Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
ростью а. Поэтому относительно возмущенного газа волна дви жется со скоростью а—и. Масса газа, за тот же промежуток вре мени Дт, оказавшаяся в возмущенной области, составит
Дто— (а —и) (о Др) FAx. |
(2-2) |
Вследствие неразрывности течения Ати=Атв—Ат и, следова тельно,
|
ар = (а — и) (р + Др). |
(2-3) |
|||||
Для массы Ат, вовлеченной |
в |
движение, |
запишем уравнение |
||||
изменения количества движения |
|
|
|
|
|
||
F [(/?-'- Ар) — р\ Ах — Агп и, |
(2-4) |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ар = |
ари. |
|
(2-4') |
|||
По уравнению (2-3) |
находим |
скорость газа |
за фронтом волны: |
||||
|
и |
|
^ |
Др ' |
' |
(2-5) |
|
|
|
р + |
|
|
|||
Подставив значение и в уравнение |
(2-4'), получим |
||||||
|
Аа = а'1 |
До |
|
(2−6) |
|||
|
|
|
1 + |
^ ' |
|
||
Переходя к пределам при |
Д-с-^0 и при условии слабых возму- |
||||||
щении, для которых величиной — |
по сравнению с 1 можно прене |
||||||
бречь, имеем |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
а- = |
^ |
|
|
|
(2-7) |
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
Для изоэнтропического движения |
Р |
= 0= const. Продифферен |
|||||
цируем это уравнение. Тогда |
|
|
|
|
|
||
|
dp = Олт/-1dp, |
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
^р_ — к Р- |
|
|
||||
|
dp |
|
р |
|
|
|
|
Поэтому уравнение |
(2-7) |
может быть записано также в виде |
|||||
|
а2 = K ^ |
- ^ |
KRT. |
(2-Т) |
|||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Уравнения (2-7) определяют скорость распространения волн малых возмущений. Характерным примером таких волн являются звуковые волны. Звук представляет собой малое возмущение
20
среды. В результате такого возмущения частицы газа приходят в движение и, взаимодействуя друг с другом, порождают области повышенной и пониженной плотности и давления, с течением време ни распространяющиеся от центра возмущения — источника звука.
Амплитудные значения давления в звуковых волнах до 140 дБ* |
|||||
составляют до 0,002 am. Для |
|
Таблица 2-1 |
|||
таких .волн скорость распро |
|
||||
Скорость звука в некоторых газах при 20° С |
|||||
странения постоянна и опре |
|||||
деляется уравнением (2-7). |
Газ |
а = У tcRT, |
|||
Распространение волн |
зна |
м і с е к |
|||
чительных возмущений |
име |
|
|
||
ет особенности, |
которые бу |
Воздух |
342 |
||
дут рассмотрены ниже. |
|
||||
|
Азот |
348 |
|||
Из формул (2-7) и (2-7')' |
|||||
Кислород |
326 |
||||
следует, что скорость |
зву |
||||
Водород |
1320 |
||||
ка зависит только от |
физи |
||||
Гелий |
1004 |
||||
ческих свойств |
газов |
(газо |
|||
Углекислота |
268 |
||||
вой постоянной |
данного га |
||||
|
|
||||
за R и показателя адиаба |
|
. Числен |
|||
ты к) и от абсолютной температуры Т млн отношения |
ное значение скорости звука в газах велико и составляет сотни метров в секунду (см. табл. 2-1). Скорость распространения возму щений зависит от скорости движения молекул. Известно, что сред няя скорость движения молекул близка к скорости звука.
Оценим величину скорости движения частиц в возмущенной области. На основании уравнения (2-5) имеем
Др
и = а ---- р—г - . |
(2 -5 0 |
1 |
|
Р |
|
+^
При рассматриваемых малых по сравнению с единицей значе-
ДР
ниях — величина и так же мала по сравнению с а. Это значит,
что для слабых волн возмущений и составляет десятые доли м/сек и менее. При значительных скоростях и возникают волны конечной амплитуды, имеющие ряд особенностей.
§ 2-2. Трубка тока. Уравнения, характеризующие движение в трубке тока
Значительное количество технических задач газовой динамики можно решить, предполагая движение одномерным, т. е. таким,
* 140(35 — это уровень звукового давления, соответствующий очень сильному звуку, вызывающему уже болевое ощущение у человека. Все обычные звуки, с которыми мам приходится иметь дело, характеризуются значительно меньшим уровнем звукового давления.
21
в котором все параметры течения меняются только в одном на правлении. Изучение стационарного адиабатного течения идеаль ного газа в трубе постоянного сечения, которое в полной мере соот ветствует этому случаю, не представляет интереса, так как оно характеризуется постоянством всех параметров по длине трубы и
во времени. К одномерному течению при некоторых усло виях может быть отнесено дви жение в трубке тока.
Напомним,' что линией то ка называют такую линию в потоке, в каждой точке кото рой вектор скорости направ лен по касательной к этой
линии. Замкнутая поверхность, образованная линиями тока, обра зует трубку тока. Движение внутри трубки тока с малой кривиз ной оси и с относительно малым изменением поперечного сечения при условии постоянства расхода газа во всех поперечных сече ниях трубки тока может считаться одномерным установившимся движением.
Для получения основных уравнений рассмотрим установившееся течение газа в трубке тока. Направление осп х выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-2). Запишем для рассматри ваемого установившегося течения уравнение движения (1-6'). Для рассматриваемого движения wх=с, w v=wz—Q. Учитывая это, а так же переходя в уравнении к полным производным, будем иметь
de |
1 |
dp |
|
С Тх |
и |
dx —О, |
|
или |
|
|
|
ссіе -)- & |
0. |
(2-8) |
|
|
Р |
|
|
Рассматривая два произвольных сечения трубки тока I—/ и 2—2 (см. -рис. 2-2) и интегрируя уравнение (2-8) в пределах этих сечений, получаем
cdc-\- |
(2-9) |
СI Р1
Выполняя интегрирование с учетом изоэнтропичности течения, характеризуемого уравнением
К |
= Рг_ = |
р_ |
(2- 10) |
К |
к |
||
Рі |
92 |
р |
|
22
находим
|
С2— с\ |
dp — О, |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
||
или |
Рі |
|
|
|
|
|
|
||
с\ |
к Р\ _ с\ |
к р2 |
( 2- 11) |
|
2 |
^ к — 1 р, — 2 ' к — 1 ро |
|||
|
Выражение (2-11) — уравнение Бернулли, которое обычно полу чают в термодинамике как уравнение энергии в результате пре образования уравненңя первого закона термодинамики для потока газа.
Таким образом, мы установили, что при изоэнтропическом тече нии газа в трубке тока интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии.
Уравнение неразрывности для движения в трубке тока перемен ного сечения выражает условие постоянства расхода через любые сечения и имеет вид
2> |
(2 - 1 2 ) |
или |
|
О = pcF — const. |
(2-12') |
Получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Для этого последовательно прологарифмируем и продифференци руем уравнение (2-120:
dp de dF _ -
рс F
Уравнение энергии и неразрывности, а также условие изоэнтропичности дают возможность определить параметры течения в про извольном сечении трубки тока.
§2-3. Различные формы уравнения энергии
ихарактерные скорости
Ранее, на основании первого закона термодинамики изоэнтропического потока газа, нами были получены уравнения энергии в форме
|
1 |
C“ |
|
(2-13) |
|
+ ~2~= const; |
|||
• > |
г + |
* _ , • |
р |
(2-13') |
|
2 |
+ „ _ |
і = с°пз1. |
(2-13") |
При очень большом сечении можем считать, что с = 0 — имеем заторможенный поток, параметрам которого будем придавать
23
индекс 0 и называть их параметрами заторможенного потока или параметрами торможения.
Имеем
с2 , |
К |
р |
к |
р л |
K.RTn |
„ ^ |
. |
|
(2-14) |
2 т |
к - 1 ' р |
к - Г р„ |
к - 1 |
Lp u |
|
1 |
|||
|
|
Уравнение (1-14) выражает тот факт, что в результате полного торможения потока вся кинетическая энергия направленного дви жения переходит в тепло. Заметим, что температура торможения То и энтальпия і0 для заданного потока могут иметь только одно вполне определенное значение, тогда как давление торможения ро и плотность Ро могут принимать любые значения, но такие, при
Ро
которых отношение — остается постоянным.
Ро '
Параметры торможения имеют большое значениепри рассмот рении различных задач газовой динамики. Применим уравнение энергии к двум сечениям трубки тока, в одном из которых давле ние уменьшается до 0. В этом сечении скорость с будет стремиться к некоторой максимальной смакс. Эта скорость соответствует исте чению в пустоту (р = 0, Т = 0, г = 0). Для .таких условий уравнение энергии приобретает вид
С2 |
I 1Q“ |
^макс |
(2-15) |
|
Т |
+ |
— ~ 2 ~ |
||
|
При скорости течения, равной Смаке, вся тепловая энергия моле кул преобразована в энергию направленного движения. Практи чески максимальная скорость течения газа недостижима и является теоретическим пределом для скорости течения газа.
Скорость течения, равная местной скорости звука, называется критической и обозначается скр= а кр. Она определяется уравнением энергии
с2 , а2 |
к + 1 |
„а |
(2-16) |
|
2 |
1 2 (л:. — 1) |
кр- |
||
|
Уравнение энергии, записанное в различных формах, позволяет установить связь между характерными скоростями и параметрами торможения, которая определяется следующим образом:
^ |
Ро |
„ т |
__ |
С 2 |
I |
Смаке |
|
4 ~ к ~ |
1 "р7 - |
р |
п~ / Г Л |
- |
2 |
~ к^\ ~ |
2~ |
|
|
|
к 4—1 |
|
9 |
|
(2-17) |
|
|
= |
2"(іс - T j акр |
|
|||
|
|
|
|
24