Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Рассмотрим другой случай. Предварительно докажем тео­ рему: окружности, расположенные в различных плоскостях, пересекающиеся в двух точках или соприкасающиеся, лежат на одной сфере.

Допустим, имеем во фронтальной плоскости проекций про­

одной сфере. В этом случае линия пересечения тть поверхно­ стей строится методом концентрических сфер.

Пример 2 . Рассмотрим взаимное пересечение поверхностей вращения с пересекающимися осями.

116

Допустим, что во фронтальной плоскости проекции имеем

фронтальные проекции меридианов пь2 и т 2 поверхностей

вращения, оси z 1 и которых пересекаются в некоторой

точке С2 (рис. 184).

Точку С принимаем за центр концентрических сфер. Для

нахождения точек, принадлежа­

щих линии пересечения поверх -

ностей, необходимо задать па —

раллель на одной поверхности,

заключить ее в сферу Q , а

потом найти параллель на вто­

рой поверхности, которая ле -

Представим себе, что центр С сферы Q. перемещается,

меняются ее радиус, положение окружностей 1с’и 1с г и их радиусов на сферах, но окружности все время пересекаются ( в частном случае касаются). Линия пересечения т, таких поверхностей строится методом, эксцентрических сфер .{рис. 185). Этот метод применяется во

всех случаях, не­

зависимо от фор —

мы циклических

поверхностей, лишь

бы они имели плос­ кие линии центров,

одной плоскости £ . В более сложных случаях линия цент -

ров может быть пространственной.

117

Пример 3. Рассмотрим пересекающиеся поверхности вра­ щения со скрещивающимися осями.

Допустим, имеем поверхности вращения с осями z 1 к z 2

(рис. 186). Тогда параллели р £

второй поверхности расположат­

ся так, что каждая из них пере­

сечет параллели р ’ первой по -

верхности трлько в.одной точке

/И .

Задачу построения линии пе­

ресечения решают с помощью

лекальных кривых, так как не удается подобрать достаточно простые посредники.

§ 2. ПОВЕРХНОСТИ С ПОДОБНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ

Поверхностью с подобными сечениями называется поверх­ ность, несущая на себе непрерывное однопараметрическое множество подобных плоских сечений.

Однопараметрическое семейство линий. Под однопарамет­ рическим семейством линий поверхности понимается множе­ ство линий, заполняющее эту поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия эго - го множества.

Допустим, имеем некоторую поверхность Ф (рис. 187).

118

Если взять на поверхности какую-либо линию / , то ду­ га /Я0 /И выделит на ней единственную кривую этого множе­

ства, т.е. дуга М0М - параметр.

Примеры поверхностей с подобными однопараметрически­ ми множествами сечений:

1.Поверхности вращения (рис. 188), где параллели т. являются однопараметрическим семейством линий.

2.Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (рис. 189). Образующие / этих поверхностей не пересекают­ ся и дают однопараметрнческое семейство линий, образую - щнх поверхности. В этом случае на поверхность надо смот­ реть как на непрерывный каркас, заполняющий поверхность, линии которого не пересекаются между собой.

3. Циклические поверхности, которые могут нести на с е ­ бе, однопараметрическое семейство линий.

Существуют, кроме того,поверхности, однопараметричес­ кие семейства линий которых пересекаются между собой. На­ пример, поверхность тела желоба (рис. 190).

Рис. 189

Однодараметрические семейства плоскостей. Однопарамет­ рические семейства плоскостей следует понимать так: плоско­ сти заполняют пространство или какой-нибудь его отсек так, что через каждую точку пространства проходит плоскость и, за исключением некоторых точек, только одна.

Примеры однопараметрических семейств плоскостей:

1. Параллельные плоскости. Они заполняют все простран­ ство, не пересекаются между собой и через каждую точку пространства проходит только одна плоскость (рис. 191).

119

2. Плоскости пучка. Эти плоскости также заполняют все пространство. Однако в пространстве есть точки, через ко­ торые проходит не одна, а все множество плоскостей (пря­ мая т ) (рис. 192).

Есть еще и третий случай однопараметрического семей - ства плоскостей. Однако в инженерной практике его стара — ютея избегать.

Допустим, имеются цилиндрическая поверхность Ф и плоскости, касательные к этому цилиндру (рис. 193). Такие

плоскости заполняют всю внешнюю часть пространства по отношению к

цилиндру и также представляют собой

ш

однопараметрическое семейство.Здесь за параметр можно принять угол ср - угол поворота плоскости ос .

Обобщением третьего случая явля­ ется случай, когда плоскости обкаты­ вают торсовую поверхность (рис. 194).

В дифференциальной геометрии дока - зывается, что никаких других однопараметрических семейств плоскостей не существует.

120

Представим себе, что линия тп - пространственная кри­

вая, Каждую

точку на ней

можно задать

длиной дуги s ~

~ М° М , значит

точки кривой об­

разуют однопара—

метрическое мно­

жество.

Допустим, что в окрестности точки М взяли точки М1

и М 2 . В результате подучили какую-то плоскость <х :

ил. [М1М М 2] , определяющуюся тремя точками.

Будем приближать точки М 1 к /И и /И 2 к М . Как бы близко не приближали точки, каждый раз будем получать со ­ ответственно плоскости ос (появится множество таких плос­ костей). Предельное положение их называется соприкасаю — щейся плоскостью. В предельном положении соприкасающая­ ся плоскость схг проходит через касательную (рис. 195).

Таким образом, в

каждой обыкновенной

точке пространствен­

ной линии можно по ­

строить соприкасаю -

шуюся плоскость. Мно­

жество соприкасающих­

однопараметрическим. В дифференциальной геометрии дока­ зывается, что это и есть касательные плоскости к торсо - вой поверхности, образующие которой являются касательны— ми X линии т

121

Описанные выше случаи можно свести к единообразному, удобно^ для графики способу, который заключается в еле - дующем: в пространстве зада -

122