Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

В результате дифференцирования уравнения (3.35) по g в соответствии с формулой

менты времени. Расчеты были проведены для паров воды при Т—300 К и р«*

«*0,1 МПа. Видно, что равновесное распределение достигается приблизительно за 5 ■10_6 с.

Кантровиц [152] пренебрег членом в правой части уравнения (3.33), обус­ ловленным энергией образования комплексов. В уравнении, выведенном Пробстином (3.34), это равносильно отбрасыванию члена, содержащего Е. В ре­ зультате было получено уравнение

(3.37)

(В отличие от Пробстина Кантровиц приближенно считал, что

Используя формулу суммирования Пуассона и оставляя только основной член, Кантровиц это выражение записал в виде

(3.38)

Эта формула автоматически получается из формулы Пробстина (3.36) при W ’’О и g Kp = r. Из формулы (3.38) следует, что для больших скоростей нуклеации требуется время

т

№D '

Влияние пренебрежения членом, обусловленным энергией образования комплекса, можно оценить, сравнивая полученное решение с решением Проб­ стина. Кантровиц подсчитал, что для достижения 0,1 величины скорости нук­ леации по Пробстину требуется на 50% времени больше. Однако ряд (3.36) намного сложнее формулы (3.32). Сравнение результатов, полученных Куртни, с результатами расчетов по приближенным формулам (3.36) и (3.38) по­ казывает, что в последнем случае промежуток времени задержки приблизи­ тельно на 10% короче, что является вполне приемлемым для оценок.

Вопросам нестационарной нуклеации посвящены также вышедшие недав­ но работы [9] и [13].

§ 3.2. Рост конденсированных частиц и обмен энергией

Формулы для скорости роста капли. Процесс конденсации состоит из процессов нуклеации и роста конденсированных час­ тиц. Разрушение метастабильного состояния системы, обуслов­ ленное возникновением зародышей, не означает, что происходит мгновенный переход в равновесное состояние. Термодинамическое равновесие достигается только после снятия пересыщения и вы­ равнивания температуры окружающей среды и капли. Это про­ исходит в процессе роста конденсированных частиц: нуклеация не снимает пересыщения, так как из-за малого размера зароды­ шей их суммарный объем весьма мал.

В зависимости от соотношения между размером капли (за­ родыша) и длиной свободного пробега молекул газа существуют три режима ее роста — свободномолекулярный (размер капли намного меньше длины свободного пробега молекул), режим со скольжением (размер капли соизмерим с длиной свободного пробега молекул) и континуальный режим роста (радиус капли

98

Формулу для прироста массы капли в единицу времени при свободномолекулярном режиме при этом условии можно запи­ сать в виде

М I

4я/"2ак

У 2яRTs

В области II континуального режима роста перенос молекул пара по направлению к капле обусловлен диффузией. Обозна­ чим через D коэффициент диффузии и будем считать, что он не зависит от расстояния до капли. Поток массы через сферу ради­ уса 2 (рис. 3.6) с центром в точке 0 при росте капли определя­ ется формулой [124]

Мп = 4яz 2D dQ_

d z

Интегрируя это выражение по z от г = г+ Д до бесконечности (индексы, соответствующие бесконечности, опущены) и исполь­ зуя уравнение состояния p = qRT, получим

где используется равенство потоков массы на границе областей

І и II.

Из условия Мі = Мц можно найти неизвестное давление

Если радиус капель мал, то первым слагаемым в круглой скобке уравнения (3.42) можно пренебречь, при этом получим

100

формулу Кнудсена для скорости роста капли в свободномолеку­ лярном режиме

j aK P— /’«о (Ts)

(3. 43)

r ~~QB Ѵ Ш Т

В этом случае скорость роста капли не зависит от ее размера. Если же радиус капли настолько велик, что А<СК то из форму­ лы (3.42) получим

континуального режима

гQaRTrD [p — P - (Ts)\.

Вотличие от предыдущего случая здесь скорость роста об­ ратно пропорциональна радиусу капли.

Формулы для температуры капли. Рассмотрим теперь баланс энергии между каплей и окружающим пространством. Как и в случае массообмена рассмотрим область / вблизи капли, где определяющим является свободномолекулярный режим (толщи­ на этой области А может не совпадать с толщиной, которая вво­ дилась при изучении массообмена, однако, другого обозначение вводить не будем) и область II, где определяющим механизмом передачи тепла является теплопроводность (континуальный ре­ жим). Излучением газа и капли пренебрежем. Если обозначить через / число степеней свободы молекулы, то при соударении с поверхностью она имеет среднюю энергию (j+\)kTd/2l [61]. Энергия всех падающих молекул при соударении с единицей по­ верхности капли определяется выражением

Энергия отраженных молекул равна

(1 ' «к) Pd j 1

Y2nmikTd 2 г’

где Tr —-температура, с которой молекулы отражаются от кап­ ли.

1 Для калорически совершенного газа j = 2 /(к—1), где и — показатель адиабаты.

101

Испаряющиеся молекулы уносят энергию, равную энергии конденсирующихся молекул пара, находящегося в равновесии с каплей,

Если учесть присутствующий инертный газ, то количество энер­ гии, передаваемое инертному газу, равно разности энергий па­ дающих и отраженных молекул. Обозначим параметры инертно­ го газа штрихом, тогда выражение для этой энергии запишется как

Суммируя эти составляющие, получим поток энергии в сво­ бодномолекулярном режиме на единицу поверхности капли

Энергия, уносимая отраженными молекулами, характеризует­ ся коэффициентами аккомодации, которые определяют долю энергии, уносимую от капли или отдаваемую капле. Эти коэффи­ циенты определяются следующим образом

Если Tr=Td, то ß= 0 и энергия молекулы после отражения от поверхности капли не изменяется. Если Tr= Ts, то ß = l и моле­ кула отдает или уносит (в зависимости от соотношения Td^ ,T s) максимальное количество энергии. Таким образом, O ^ ß ^ l ; аналогично изменяется и ß'.'

Поток тепла (см. рис. 3.6) при континуальном режиме тече­

ния определяется уравнением Фурье Q= •—Xy^nz2dT/dz, которое после интегрирования в области II при z— >-оо можно записать в виде

где Q — количество отводимого тепла, а — коэффициент теп­ лопроводности пара.

Подводимая к капле энергия затрачивается на увеличение ее удельной внутренней энергии е (Ts) и поверхностной энергии.

102