Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 58

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Масса выделенного объема dv равна cft]i = pdrdldz. Составляю­ щие ускорения в цилиндрической системе координат выражаются более сложно, чем в прямоугольной. Полное ускорение вдоль ра­ диуса-вектора представляет собой сумму относительного ускоре­

но.

с5

г, •

ния —к1- и центростремительного

ускорения-------.

і іолное ускоре-

Ö'l

г

 

ние в направлении dl, нормальном к радиусу-вектору в плоскости

вращения,

выражается

как сумма

тангенциального ускоре­

имя н о

и кориолисова

ускорения

dr НО

Полное ускорение

в направлении dz по-прежнему определяется как полная производ­

но. ная dz .

Таким образом, по трем взаимно перпендикулярным направле­ ниям имеют место ускорения:

по направлению dl

h = г НО +2 — НО аМ + / dx Нт >

по направлению dz

л = dCНт2 ■

Записывая уравнение второго закона Ньютона для выделенного элемента массы газа и сокращая его на drdldz, получаем

HcV_fo_ = ___

Нт

г

 

р дг ’

 

.НО

HrПО _

__ 1_

др_

(1-24)

' Нт2 + 2

Нт 'Нт _

Р

гдв

’

dcz _

1

dp

 

 

Пт

~~

р

dz '

 

 

15

Сумму тангенциального

и кориолисова

ускорения

молено пре-

 

 

 

 

 

 

„

dr

 

db

образовать, используя значения скоростей

сг— -^р

и сь = г-

ДаѲ

dr db

1

d i

db

1

d

dCr.

crcR

+

2rfx ' d i ~

r

‘ dx V

rft) ~

r

‘ rfx (rC^

Дт +

/- • (1'25)

Используя (1-25) и раскрывая значения субстанционных про­ изводных, находим уравнения движения (1-24) в виде

дс.

 

дсг

,

со

дсг

1

 

дСг

 

■с

 

 

 

 

J_ г.

---- —

 

1

г

дЬ

1

* dz

1

иг dr

 

^

 

1

II

г

 

1др

гдг

I

 

 

дсо .

св

дсо

, г

дс*

,

 

1

др

(1-26)

 

дт

■Сг■

г

дО

 

 

г

~~

— — ж ;

 

 

дг 4

 

 

рг

да

 

 

 

дс.

 

дс.

I

дс.

дс.

 

1

др

 

 

 

 

+ *ѴHF

-- —

 

 

Hz

~

р "дг

 

 

 

 

г

 

 

 

Для получения уравнения неразрывности выделим элемент

объема dv = drdldz=rdrdQdz

в

цилиндрических

координатах

 

 

 

 

 

 

(рис. 1-5).

Приращение

массы

 

 

 

 

 

 

в этом объеме за счет потоков по

 

 

 

 

 

 

осям за промежуток времени dr

 

 

 

 

 

 

составит:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по оси dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dMr — —

(pcrdxdldz) dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j p (Pcrr) drdMzdx;

 

по оси dl

dMt = —^ -(p c^didrdz) dl --

(pc0) drdbdzdz;

по оси dz

dMz = — j ^ (pc.didrdl) dz = ~ r - d - (Pcz) drdMzdi.

Полное приращение массы в этом объеме за промежуток вре­ мени Дт будет dM=-.dMr-\-dMlr\-dMz. Это приращение массы вызы-

16

вает изменение плотности газа в объеме dv п равно изменению во времени массы этого объема:

dM = д dz

dz dvdz = г dz drdddzdz.

Подставляя найденное выше значение dM в это уравнение и производя сокращение на drdQdzdx, получим уравнение неразрыв­ ности

di~ ^ Т "dr^prc^ + Т "дЬ

'+ дг ^ =

(1' 27^

Уравнения движения (1-26), неразрывности (1-27) и адиабатности (1-20) составляют замкнутую систему уравнений газовой динамики в цилиндрических координатах.

§ 1-6. Об интегрировании уравнений газовой динамики

Три уравнения движения, уравнение неразрывности и уравне­ ние адиабатности представляют собой систему совокупных диффе­ ренциальных уравнений в частных производных. Эти уравнения характеризуют нестационарное движение газа при принятых допу­ щениях и являются фундаментальными уравнениями газовой дина­ мики. Для получения решений конкретных задач необходимо также задание начальных и граничных условий.

Интегрирование указанных уравнений в общем виде даже для рассматриваемого идеального газа представляет при современном состоянии математического анализа непреодолимые трудности. Поэтому для решения задач приходится их упрощать, прилагая уравнения к подходящим частным случаям движения. Такие слу­ чаи встречаются часто на практике. Решения для них получаются сравнительно простыми и для технических целей достаточно точными.

Если рассматриваемое движение газа считать стационарным, то изменение величин во времени и, следовательно, соответствую­ щие частные производные, обращаются в нуль, и система уравне­ ний значительно упрощается. Для задач, в которых сжимаемостью газа можно пренебречь, полагают p = const. При этом уравнение неразрывности значительно упрощается и отпадает уравнение адиабатности, устанавливающее связь между давлением и плот­ ностью.

Для двумерных и одномерных движений в уравнениях исчезают члены, содержащие частные производные по направлениям, в кото­ рых нет движения, так как они обращаются в нуль. При рассмот­ рении некоторых явлений в газах (скорости звука, образования ударных волн, определения соотношений для фронта ударной вол­ ны и др.) оказывается целесообразным иехгушть нр из уравнений

2 Степанов И. Р.

■■Ча"

J7

 

»ÄJr-KlO - ТйЛЯЧ

 

SK3SftnU)Si»~

газовой динамики, а из конкретных физических схем, подходящих для соответствующих явлений.

Наиболее подробно изучено установившееся движение газа, осо­ бенно одномерное. Может считаться достаточно полно изученным также одномерное неустановившееся движение. Для более общих движений решены лишь частные задачи. Бурное развитие вычисли­ тельных машин в последние годы .значительно расширяет область возможных решений. Наиболее широко применяемыми методами в этих случаях являются метод характеристик и метод конечных разностей.

Глава 2. ОДНОМЕРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ

ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

§ 2-1. Скорость звука

Скорость звука имеет большое значение при анализе’.течения

•'•/Кі’мгс-моі'і жидкости. Поэтому остановимся на выявлении ее физи­ ческой сущности.

Рассмотрим

движение газа

в длинной

цилиндрической трубе,

в которую с малой

постоянной

скоростью

и вдвигается с

одного

конца

поршень

(рис.

2-1). Движение

считаем адиабатным

(без

теплообмена

со

стенками трубы)

 

 

 

 

 

 

и силами вязкости газа пренебре­

 

 

 

Л

Л'

 

гаем.

Эти

условия

определяют

 

 

 

 

процессы в трубе

как

изоэнтроп-

г

: ѵ

Р + ЬР

Ж

 

а Р

ные. В трубе находится газ (сжи­

1

 

 

 

 

 

Z

 

І

Г

2

маемая жидкость). Поэтому дви­

 

 

 

жение поршня не передается всей

 

 

 

В

8'

 

массе

жидкости" мгновенно. Пор­

 

 

Р и с . 2 - 1 .

 

 

 

шень сжимает сначала слон газа, непосредственно прилегающий к его поверхности. Это сжатие пере­

дается близлежащему слою, затем следующему и т. д. и распро­ страняется по трубе, создавая слабую волну уплотнения. В трубе возникает перемещающееся сечение AB, отделяющее область газа от поршня до этого сечения, возмущенную движением поршня, от невозмущенной области. Это сечение представляет собой фронт волны возмущения, движущейся с некоторой скоростью а. Справа перед, сечением AB газ неподвижен. Масса невозмущенного га­ за Ати, которую проходит фронт волны за малый промежуток вре­ мени Ат, определится как

Aw„ = арДДт,

(2-1)

где F — площадь сечения трубы.

В возмущенной области газ движется с абсолютной скоростью поршня и, а фронт волны возмущения движется с абсолютной ско­

2*

19

Смотрите также файлы