Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 172

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

И з уравнения энергии (4.4) аналогичны м образом получаем

 

j \У2!2 + е + 6/6г] +

Л

[ ^ ?/2 +

+ jtsQB1 [р] — О,

 

откуда, используя оба условия

(4.18), второе условие

(4.19) и соотношение

(4.20), можем написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.21)

Таким образом, восемь условий

(4.17) — (4.21) определяют скачки восьми

параметров газа и частиц на разрыве в зависимости

от изменения

девятого

параметра (например, q, q3, и,

и3,

V, Ѵ3, е и е3 в зависимости от

изменения

давления).

Рассмотрим различные возможные случаи, полагая, что газ присутствует по обе стороны от разрыва, а частицы имеются хотя бы с одной, тогда д+> 0 , q_ > 0, е„ _ > 0, где индексы «+ » и «—» соответствуют значениям параметров после и до разрыва.

Тангенциальный разрыв газа и частиц. Пусть при переходе через поверх­

ность разрыва / = /s = 0,

т. е. ни газ, ни частицы не проходят

через поверх­

ность разрыва. При этом вторые уравнения

(4.18)

и

(4.19),

а также

равен­

ства (4.20) и (4.21) удовлетворяются автоматически,

а из первых уравнений

(4.18)

и (4.19) можно найти [р] = [Ѵ«п] = 0.

Отсюда,

а также из

уравнений

(4.17)

следует, что Pn =

Vsn = 0.

 

 

поверхности

разрыва,

Таким образом, газ

и частицы движутся вдоль

следовательно, разрыв является тангенциальным.

При переходе через

него

давление не меняется, а

V*,Vsi, i, е3 и q3

имеют

произвольные

разрывы.

При этом на основании условий (4.11)

 

 

 

 

 

 

[Q] =

[er] — е„1[Q*Qr].

 

 

 

 

(4.22)

Если задан скачок энтальпии или температуры, то по уравнению

состоя­

ния можно найти скачок плотности [gr], а затем с помощью (4.22) — [д]. Этот

случай реализуется, например, на границе струи при равновесном

истечении

двухфазного потока в затопленное пространство.

 

когда j3¥= 0,

а /= 0 ,

Тангенциальный разрыв в газе. Рассмотрим случай,

при этом Ѵп =[Ѵп] = 0 . Из равенств

(4.18),

(4.20) и

первого

соотношения

(4.19) следует, что [Р*т] =

[es]= 0

и, вообще говоря,

[р] = [Ѵзп] = 0.

Теперь из

второго условия (4.16) получаем [qs] = 0, а из соотношения (4.22)

 

 

[el

= ( і — е /е ® )

Ы -

 

 

 

 

 

Разрывы і и V произвольны и определяют разрывы Г, дг и д. Таким образом,

имеет место тангенциальный

разрыв

только

параметров

газа.

Поток

частиц

пересекает этот разрыв. Этот случай реализуется, например, в сопле при на­

личии начального ступенчатого распределения плотности

газа

и непрерывно­

го распределения плотности частиц gs,

частиц.

Обратимся

к

случаю,

когда

Тангенциальный разрыв в среде

е«+>0, Qa_>0, j^=0,

j s= 0. Тогда l/än=[E sn]=0. Из равенства (4. 18)

полу­

чаем [р]=0. Далее,

из

соотношений

(4.19),

следует [Ѵп] = [ Ѵ і ] = 0 ,

а

из

уравнения

(4.21)— [t]= 0 .

Из первого соотношения (4.16)

получим [д] = 0,

а

из условия

(4.22) — [д»]=

0.

 

 

 

 

 

 

Таким образом, все параметры газа и плотность «газа» частиц непрерыв­

ны при переходе через этот разрыв, а разрывы V3% и е3— произвольны. Сле­

довательно, тангенциальный разрыв имеет место только в среде частиц.

 

 

Реализация этого случая аналогична предыдущему,

если

при начальном

распределении поменять местами характер задания плотностей газа и частиц.

Поверхность раздела между областями, занятыми частицами и свободны­ ми от них. Пусть, как и в предыдущем случае, 0, /,= 0 , Q»_>0, но qs+= 0.

132

Тогда Vsn_ = 0, а говорить о величине Ѵ,п+ не имеет смысла. Кроме того, из второго соотношения (4.19) следует, что [Ѵт] = 0. Далее, учитывая, что

1 1

1

Qr+ Qr—

получим

Разрыв Qr определяется совместным решением

состояния,

а Qr + = Q + . Из соотношений (4.16)

= —[р]// и

q + / q _ = V '„ _ / V '7I+. Разрывы [V, т] и

Qs-

—1

Qв

(4.23)

 

 

(4.24)

 

(4.25)

этих уравнений и уравнения

и

(4. 19) получаем [Ѵп] =

[е3]

произвольны.

Таким образом, разрыв представляет собой граничную поверхность меж­ ду областями, в которых присутствуют и отсутствуют частицы и при переходе

через него парметры газа Qr , Q, р,

Ѵп, і и Т меняются скачком.

Если же ве­

личиной q s_/Q b м ож н о пренебречь по сравнению с единицей, то,

как следует

из уравнений (4.23) — (4.25), при

переходе через разрыв все параметры газа

останутся непрерывными.

 

 

 

 

 

Изменение энтропии газа определяется, как известно, соотношением

 

TdS = di — ѵтdp,

 

 

где ѵг — удельный объем собственно газа.

 

 

 

Отсюда d i = T d S + v rdp, а также

 

 

 

*+ —

= Т -

(5 г — S _ ) +

цг_ [/?] +

 

+

ѵг р — [Р]2 +

ѵг pp -

[Р]3 + • • • >

(4.26)

где

' дѵт

 

 

Г д*ѵт]

ОТ]

L/r р ■

Г О Т ]

 

. dp

 

Vrpp~ \ . d i ß \ s

а

 

dp3Js'

индекс «S» означает, что частные производные взяты при условии постоянст­ ва энтропии.

Удельный объем газа после разрыва может быть представлен в виде ряда

ѵг+

« г - + ѵг р - [Р] +

ѵг pp_

[/>]2 + . . .

+

ѵг s -

[5]

+ . . . ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ѵ г -

+ Vr f ) [p\ =

vr_ [p] + ^ ~ v Tp^ tp]2 +

 

 

 

 

+ r

T pp- [ p ] 4 - . . . + - ^ - v rS_[S]

[p]

+

 

(4.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя от плотностей к удельным объемам

в выражении

(4.25) и под­

ставляя в него

(4.26)

и (4.27), получим

 

 

 

 

 

Г_ [S]

=

---- V

г р р - [р]э

-

[S] [р] +

1

Ѵг_

—

 

—

~ ----------[/> ].

1 J

 

12

 

2 ѵг*

 

2

 

— ѵв

133

Д л я скачков

малой интенсивностиѴЯѴг-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т _ [S]

 

2 («5- — ѵк) IP)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как о8_ > о в,

то разрывы

возможны лишь при повышении давления

Рассмотренный случай реализуется в сопле на

линии

раздела,

отделяю­

щей область чистого газа от области двухфазного потока.

ІФО и j s¥=0. Этот

Ударные волны. Рассмотрим, наконец, случай,

когда

случай имеет место, например,

при переходе через скачки уплотнения в соп­

лах. Из вторых равенств (4.18)

и (4.19), а также из (4.20) следует, что

 

 

 

Гт] = [ ^ ] = Ы = 0.

 

 

 

Из первых соотношений (4.18)

и

(4.19), а также равенства

(4.17)

и уравне­

ния (4.21), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К ] (vs+ + tv-) fs =

 

2 [p] ѵв

 

 

 

 

 

 

fl м =

,

 

2wH

■ —

1

[/>];

 

 

(4.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

а также

 

 

fl [V2] + 2 [i]

= 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sign [/>] =

— sign [ü] =

— sign [г/Д =

— sing [Vn] =

 

 

=

— sign [K„] =

sign [z ]= s'g n

[Q ]= sign [Qi].

 

 

Удельные

объемы

связаны

между собой

соотношением,

эквивалентным

соотношениям

(4.11).

 

 

 

ѵгѵ„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ =

ѵг +

 

 

 

 

 

(4.29)

 

 

 

-----------.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vs — v B

 

 

 

 

 

Исключая

из двух

последних

равенств

(4.28)

величину

[о] и производя

■преобразования с использованием равенства (4.29), получим уравнение удар­ ной адиабаты в виде

ѵг- + ѴГ'

ѵв [jP]

V]

= 0. (4.30)

 

j s ( V s - + Vs Д J \ v s+ — V„ V s - .— Vt

Величины p+, vs+, Уг+ и v+ определяются совместным решением первых двух уравнений (4.28), а также соотношений (4.29), (4.30) и уравнения состояния.

Рассмотрим изменение энтропии в слабом скачке.

Тогда ѵ,+ + ѵа_*ы2ѵ,_, а

такж е

\ѵ/ѵі\ я» [и] vj}_ — ѵ —

,

уравнение ударной

адиабаты при­

ведем к виду

 

 

 

 

 

и

Ѵг - + ѵ г

vl №

V s -

VB

+

: U.

2

[Р]

fl

V s -

 

 

J s VS

 

Если

объемом частиц

пренебречь,

то из

анализа

уравнений

следует, что

на линии разрыва параметры газа связаны между собой уравнением ударной адиабаты для газа, а параметры частиц проходят линию разрыва без измене­ ний.

Подставив теперь сюда два первых слагаемых по формулам (4.26) и (4.27), получим

[S]— ^2 ѴгРР~ [-РІ3+ 2

[Z7] +

vlv-

[Pi3 j

v2s-fs

 

+

Г

v Bv _ p

 

134

Стоящее в фигурных скобках выражение отрицательно. Следовательно, на­ личие последнего слагаемого приводит к уменьшению роста энтропии.

Таким образом, при учете объема частиц при фиксированном значении [р] энтальпия и температура повышаются менее интенсивно. При этом скачок

ближе подходит к адиабатическому сжатию, чем в чистом газе.

§ 4.3. Одномерные стационарные течения

Рассмотрим вначале случай, когда все параметры зависят только от одной пространственной переменной, например, х.

Обозначим проекции на ось х векторов Р, f, V и Vs соответствен­ но через Р, f, и и us. Из уравнений (4.5), (4.6), (4.8), (4.10), (4.11) и (4.13) получим

где

Последние два уравнения системы (4.31) интегрируем при усло­ вии отсутствия массовых сил и подвода (отвода) тепла. Получа­ ем

Qu2-|-

-{-р = const; qu (и2/2 -|-i) -j- qsus {u2J 2 -(- is)-—const.

Теперь решение сводится к интегрированию двух дифферен­ циальных уравнений

Рассмотренное решение может быть применено, например, к исследованию транспортировки взвешенных частиц в цилиндри­ ческих трубах.

Рассмотрим одномерное движение двухфазной среды в сопле с учетом объема, занимаемого частицами. Строго говоря, такое течение не является одномерным, так как в данном случае име­ ются радиальные составляющие скоростей, меняющиеся в попе­ речных сечениях, однако они не учитываются. (Как отмечалось в гл. I, такие течения иногда называются квазиодномерными). Основные уравнения и методы их решений для случая одномер­ ного течения в сопле, когда пренебрегается объемом частиц, бы­ ли рассмотрены в гл. I.

135

Уравнения расхода газа и частиц следуют из уравнений

(4.1), (4.2) и имеют вид

qwF = const; qsw sF = const,

где w — скорость газа, постоянная в поперечном сечении сопла F. (Считается, что w и ws направлены по оси сопла, а их ради­ альные составляющие условно полагаются равными нулю, хотя это и противоречит граничным условиям).

Из уравнений (4.5) и (4.6) после интегрирования уравнений (4.3) и (4.4) для участка сопла длиной dx получим 1

d

I ws

■ р

- f + P i ,

d x

2

'

ÖB

 

W.de. ~Ч+ d x

 

dw

d w о

 

Q® y + Ö A Т І + Г = 0Р + 8Л

 

dx

dx

dx

dx

[e®^ (®72 + 0 + Qs® / (®7 2 +

+

Q ] = ( Q Q +

Q sQ s +

Q’W P + Qsw sP s) F ■

При отсутствии объемных сил и источников тепла соотношение после интегрирования получает вид

qwF (w2/2 -f /) -f- QswsF {w J2 -f- is)= const.

(4. 32)

последнее

Заметим, что при F = const, полученные соотношения есть точные уравнения одномерного стационарного течения (течение

вцилиндрической трубе).

§4.4. Одномерные нестационарные течения

Рассмотрим одномерные нестационарные течения с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. Пусть х — расстоя­ ние от плоскости, оси или центра симметрии. Тогда все парамет­ ры зависят только от двух переменных — времени t и координа­ ты X . При этом уравнения (4.5), (4.6), (4.9), (4.12) и (4.15) при­ мут вид

— j - и -ÜÜL ,

dt

X

_ о-

( 4 . 3 3 )

дх

дх

 

 

dus

ÖQs

ÖQs

XQsUs

( 4 . 3 4 )

,

+ US л +

, . +

X

- 0;

dx

dx

dt

 

 

1 При интегрировании по поверхности сопла векторы V и Ѵ3 следует счи-

тать нормальными п и, следовательно, члены, в которые входят Ѵп и Vsn, — равными нулю.

136

Смотрите также файлы