), для которых теоретические данные отсутст­ вуют. Следует, однако, отметить, что при числах Рейнольдса, меньших 100, имеется заметное расхождение между данными различных авторов, причем при R e< 10 существует ограниченное количество опытных данных. При R e < l экспериментальное изучение подвешенных капель наталкивается на ряд труд­ ностей. Поэтому при очень малых числах Рейнольдса обычно исследуют сво­ бодные капли.

В заключение приведем эмпирическую формулу Хсу, Сато и Сейджа для несферических осесимметричных капель [124]

Весьма подробно вопросы, связанные с испарением и ростом капель, рассмотрены в работе [124], где дан также обзор литературы по этим вопро­ сам.

По найденным из Соотношений (3.49) и (3.50) значениям чисел Nu и Sh можно определить Тв и рв, соответствующие течению с отставанием.

§ 3.3. Основное кинетическое уравнение для функции распределения частиц по размерам

Введем в рассмотрение функцию распределения частиц по размерам fv(t, х, у, z, г). В общем случае эта функция зависит от пяти переменных: времени, координат и радиуса частиц. Ин­ декс «о» означает, что произведение fvdr определяет количество частиц в единице объема, размеры которых лежат в интервале между г и г A-dr. Согласно этому определению распределенная

104

по объему плотность конденсирующегося вещества определяется выражением

конденсацию пара в движущейся среде, пренебрегая скольжени­ ем частиц относительно газа. Пусть скорость V имеет проекции в декартовой системе координат (х, у, z ), которые обозначим че­ рез (и, V, w). Составим баланс количества частиц в элементар­ ном кубе. Количество частиц, попадающих внутрь куба за про­

f v (t; jc-j-dx; у, z\ r)dra{t\ x-\-dx\ у, z )d y d zd t .

Баланс вдоль оси х равен разности этих выражений, которую пользуясь формулой Тэйлора можно представить в виде

—d x d y dz dr dt.

дх

Аналогичным образом суммарное изменение вдоль осей у и z равно

105

Вследствие роста частицы могут выйти из интервала r+dr. Количество частиц в элементарном кубе, которые входят в рас­

сматриваемый интервал, равно fv(t, х, у, z, r)r(t, х, у, z, г)Х Xdtdxdydz. Количество частиц, выходящих из этого интервала,

определяется выражением fv(t, х, у, z, r + dr)r(t, х, у, z, r+dr) X

Xdtdxdydz. Следовательно, изменение количества частиц в эле­ ментарном кубе в единицу времени, имеющих размер в интерва­ ле г, r+dr, обусловленное конденсацией или испарением, равно

—h!L d td x d y dz dr. dr

Сумма всех этих членов выражает поток частиц за время dt из элементарного куба, что должно повлечь за собой уменьшение количества частиц внутри рассматриваемого объема на вели­ чину

— dxdy dz dr dt.

За зтот же промежуток времени в данном объеме в результате нуклеации образуется следующее количество зародышей

Если воспользоваться уравнением неразрывности для смеси газа и частиц с суммарной плотностью qs

— div V = 0 , dt

то, учитывая выражение (3.52) можно записать основное кине­ тическое уравнение для массовой функции распределения час­ тиц по размерам

Из этого уравнения можно однозначно определить выраже­ ние для прироста конденсирующегося вещества в,единице объ­ ема в единицу времени. В самом деле, следуя работе [120], умно­ жим обе части равенства (3.56) на г" и проинтегрируем по г от

106