Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Таким образом, интегрирование системы дифференциальных уравнений свелось к последовательному вычислению несколь­ ких квадратур. Однако обе эти задачи при численном их реше­ нии являются почти эквивалентными.

Учитывая, что метод Хассана дает решение лишь обратной задачи (контур сопла не задается, а получается в результате ре­ шения), преимущества, получаемые при использовании этого метода, весьма невелики.

При решении прямой задачи — определении течения в сопле заданной формы — приходится сталкиваться с трудностями, обусловленными с прохожде­ нием особой седловой точки.

Как отмечалось в конце §1. 1, начальное значение скорости газа определяется формой до­ критической части сопла. Ана­ лиз интегрирования уравнения

(1.12) показывает (рис. 1.7),

что при весьма малом откло­ нении от начального значения wо, соответствующего заданной форме сопла, произвести ин­ тегрирование не удается: при небольшом понижении началь­

ликом дозвуковому течению в сужающе-расширяющемся канале. При начальном значении w, несколько большем ш0, интеграль­ ная кривая физического смысла не имеет. Явления, происходя­ щие при прохождении седловой особой точки при двухфазном течении, аналогичны явлениям, имеющим место для обычного газа.

Чтобы избавиться от этой особенности Глауц [33] ввел следующую замену переменных: 7V='1/3(M2— I)2; при этом числитель левой части уравнения (1.13) становится равным dN и особенность пропадает.

28

сравнительно просто, то при W>5-i-6 для прохождения особой точки необхо­ димо весьма точно определить начальное значение скорости, что может ока­ заться вне возможностей машины: интегральные кривые, практически не от-' личающиеся по начальным данным, в окрестности особой точки могут уйти в разные стороны.

Казалось бы, что в дозвуковой области весьма обещающим является ме­ тод вычисления от особой точки в направлении, противоположном движению газа и частиц. Рассмотрим это на примере интегрирования уравнения (1.3). Подставим в это уравнение вместо ws сумму ws+ö, где б — малая величина.

Отсюда недопустимость интегрирования в направлении, противоположном движению газа, очевидна: при x<Zx0 ошибка нарастает по экспоненте.

Иной метод решения прямой задачи с прохождением седловой особой точки был предложен Эмануэлем [136] применительно к химически неравно­ весным течениям в соплах. Идея метода заключается в нахождении интеграль­ ной кривой, близкой к искомой, и в небольшой (иногда чисто символической) корректировке околокритической части сопла.

Запишем уравнение (1.13) в форме

Начальное условие следующее: M o=M (x0). Решение имеет вид М = М(х, М0). Пусть при М0 = М0* дифференциальное уравнение (1.32) имеет особую седло­

вую точку; при Моэ^Мо* интегральные кривые располагаются либо выше, ли­ бо ниже интегральной кривой М =М (х. Мо*), проходящей через особую точку

В (см. рис. 1.7).

Рассмотрим второй тип интегральных кривых. Эти кривые имеют макси­

Особая интегральная кривая в небольшой окрестности точки В имеет ли­ нейный участок, наклон которого определяется по правилу Лопиталя

шим образом аппроксимирует наклон интегральной кривой в особой точке. Исключим из уравнений (1.32) и (1.33) производную dM/dx\ß. Получим

соотношение, справедливое только в особой точке

при котором вычисляемое вдоль данной интегральной кривой значение Д до­ стигает минимума.

29

Расчет по формуле (1.34) осуществляется до точки хл, за которой произ­

(1.13) используется (1.34), то необходимо после определения всех параметров на этом участке с помощью соотношения (1.6) определить зависимость F(x). Выбор точки Хі осуществляется расчетным путем.

Нужно сказать, что при значительных содержаниях частиц в газе область,

В заключение отметим, что на практике в основном исполь­ зуются обратные методы расчета двухфазных течений в соплах, когда задается 1 распределение какого-либо параметра вдоль сопла (например, плотности, давления, скорости газа и т. д.), а форма сопла определяется в результате решения задачи. Этим методом можно опредетить и течение в сопле заданной формы, если сделать несколько приближений, подгоняя получаемый про­ филь под заданный. Преимущество обратных методов заключа­ ется в отсутствии трудностей, связанных с прохождением осо­ бых точек.

§1.4. Линеаризация уравнений и их решение

При небольших отставаниях частиц возможна линеаризация уравнений двухфазных течений по малому параметру е, пропор­ циональному отставанию частиц. При этом параметры потока в явном виде могут быть представлены через геометрические ха­ рактеристики сопла.

Система основных шести уравнений двухфазных течений мо­ жет быть записана в виде

1 Обычно задаются распределениями параметров по соплу, полученными

при расчетах равновесных течений в соплах заданной формы.

30

Представим шесть искомых функций w, ws, Т, Ts, р и р в ви­ де рядов, в которых членами второго порядка малости пренебре­ гаем:

w — we-\-ew1-\~.. . ,

Приравнивая в остальных четырех равенствах коэффициенты

Представленные здесь уравнения характеризуют равновесное течение двухфазной среды, которое рассматривалось в § 1.2.

31

7'(Х )=1—YXa;

Я (Х )= 1+ (2Л -1)уХ 2;

g — постоянная интегрирования.

Величина g выбирается либо из условия ограниченности па­ раметров в минимальном сечении сопла, что определяет связь между параметрами в начальном сечении, либо из условия их за­ дания в начальном сечении. Последний случай имеет место, на­ пример, при рассмотрении течения только в сверхзвуковой части сопла. При этом соотношение (1.40) удобнее представить в виде

W f CedTa + wa (dw — dwa)

32