Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

где частная производная іу6= (g5—g7) (2АУы)~1.

В отличие от формулы (5.52) в формуле (5.54) коэффициент при lj/6 меньше единицы и погрешности затухают.

Д. Линия раздела близка к стенке. В областях, где линия раз­ дела 5—3 (рис. 5.10) близко подходит к стенке, возможен слу­ чай, когда характеристика второго семейства (отрезок 3—2) по­ падает не «а линию, где все параметры заданы (см. рис. 5.9), а на стенку (см. рис. 5.10). В этом случае использование схемы, рассмотренной в предыдущем пункте, потребовало бы уменьше­ ния шага по х. Если это нежелательно, то расчет проводим сле­ дующим образом. Значения у3 в первом и последующих прибли­ жениях Уі и ф4 вычисляем, как и- в предыдущем случае.

Величины х%, уг, £2, *зг, Уѵ и £3> определяем из следующих очевидных равенств:

167

Параметры в точке 3" вычисляем по методике, изложенной в п. «В». Аналогично этому определяем и параметры в точке 3', причем в первом приближении параметры в точке 3 полагаем совпадающими с соответствующими параметрами в точке 5.

Далее, по точкам 4', 3" и 3' квадратичной интерполяцией на­ ходим параметры в точке 2.

После этого все параметры в точке 3 вычисляем в соответ­ ствии с общим случаем (п. «А»), но при этом k33 следует умно­ жать не на Ах, а на Дх32. После определения всех величин в точке 3 производим уточнение параметров в точке 3'.

Точку 7, ненужную для расчетов параметров данного слоя, определяем квадратичной интерполяцией по х по точкам 4', 3" и 3 ' после того, как все итерации выполнены.

Е. Пересечение линии раздела со стенкой. В этом случае шаг

Ах заранее не задан, он определяется по последней формуле (5.30), которую в конечно-разностном виде можно представить следующим образом (рис. 5.11):

величине ух квадратичной интерполяцией (с использованием то­ чек 5, 6 и 7) определяем все параметры в точке 1.

После этого расчет ведем, как и в п. «В», с учетом условия, что в области, определяемой точками 4—3—5, частицы отсутст­ вуют.

Аналогичным образом могут быть решены и другие элемен­ тарные задачи.

Остановимся теперь на выборе шага Ах. Пусть Аух— шаг по у в области течения газа с частицами, а Аг/г — шаг в области те­ чения газа без частиц.

Значение Ах при счете нового слоя выбираем таким, чтобы искомые точки определялись по рассмотренным выше схемам.

Так, чтобы определить параметры в ближайшей к линии сим­ метрии точке в соответствии с п. «А» нужно, чтобы характеристи­ ка первого семейства, проведенная из нее в направлении преды­ дущего слоя, достигла его раньше, чем линии симметрии. Это

соответствует условию (см. рис. 5.7) Дхі^тІбДг/і.

168

Подобно этому, чтобы ближайшая к стенке точка, находясь в области, свободной от частиц, определялась в соответствии со­ схемой п. «А» (при 0S= 0) необходимо, чтобы характеристика второго семейства, выходящая из нее в направлении предыду­ щего слоя, не попала на стенку. Это соответствует условию (см.,

рис. 5.11)

Лх2< «47А'^2

т 47: 4 — 1

Аналогичным образом снизу от линии раздела получаем (см.

рис. 5.9)

Дх3 < т5чАУі mfgis — 1 ’

а сверху от линии раздела (см. рис. 5.9)

Дх4<

1 k s m 59

Для удобства расчета коэффициентов т, входящих в послед­ ние четыре неравенства, можно вычислять их на предыдущем слое, а затем величину Ах для гарантии несколько уменьшать,, введя множитель е < 1.

Таким образом, шаг Ах ограничен условием

Д х < Дхт = г min (дх4, дх2, дх3, дх4),

где 8 = 0,8н-0,9.

Для повышения точности расчетов шаг Ах целесообразна принимать меньшим Дхт , особенно при больших степенях рас­ ширения сопел, когда определенное по последней формуле зна­ чение Ахт оказывается существенно больше Аг/і и Ау2.

положительные константы, не превышающие единицы (в приво­

169

димых ниже расчетах пользовались значениями 6і~0,3 и 62~

»0,8 ).

Вопределенном сечении сопла возможно пересечение линии

раздела со стенкой (п. «Е»), После этого вся область течения оказывается заполненной двухфазным потоком. Однако при на­ личии интенсивного поворота стенки, если в некоторой точке 4 на стенке £4< £ 4, то пристеночная зона, свободная от частиц, об­ разуется вновь. Для возможности использования предыдущих формул в этом случае необходимо пересчитать константу Cs так, чтобы ка линии раздела ф„= 1.

Как показали расчеты в случаях, когда имеется перетекание газа из пристеночного слоя, где частицы отсутствуют, в цент­ ральную часть, неравномерность параметров перетекшего газа остается на большом участке почти такой же, как и в пристеноч­ ном слое. В этом случае равномерное разбиение по у зоны двух­ фазного течения нецелесообразно.

Для повышения точности расчетов здесь целесообразно вве­ сти третью зону с шагом Дг/3= Дг/2, ограниченную линией разде­ ла и линией тока газа фт , на которой в точке ее пересечения с линией раздела £ = |.

Таким образом, линией, при переходе через которую изменя­ ется шаг Ау, становится не граница раздела, а линия тока газа ф = фтПри этом записанные выше формулы для Ауі и Ау2 видо­ изменяются очевидным образом.

Введение третьей зоны особенно важно при большом содер­ жании частиц в смеси.

Необходимо также отметить, что если число точек на слое N мало, то удовлетворительную точность можно обеспечить при уменьшении шага Ах и одновременном повышении порядка ин­ терполяции. Это, однако, допустимо только в тех случаях, когда кривые распределения параметров в поперечных сечениях доста­ точно гладкие.

Расчеты выполняются в направлении от стенки к линии сим­ метрии. Точность расчета характеризуется отличием от нуля ве­ личин і|) и ifs в последней точке, причем их вычисление произво­ дят по формулам (5.48) вдоль вновь рассчитанного сечения (Д х = 0). Если частицы попадают на стенку, то контроль по рас­ ходу частиц производится вдоль контура у, состоящего из отрез­ ка стенки, на котором имеется выпадение частиц, и последнего сосчитанного сечения с применением формулы

Cs j* [QsuscJy1+', ~ y ',Qsv s(l-{-v)d x]= l + v .

т

Кроме этого, для контроля могут быть использованы усло­ вия сохранения энергии и количества движения, записанные в интегральном виде (5.25), (5.28) и (5.29) и примененные к замк­ нутому контуру, состоящему из начального сечения, стенки, вы­ ходного сечения и линии симметрии.

170