Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 4
и из выражения (1.43) при Т — Тн и р = рп получим
(1.44)
а из соотношения (1.42) получим
Т \ _ъе |
1 Рі |
|
Те |
^ е |
Ре |
Другой случай выбора £ будет рассмотрен ниже.
Подставим теперь равенства (1.37) в равенство (1.39) и, вы полнив преобразования, получим
срете |
Т і I |
W1 |
W |
d l |
(1.45) |
|
Wg |
Te |
we |
1 + W |
dx |
||
|
Исключим Ti/Te, Qi/ge и Wi/we с помощью соотношений
(1.38), (1.42), (1.43) и (1.45). Окончательно, пользуясь рядами
(1.36), придем к формуле
Р = Ре |
tW |
|
2 х Д 2 |
1 ч- -у (2-Ң — 1 ) Х2 |
d l |
(1 — Х2) (1 + W ) |
f.e + 1 |
1 — уХ2 |
dx |
||
|
|
M C- 6 ) О + yXfcj |
|
(1.46) |
|
|
|
%е— 1 |
|
||
|
|
|
|
||
Подставляя формулу |
(1.46) |
в соотношение (1.42) |
и пользу |
||
ясь выражениями (1.43) |
и (1.36), получим |
|
|||
|
2 у і ш |
Г 1 — Т) + у (2ч] — 1) Х2 4- Т)Х2 dl |
|||
|
(1 - Л2) ( Н И ) |
[ |
т (X) |
dx |
|
(1.47)
СJ '
Из выражений (1.45), (1.47) и (1.36) получ
w = we |
t i m |
(у — 2т]у — 1) j — |
T(l) ^ |
(C - 6) |
|
(1 -X2)(l +W) |
dx |
X2 |
%e— 1 |
Как следует из соотношений (1.36) и первого |
равенства |
|||
(1.38), |
плотность Q можно вычислить через скорость |
|
||
Формулы (1.46), (1.47), (1.48) и первое соотношение (1.38)
совместно с третьим равенством (1.36) позволяют в явном виде найти зависимость между давлением, температурой, скоростью, плотностью газа и геометрическими параметрами сопла, харак теризуемыми величиной Я.
2 |
3739 |
33 |
Связь между к и |
относительной площадью сопла F = F/Fm |
|||
определяется уравнением расхода равновесного потока |
|
|||
|
|
|
X ( l - YXsf * " \ |
(1.49) |
или в дифференциальной форме |
|
|
||
|
djL=.J>Lz±Ü L . |
(1.50) |
||
|
d l |
2 Х(1 |
— y l 2) |
ѵ |
Производная dk/dx, |
входящая в формулы для р, |
Т и т. д., |
||
„ |
|
d l |
d l dy |
|
определяется из равенства |
— = |
------4- . |
|
|
|
|
d x |
d y dx |
|
Скорость и температура частиц вычисляются на основании равенств (1.37) и двух последних соотношений (1.36) по фор мулам
w s ~ w — z w e — , dx
(1.51)
' j ' __-j- 2 c |
e |
d l |
S |
<P2 1 — Y^2 |
dx |
Плотность «газа» частиц qs может быть найдена из уравнения (1.7). Остановимся теперь на вычислении постоянного парамет ра |. Как следует из формул (1.46) — (1.48) при Х=1 знаменате ли коэффициентов, стоящих перед квадратными скобками, обра щаются в нули. Для того чтобы параметры, определяемые этими формулами, были конечны, необходимо обратить в нули при Х=1 и выражения, стоящие в квадратных скобках. Эти три усло вия сводятся к одному соотношению, которое имеет вид
5 = С,— ^ ^ [ l + * l ( * e- l ) l ( f M |
) * |
• |
(1-52) |
|
i-е |
\ d x |
|
|
|
Как видно при этом из соотношений |
(1.46) — (1.48), |
началь |
||
ные значения параметров потока отличны от равновесных зна чений.
Интересно также отметить, что при наличии излома контура сопла производная dX/dx, а с нею и все параметры потока тер пят разрыв. В нелинеаризованной же одномерной теории при переходе частиц через излом контура параметры потока остают ся непрерывными, скачком меняются только их производные. Форма контура сопла, как следует из (1.46) — (1.48) и (1.51), влияет на параметры газа и частиц двояко. Во-первых — через
разность (£—I), входящую в формулы |
(1.46) —(1.48) |
и завися |
|
щую от формы части |
контура сопла, находящейся |
между на |
|
чальным и рассматриваемым сечениями. |
И во-вторых — через |
||
производную dX/dx, |
вычисленную в рассматриваемом сечении |
||
34
сопла. Пользуясь соотношением (1.52), получаем, что при опре делении параметров в расширяющейся части сопла разность (£—£) не зависит от формы сужающейся части, а определяется лишь расширяющейся частью сопла. Действительно, разность
С-Е =
1Н(к) dk
П (к) dx/dk |
— [1+Л(*в |
* |
и зависит только от формы расширяющейся части сопла и от производной (dX/dx) * в его минимальном сечении.
Таким образом, в линеаризованных сверхзвуковых течениях форма сужающейся части сопла, если не учитывать производ ную (dX/dx) „., не влияет на параметры потока за минимальным сечением сопла. Она определяет лишь параметры в сужающей ся части сопла и, в частности, — в начальном сечении.
§ 1.5. Примеры расчетов
В качестве примера ниже представлены результаты расчетов ф/s и fßS, проведенных по формулам (1.23) и (1.25) для слу чаев нелинеаризованного и линеаризованного течений [109]. При
Рис. 1.8. |
Кривые зависимости коэф |
|
фициента |
расходного |
комплекса от |
|
W: |
|
-------------------------н ы е ; |
уравнения |
нелннеаризован- |
— уравнения л ин еари зо |
||
|
ванные |
|
этом в первом случае производилось численное интегрирование
системы (1.3), (1.5), |
(1.6), (1.7), (1.8), (1.10) |
и |
(1.11), а во |
втором — параметры |
потока определялись |
из |
соотношений |
(1.46) — (1.48). |
|
|
|
2* |
/ |
|
35 |
|
|
|
Как следует из формулы (1.25), основная составляющая по терь определяется членом, стоящим в круглых скобках. При этом в соответствии с линеаризованной теорией получим
- i + r ^ ( 1 + r ) - I= 5 i+ £ s _ ^ _
где h и І2 — параметры, слабо зависящие от W. Минимум этого выражения1 достигается при \Ѵ= 2, следовательно, значение cp/s будет наименьшим вблизи W = 2. Физически наличие минимума объясняется следующим образом.
При малых W равновесное течение близко к течению чистого газа, а при больших — балластировка газа частицами настолько снижа-
Фі=х
|
О |
5 |
W |
Рис. 1.9. Кривые зависимости |
коэфРис. 1. 10. |
Кривые зависимости |
коэф |
фициента удельного импульса |
от W: фициента |
удельного импульса |
от W |
------------------------- нелинеаризованные |
у равн е |
|
|
ния; ------ 1 ----------- линеаризованные |
уравн е |
|
|
ния |
|
|
|
ет скорость газа, что отставания уменьшаются и течение опять приближается к равновесному.
На рис. 1.8—1.10 представлены результаты расчетов <pjs и срр^ , проведенных для различных значений W и срі. При зтом по
лагалось |
q>i=(pil(RT0)~1/2; <p2= q>2t(RT0)~l/2; и=1,4; фі/фг=1,5; |
cB/R=3, |
где I — длина сопла; Т0— температура торможения пе |
ред соплом.
Контур расширяющейся части сопла аналитически представ лен на стр. 172, а сужающейся — составлен из прямой линии, наклоненной к оси под углом Ѳ=arctgV 2, и дуги окружности ра диуса, равного диаметру минимального сечения. Отношение пло щади начального сечения сопла к площади минимального сече ния равно 4.
1 Факт существования минимума cpis является весьма примечательным.
Впервые он установлен в работе [109], где приведены и экспериментальные подтверждения.
36