Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

s

и .называется изоантіропным. При этом величина Öl' = ec't' остается постоянной. Уравнение

Р

называется уравнением адиабатичности или, точнее, нзоэнтропности.

Для изолированной системы в .случае протекания идеальных ■обратимых процессов энтропия не изменяется. .При протекании необратимых процессов энтропия изолированной системы может только возрастать. Таким образом, энтропия изолированной систе­ мы может или оставаться постоянной или возрастать, но не может уменьшаться. Это утверждение составляет содержание второго за­ кона термодинамики и является одной из его формулировок. В статистической термодинамике доказывается, что рост энтропии изолированной системы связан с переходом системы из менее ве­ роятного состояния в более вероятное.

Первый закон термодинамики утверждает эквивалентность теп­ лоты и работы и констатирует, что теплота, подведенная к газу, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение внеш­ ней работы:

Рассмотренные параметры и положения термодинамики широко используются в газовой динамике.

таем, что сил трения и грави­ тационных нет. На 'Выделенный элемент действует сила давления, которая вызывает его ускорение. В соответствии со вторым зако-

10

Вычитая М'х из Ж.ѵ, получаем излишек массы газа dMx, проходящий через выделенный объем в направлении оси х:

Этот избыток dM вызывает изменение плотности газа в объе­ ме dv = dxdydz и равен изменению во времени массы данного объема. Следовательно,

Подставляя полученное значение dM, производя сокращение на dvdx и перенося все члены в левую часть равенства, поручаем

(1-19)

Уравнение (1-19) называется уравнением сплошности или не- . разрывности. Оно отражает тот физический факт, что газ сплошь заполняет объем, через который протекает. Иными словами, тече­ ние происходит без разрывов.

§ 1-4. Замкнутая система уравнений

Движение и состояние газа в каждой точке пространства одно­ значно определяются скоростями wx, -wy и wzi давлением р и плот­ ностью р. Для нахождения указанных пяти величин имеем четыре уравнения: три уравнения движения и одно — неразрывности. Для получения замкнутой системы уравнений необходимо иметь пятое уравнение. Им может служить уравнение адиабатностй

которое отражает то.^что процессы с газом происходят без тепло­ обмена с окружающей средой.

12

= const.

p'‘

Dw

Раскрыв значения полных производных —г- в первых трех урав­ нениях, получим систему в виде

р_ const.

рк

Система уравнений (1-21) при заданных начальных и гранич­ ных условиях определяет нестационарное пространственное движе­ ние идеального газа. Уравнения (1-21) описывают поведение частиц газа в каждой точке пространства в любой момент времени,- Изу­ чая таким образом движение, мы делаем как бы моментальные снимки всего движения в каждой точке, а по времени как бы кинематографируем его. В этом случае проекции скорости wx, wy и wz на неподвижные оси координат, а также р и р в каждой точке газа являются функциями координат точки х, у, z и времени т.

Таким образом, можно записать:

‘= У. г, т);

™у=А(х, у, 2, т);

13

Независимые переменные -ѵ, у, z и т называются переменными Эйлера, а уравнения (1-21) — уравнениями в форме Эйлера.

Движение газа можно рассматривать также другим способом по траектории каждой частицы. Пусть в начальный момент вре­ мени (т = 0) координаты рассматриваемой частицы будут а, Ь, с. Все дальнейшее движение этой частицы зависит от этого началь­ ного положения. Тогда ее координаты х, у, z в неподвижной систе­ ме координат будут зависеть от а, Ь, с и т. Следовательно,

Координаты X, у, z каждой частицы являются функциями четы­ рех независимых переменных, а, Ь, с и т. Эти переменные назы­ ваются переменными Лагранжа. Если значения х, у и г (1-23) под­ ставить в систему (1-21), то получаются уравнения в форме Лагранжа.

§ 1-5. Уравнения газовой динамики в цилиндрических координатах

При решении некоторых задач более удобно рассматривать движение газа в цилиндрических координатах. В цилиндрических координатах положение точки М в

14