Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 4
|
ди |
ди |
4~ |
1 dp |
4" |
Qs |
|
f - P = 0; |
(4.35) |
|||
u |
д |
4- ~ Ä 7 |
Qr |
|
7 |
Q |
|
|||||
|
dx |
dt |
|
|
dx |
|
|
_ |
|
|||
|
dus |
dus |
|
1 dp_ |
|
|
|
(4.36) |
||||
U S -J |
+ |
л . + |
|
|
|
A |
----- / |
----- P s — |
||||
|
dx |
|
dt |
|
QB dx |
|
|
|
|
|
||
|
di |
di |
|
1 |
( d p |
d p \ |
■N=0; |
(4.37) |
||||
dx |
dt |
|
Qr \ |
dx |
dp J |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
Us |
des |
+ |
des |
|
|
|
|
(4.38) |
||
|
|
, |
|
|
,, —4 — Qi = 0, |
|||||||
|
|
|
dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
||
где и — скорость, а v = 0; |
1 и 2 соответственно для случаев пло |
|||||||||||
ской, цилиндрической и сферической симметрии. |
рг) и, как и |
|||||||||||
Кроме того, |
будем |
считать, что і = і(р, Т)=і\(р, |
||||||||||
прежде, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e = Qr (l—Q s / q b ) . |
|
(4.39) |
|||||||
Попутно отметим, что скорость звука а можно найти из условия
|
ді\ |
|
|
I |
di\ |
|
dp |
=0, |
|
|
dp |
.dp + ^ d Q r |
|
|
|||||
|
|
|
|
ÖQr |
|
6 r |
|
|
|
ИЛИ |
a i = |
ді 1M ___dt1 \-i |
|
(4. 40) |
|||||
- |
|
V 6r |
dp |
) |
|
||||
|
|
|
ÖQv |
ді 1 |
ді\ 5лг |
||||
Очевидно, что ^ - = — |
( |
дТ |
1 и |
ді |
|||||
|
де г |
|
дТ |
\ |
I |
др |
dp |
ÖQr •dp |
|
При использовании последних двух равенств из (4.40) следует выражение для скорости звука, подобное представленному в
§ 1 . 1 ,
а — deг |
de Г / di |
\ - 1 |
dp |
дТ [дТ |
} |
1 Qr
1
ді 2 dp
Из уравнения (4.37) получим, что траектории газа являются характеристиками, вдоль которых
d x = u d t и QTd i - d p - \ r QTN dt = Q. |
(4.41) |
Аналогично этому из (4.38) получаем, что траектории частиц также являются характеристиками
d x = u sdt и des— (q-\-Qs)dt. |
(4.42) |
Уравнение (4.33), пользуясь уравнениями (4.37), (4.39) и (4.40), можно преобразовать к виду
Qra2- ^ |
+ м ІР_ + ^ _ |
и & L |
Ёв£= |
|
дх |
dx |
dt |
QBQ dx |
qbq dt |
|
= a 2N |
|
vQra2« |
(4.43) |
|
|
|
||
X
137
Добавляя к уравнениям |
(4.34) — (4.36) |
|
и (4.43) равенства, |
||||||
выполняющиеся вдоль характеристических направлений. |
|||||||||
д и |
d x |
, |
д и |
d u |
d u s |
d x |
, |
d u s _ _ d u s |
|
д х |
d t |
|
d t |
d t |
d x |
d t |
|
d t |
d t |
d ß s |
d x |
! |
dQs _ _ |
d Q s . |
d p |
d x |
1 |
d p _ |
d p |
д х |
d t |
|
d t |
d t |
d x |
d t |
1 d t |
d t |
|
получим систему из восьми уравнений с восемью неизвестными производными ОТ и, Us, Qs и р по х и по t.
Условия однозначного нахождения этих производных опреде ляют характеристические направления и имеют вид
(us— x ' f [а2— (и — х')2]-f-o?qIqs(Q2Q) - 1(и — x ' )2= 0, |
(4. 44) |
||||
p ' - \ - { и - |
|
|
_ p \ f e s _ f _| |
||
öi-a2 |
_ < > [ Щ Г |
Q |
|
||
I Qrö^(и |
J_ ГJ L Z ^ L и;+ (и4-и)(</ In Q,)' |
|
|||
eBQ{us — X ) |
—je |
|
|
|
|
(u — x ' ) (Ps + f ) |
/ |
/ \ e |
j ( « , - x ') 8 = 0, |
(4 .4 5) |
|
|
|
•(и —JC)---- |
|||
|
|
|
ЛГ |
|
|
где d u /d t= u \ dp/dt= p' и т. д.
Для анализа корней уравнения (4.44) рассмотрим вначале случай u = u s. Тогда из уравнения (4.44) получим
х\ 2~ и ± b; x'34= us,
где b2 = a2(l +Q 2QiQ7 2Q-1) > a 2.
Таким образом, при м==м„ кроме траекторий имеется два се мейства действительных характеристик.
При u = u s решение уравнения (4.44) в явном виде получить нельзя. Однако можно найти разложение его корней по степе ням отношения Рг/Qb- Это отношение является весьма малой ве личиной ( 10~3ч -10-5) и зависит главным образом от давления в рассматриваемой точке.
Подставим разложение первых двух корней
1 ,2 ~ 01,2
в формулу (4.44) и выпишем коэффициенты при одинаковых сте
пенях при Qr/Qn. Получим, |
что Хі = У3= 0 и соотношение для х[ 2 |
примет вид |
|
х[ 2— и + а |
qIqsU2 |
(4. 46) |
|
|
2qIq (Bj - s T а)2 |
138
Для других двух корней, произведя аналогичные операции, получим, что Хі=£0, при этом окончательный результат предста вим в форме
Qra (и — us) |
- ^ - f o f — ) . |
X 3 A ~ U S ± |
|
QB V (« — Us)2 — |
cfl |
Третий и четвертый корни действительны лишь при | и—
—us\>a, т. е. когда относительная скорость превосходит ско рость звука. Оставляя в стороне этот случай, можно констатиро вать, что кроме траекторий всегда имеется два семейства дейст
вительных характеристик, отвечающих |
первым |
двум |
корням |
||
уравнения (4.44). |
|
|
|
|
|
Подставляя соотношение (4.46) |
в уравнение |
(4.45), |
получим |
||
с точностью до Qr/QBвключительно |
|
|
|
|
|
u ' ± - £ - + а |
? L ( dA і \ _ І |
X \ |
f — Р -f |
|
|
Qra |
Qr Uör/ |
e J |
|
|
|
QrQsa |
au' + (us— u) [us— и + а )(1п 05/ — |
||||
QBQ (us — u -f a)2 |
L |
|
|
|
|
— a(Ps+ f ) — a{us— а + а) |
= 0. |
(4.47) |
|||
Уравнение (4.47) может быть использовано в качестве урав нения совместности вместо уравнения (4.45).
§ 4.5. Стационарные плоские и осесимметричные течения
Рассмотрим класс двумерных стационарных течений, облада ющих плоской или осевой симметрией. Тогда из уравнений (4.5), (4.6), (4.9), (4.12) и (4.15) получим
с 1 іѵ ( бІ 7) = 0 , d i v ( e s n s ) = 0;
ПѴП+ — ѵ/>+ - ^ 7 |
- Я = 0 ; |
|
|
Qr |
Q |
|
|
Ѵ,ЧѴя + ± Ч р - ? - Р г= 0; |
(4. 48) |
||
Qв |
|
|
|
v7v; _ J _ k v /7 -Q + -^ -[(V 'j - K ) / + ^ ] = 0 ; |
|
||
Qr |
|
Q |
|
Vs4es—q — Qs=Q-
В сочетании с условиями
* = |
Qr) и Q= 6r (1 QsIQb) |
(4.49) |
139
из шести скалярных и двух векторных уравнений можно «анти
—► —►
восемь неизвестных — V, V*, е> Qs. 6г. й Р> es-
Если для плоского случая принять ѵ= 0, а для осесимметрич ного— ѵ=1, то систему уравнений (4.48) в проекциях на оси х и у декартовой системы координат можно записать в виде
|
|
|
ди |
дѵ |
|
|
öd |
|
do |
оу |
|
|
|
|
|
|
е дх |
■Q— + u — + u — + v— = 0; |
|
||||||||||
|
|
dy |
|
|
дхdx |
ду |
у |
|
|
|
||||
|
Qs |
dus |
dvs |
+ |
|
|
dQs |
|
ÖQs |
Q s v s |
=0: |
|||
|
, + QsT |
|
4$;: |
+ v s - |
У |
|
||||||||
|
|
dx |
du |
dy |
|
|
|
dx |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
du |
+ |
\ |
dp |
— Л*-+ |
0i |
, |
|
„ |
|||
|
|
|
dx |
ѵл |
|
Q г |
dx |
/лг = |
0; |
|||||
|
|
|
dy |
|
|
|
Q |
|
|
|
||||
|
|
u |
dv |
дV |
|
|
1 |
dp |
|
Do |
Л = 0; |
|||
|
|
dx |
ü T~ + |
--- T—— Py + — |
||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
er |
dy |
|
Q |
|
|
|
||
|
|
|
dus |
dus |
|
1 |
dp |
|
|
|
:0; |
|
||
|
|
|
dx |
+ v s dy |
|
+ Qb dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
dv о |
dvs |
|
1 |
dp |
— P s U — fy 1 = 0; |
|
|||||
|
|
|
dx |
+ Vs dy |
■+' Qb dy |
|
||||||||
di |
di |
|
и |
dp |
|
V |
dp |
|
Q + — [ ( V s - V ) f + q) = |
|||||
dx |
' dy |
|
e r |
dx |
|
Qr |
dy |
|
||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
des |
|
|
|
de. |
q — Qs = 0, |
|
|
|
||
|
|
|
tis |
+ v s — - |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
где и и V — проекции скорости |
на оси х и у. |
|
Умножим |
|||||||||||
( 4 . 5 0 )
( 4 . 5 1 )
( 4 . 5 2 )
( 4 . 5 3 )
( 4 . 5 4 )
( 4 . 5 5 )
0 ; ( 4 . 5 6 )
( 4 . 5 7 )
третье
уравнение системы (4.48) скалярно на V и сложим с пятым уравнением этой же системы.
Получим
d I V2 |
, |
Л , |
d |
|
|
|
а — |
------ V-l 4 |
-v —-(-Y-+*')=Q + P V — ^ C f V , + q ) . |
||||
dx\ |
2 |
1 |
) |
dy |
|
|
Это уравнение эквивалентно двум соотношениям |
||||||
|
|
d x _ _ d y _ _ _____ d (i + |
1/2/2)________ |
|||
|
|
|
и |
V |
Q + P V - O |
v s + q ) Q s/Q |
из которых следует, что линии тока газа представляют собой ха рактеристики.
Из четвертого соотношения (4.48), скалярно умноженного на Ѵ„ можно получить
|
ѵі |
|
|
|
ѵі |
|
Ис |
+ — |
)+ ѵ. |
- |
f |
2 * е |
= f V s + PSVs, |
|
дх |
ду[У |
\ |
|
||
|
или d x |
d y |
|
|
d ( v \ l2 + |
p /Qb ) |
|
|
|
|
|
||
|
Us |
|
|
|
/ V s + |
P s V s |
|
|
|
|
|
||
140
Следовательно, |
линии тока частиц также являются |
характери |
||||||||||||||||
стиками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим попутно, что вдоль линии тока частиц выполняются |
||||||||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
Vl |
|
|
- f V s+ P aV a; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dt |
|
2 |
бв |
|
|
|
|
|
(4. 58) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
des |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dt |
=<7~bQi> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а вдоль линии тока газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
|
1 |
dp |
+ v ( — J - p \ = 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt № |
|
Qr |
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
\ |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4. 59) |
|||||
|
d |
|
V2 |
|
Q + ^ - ( f V s+<7)-PV = 0. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исключим из уравнений (4.49), (4.50), (4.52), (4.53) и (4.56) |
||||||||||||||||||
производные по х и у от р, |
q и і |
и |
воспользуемся |
выражением |
||||||||||||||
для скорости звука (4.40). |
После |
преобразований |
вместо |
урав |
||||||||||||||
нения (4.50) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6гД2 Ö6i |
|
||||||
(а2- и 2 |
д и |
|
|
д и |
|
дѵ I |
, |
„ |
— |
о , дѵ |
|
|
||||||
|
|
U V -------- U V ------- На |
V'ä) |
----- |
|
|||||||||||||
|
|
д х |
|
|
dy |
|
dx |
|
|
|
7 |
dp |
|
бвб |
|
дл: |
|
|
бг«2 |
ÖQs |
я2 |
|
dij \- i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
VQrl/ |
|||
бBÖ |
d</ |
Qr |
|
der |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
■ P V + ^ - f V , |
|
|
|
|
|
|
|
(4.60) |
||||
|
|
(,,+ |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где производная |
di\/dQv определяется так же, как и в предыду |
|||||||||||||||||
щем параграфе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4. 52) — (4. 55), по |
|||||||
Исключая др/дх и др/ду из соотношений |
||||||||||||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q ru д и _ | _ б г ^ |
д и |
|
^ d u s |
■ѵвр = ^ - Р х~ Р и - / я |
б г б іу . |
|
||||||||||||
бв д х |
бв д у |
|
s d x |
|
ду |
б в |
|
|
|
|
|
QQb |
|
|
(4.61) |
|||
Q TU дѵ |
Qrv |
д ѵ |
|
dvs |
dPs |
|
|
|
|
|
|
QrQs |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б В дх |
бв ду |
-й. дх |
■— V.’ду — — Р у |
P sУ |
|
/V |
Q Q b |
f y |
|
|
||||||||
В систему, состоящую из шести соотношений |
(4.51), |
(4.52), |
||||||||||||||||
(4.53), |
(4.60) и |
|
(4.61), |
входят |
производные |
по х и у от шести |
||||||||||||
параметров — и, |
ѵ, us, vs, q s |
и p. |
|
|
соотношений |
типа |
дЬ/дх + |
|||||||||||
Добавляя к этой системе шесть |
||||||||||||||||||
+у'(дЬІду)=и, |
где |
L — любой |
из |
перечисленных |
параметров, |
|||||||||||||
и выписывая условия |
неоднозначности |
определения |
искомых |
|||||||||||||||
производных, придем к уравнениям характеристик: |
|
|
|
|||||||||||||||
AB {в 2 [(1 + |
у'*)а2- |
л ч + е ^ е - ^ е г Ѵ П |
+ |
у |
)Л3}= о , |
(4.62) |
||||||||||||
где А = ѵ—у'и, В - |
v —y'us. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
141