Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Q и Qs, представляют собой отношения соответственно масс газа и частиц к объему, в которой они заключены, и не являются по­ этому собственно плотностями газа и вещества частиц.

где Ps и P—соответственно векторы внешних массовых сил, дей­ ствующих на частицы и на газ; знак минус перед поверхностным

интегралом означает, что нормаль п — внешняя; второе слагае­ мое в этом интеграле отражает приобретение (или потерю) коли­ чества движения вследствие захвата (или потери) объемом т новых частиц. Следует отметить, что в отличие от уравнений (4.1) и (4.2) уравнение (4.3) записано для объема т, связанного с газом и, следовательно, подвижного, поэтому внесение произ­ водной по времени под знак тройного интеграла, стоящего слева, недопустимо. В то же время При переходе от подвижного к фик­ сированному контуру вид слагаемых, стоящих справа, остается тем же.

127

Интегральное уравнение (4.5) удобно тем, что оно записано применительно к фиксированному объему т и может быть ис­ пользовано для непосредственных расчетов. Кроме того, оно име­ ет ясный физический смысл; изменение по времени количества движения в фиксированном объеме т определяется воздействием внешних массовых сил, работой сил давления на границе объема и потоком импульса газа и частиц в этот объем.

На основании неизменности объема т полная производная d/dt, стоящая перед тройным интегралом, может быть внесена под его знак и заменена частной производной.

Уравнение энергии в интегральной форме выводят аналогич­ но. При интегрировании по подвижному объему т, связанному с газом, получаем

-Ш [Q(-Q+^)+Q*(Qe+^y,)]rft+

t

f lf S = 0 .

(4. 7)

128

Уравнение (4.7), как и (4.5), также легко интерпретируется физически: изменение энергии, заключенной в фиксированном объеме т, равно подведенной энергии внешних источников, ра­ боте массовых сил, сил давления (на границе), а также энергии газа и частиц, проносимой через границу. Знак полной производ­ ной, стоящей перед первым интегралом уравнения (4.7), может быть внесен под интеграл и заменен частной производной d/dt.

Уравнения движения и энергии частиц можно представить в виде

dVs

dt f ~\-Ps — Qв 4P’

^ = g + Q s , dt

где полные производные взяты вдоль траекторий частиц, f и q — соответственно сила, обусловленная вязкостью, и тепловой по­ ток, отнесенные к единице массы частиц и вызванные взаимодей­ ствием частиц с газом. Последнее слагаемое в формуле для ус­ корения частиц соответствует воздействию градиента давления на поверхность, занятую частицами.

В эквивалентной форме эти уравнения получат вид

dt

Величины f и q могут быть представлены в виде f = i y - V , ) K

q = (T— Ts)<?2,

где <рі и <р2— функции от р, Т, Ts и (V— Vs).

Плотности собственно газа и частиц, а также их внутренние энергии связаны с давлением и температурой формулами

i = e{p,T) + p / Q r = i(p,T).

В подобластях непрерывности параметров соотношения (4.1), (4.2), (4.5) и (4.7), записанные в интегральной форме, могут быть заменены дифференциальными уравнениями.

Воспользуемся формулой Гаусса—Остроградского

Я™ М Я « '

S т

и произвольностью объема т; из выражений (4.1) и (4.2) в под­ областях непрерывности параметров получим

Эти соотношения часто записывают в виде

причем следует отметить, что для осесимметричного течения

а для плоского — последнее слагаемое отсутствует. Аналогич­ ным образом из уравнения (4.5) следует

~ (QV+ е Л ) - Q P - QSPS+ Ѵр+ VQl/2+ V Q ^ = о .

Подобным образом в подобластях непрерывности параметров можно получить и уравнение энергии в дифференциальной фор­ ме.

Из уравнения (4.6) получаем

130