Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Посмотрим, как конгруенщш используется для конструи - рования линейчатых поверхностей (рис. 143).

Пусть имеются две кривые А В и СВ . Тогда множество всех прямых выделит какой-то отсек пространства. Можно указать граничные поверхности контруендии: это конические

поверхности

); \ В ,ЛС )* ( Д

, В А )\ ( С , A ß ) .

Допустим, что к AB и СЛ добавили кривую E F , тогда

возможны три случая:

 

1)

ЕF

лежит внутри конгруенции

, СЛ) ;

2)

EF

частично входит внутрь этой конгруенции;

3)

ЕЕ

расположена вне конгруенции [_АВ ,СЛ '\.

1 -

 

й случай. Через каждую точку пространства проходит

какая-то прямая конгруенции (не отрезок!). Следовательно,

через каждую точку

Е F будет проходить прямая конгруен -

ции и

ЕF выделит линейчатую поверхность внутри нее (при

атом предполагаем, что через каждую точку внутри тела

конгруенции проходит одна прямая).

 

2 -

 

й случай. Если дуга EF частично входит внутрь кон -

груендии

(рис. 144),

то при наличии у

дуги и отсека Т об­

щей части появляется некоторое множество прямых, пересе­ кающих все три дуги AB , СЛ и EF, т,е. из конгруенции выделится некоторый отсек линейчатой поверхности ф .

3-й случай. Если

дуга ЕF расположена вне отсека

Т

,

то никаких прямых конгруенции через Е F проходить не бу

-

дет, значит не будет

и линейчатой поверхности (рис.

145).

97


â 5, ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА

Линейчатой поверхностью общего вида называется по - в-рхность, образованная перемещением прямой линии до трем направляющим.

Задание направляющих нельзя осуществлять произвольным образом. Третья из них должна полностью или частично вхо­ дить внутрь хонгруенлии, определяемой первыми двумя. При задании некоторых конгруендий возможен случай прохожие - ния двух или более образующих через каждую точку третьей направляющей. В этом случае имеем поверхность с самопе­ ресечением.

Пусть коягруендия задается двумя скрещивающимися пря­

мыми

r n .- z .r t (рис. 156). Каждая точка

М

направляющей

т. и

прямая п. определяют плоскость ос

{ /И

, гг ). Переме­

щая /И

по прямой tn. , получаем бесчисленное множество

плоскостей и конгруенцию прямых.

 

 

Если т z n прямые, а не отрезки, то

такая конгруендия

заполняет пространство. Например, если взять какую-либо

точку L и рассмотреть две плоскости oc1[L , ггъJ и оі

то последние, имеющие общую точку, должны иметь и об - шую прямую. Условие задания трех направляющих линейна - той поверхности сохраняется и в этом случае. При задании отрезков прямых поверхность вообще может не получиться или получится неудобно расположенной. Если удалось виде - лить внутри конгруенции линейчатую поверхность, то это значит, что найден способ приведения в соответствие точеч­ ных рядов направляющих т и п (рис. 147).

Рис. 147

98

Рассмотрим четыре способа установления взаимно одно­ значного соответствия между точечными рядами исходных

направляющих.

 

 

 

1-

 

 

й способ. Допустим, имеем две направляющие т и « ,

Возьмем точку м ' на линии т

и построим коническую по -

верхность Ф 1\М %п~\^ . Выберем в пространстве третью ли —

ниго р

 

и построим точку Р 1пересечения линии р и поверх­

ности

 

ф ' \

р ' ~ р ф ' (рис. 148).

 

Образующая м 'Р ' выделит на линиях т

и п точки 1 и l^

Изменим положение точки

 

 

М

на линии т и повторим

 

 

построения. Появятся точки

 

 

Р г ( Р 2~ р - Ф г), 2 и 2 / .

 

 

Если продолжить построения,

 

 

получим два точечных ряда,

 

 

находящихся во взаимно одно­

 

 

значном соответствии: 1,2,...

Рис.

148

~ ~ X

 

уЛ

 

 

 

 

^

\ r

 

 

 

 

 

2 -

 

 

й способ. Задаются две направляющие m и « и некото­

рая плоскость of (рис. 149).

 

 

На одной из направляющих /гг

 

 

выбирается произвольно точ­

 

 

ка М и через

нее проводит -

 

 

ся плоскость

ос м , параллель-

 

 

ная плоскости of , Плоскость

 

 

о(

пересечет линию п в не­

 

 

которой точке

N : /У = оIм-п.

Рис.

149

В результате получим пару то­

 

 

чек 1

и 1',

Смещая точку М

по линии m и проводя ана —

99


логичные построения, получаем еще ряд точек /V ... и пар

2 / ; 3 ,3 ';...

Таким образом, путем параллельного перемещения плос­ костей получаем взаимно однозначное соответствие точек на направляющих « и тг, Это соответствие определяет ли­ нейчатую поверхность.

3 - й способ. Пусть имеем две кривые т и п . Возьмем какую-либо прямую р . Задавшись точкой /И на линии т ,

можно построить коническую поверхность ф ' : Ф> [М, п] (рис. 150).

Построим точку пересечения прямой р с поверхностью

ф ' : Р ' = р • ф ' . Придавая новые

М

положения точке М на направляю­

щей и выполняя соответствующие

построения, получаем еще рад то -

чек пересечения прямой р с поверх­

ностями ф ' ... Нетрудно видеть,что

и в данном случае имеет место вза­

имно однозначное соответствие меж­

ду точечными рядами исходных на - правляющиX.

4 - й способ. Берут две направляющие т игп (рис. 151). Их хорды АВ и СЛ подвергают пропорциональному делению,

что устанавливает взаимно одно­

значное соответствие между то­

чечными рядами хорд: 1,2,3,...

Допустим, что в плоскостях

ос 1и а^через точки 1,2,3,... про­

ведены перпендикуляры к хор­

дам, тогда на кривых w и « ло-

100


лучим точки 1,2,3... Соединив их прямыми, получим отсек линейчатой поверхности.

Итак, можно сформулировать два подхода к конструирова­ нию линейчатых поверхностей:

1) задаются три направляющие, но таким образом,чтобы третья находилась внутри конгруендии прямых, определяе — мой первыми двумя;

2) задаются две кривые, на которых каким-либо прие - мом устанавливают взаимно однозначное соответствие то — чек.

8 6. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхности с проецирующей направляющей. Поверхность на чертеже Монжа задается проекциями трех направляющих, одна из которых проецирующая прямая (рис. 152). Проекции образующих поверхности, пересекающих прямую р , в гори — зонтальной плоскости проекций будут проходить через точку Р . Следовательно, можно задать горизонтальную проекцию каркаса.

Нетрудно заметить, что между точечными рядами образу­ ющих т и п устанавливает­ ся взаимно однозначное со­ ответствие: 1,1; 2,2; 3,3;...

Фронтальная проекция каркаса строится по соот - ветственным точкам. Если задать горизонтальную про­ екцию точки N ( N ), при -

надлежащей данной поверх­ ности, легко найти ее фрон­ тальную проекцию /Ѵ2, а зна­

чит, чертеж поверхности за ­ дан.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Пусть имеется некоторая плоскость ос и две кривые т и гг . Требу­ ется построить линейчатую поверхность так, чтобы ее обра­ зующие [ ... опирались на эти кривые и были параллельны плоскости ос (рис. 153).

Легко выделить область существования поверхности при

101

заданной плоскости оі . Для этого надо через конечные точ­ ки кривыхт н п провести плоскости, параллельные ое . Пусть

ими будут плоскости ой', су2и ос3. Из ннх, очевидно, можно

выбрать ой2 и , , ограничивающие поверхности.

На комплексном чертеже задача решается несколько ина­ че. Задаются проекции направляющих т и гг и след проециру­

ющей плоскости ой (плоскости параллелизма). Прямые I 1 и l fz

выделят область существования линейчатой поверхности (рис. 154).

Рис. 153 Рис, 154

Косая плоскость. Частным видом поверхности с плоско - стью параллелизма является косая плоскость (рис. 155).

Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, направляющими которой служат прямые линии. Образующие / ... поверхности должны выби­ раться так, чтобы они были параллельны некоторой плоско­ сти ог . На чертеже Монжа эта поверхность задается таким образом: берутся проекции прямолинейных направляющих ттг (гг г у .т ) и n { n f , п 2) и задается плоскость параллелизма

ой ( <*,) (рис. 156).

Обычно в качестве плоскости параллелизма берется прое­ цирующая плоскость* так как она упрощает построение карка­ са поверхности. Проекции образующих такой поверхности в соответствующей плоскости проекций будут параллельны про­ екции плоскости параллелизма с£. Значит, можно легко

102


построить горизонтальную проекцию каркаса поверхности. Ос­ тается восстановить фронтальные проекции образующих t

( t ...)» которые и дадут фронтальную проекцию каркаса.

Инженерный способ задания косой плоскости. Выбирают два отрезка скрещивающихся прямых AB и СЛ . Через точку В проводят отрезок прямой B E , равный и параллельный от­ резку АС . Точку Е соединяют с В и С . В результате полу­ чают параллелограмм А BE С и треугольник СЕВ (рис. 137).

Примем плоскость В ЕВ за плоскость параллелизма и по­ строим образующие поверхности, ей параллельные. Возьмем какую-либо точку /И на А В и проведем через нее плоскость

осм параллельно плоскости параллелизма: л^Ц пл. BED f Она пересечет параллелограмм по отрезку ML , а треугольник

СЕВ

- по отрезку L N . Соединим точки М и N прямой лини­

ей и отметим два ее свойства:

 

 

1)

отрезок прямой MN параллелен плоскости ВЕЛ ;

.

имеет место отношение отрезков прямых

AM

СВ

2)

; Ч —- .

 

 

ГАо

NJJ

В силу второго свойства получаем линейчатую поверх — ноетъ пропорционального деления направляющих отрезков: ли­ нейчатые образующие косой плоскости делят отрезок АВ и СВ в одном и том же отношении (рис. 158).

На чертеже Монжа такая поверхность задается проекция­ ми отрезков прямолинейных направляющих АВ( А1В/ , А2В2) и СВ (CfBr . С2В2 ) (рис. 159). Если при этом построить плОс-

103

кость параллелизма, то она окажется плоскостью общего по­ ложения. Для получения чертежа косой плоскости необходимо осуществить пропорциональное деление проекций отрезков пря­ мых А в и СВ в одной плоскости проекций и затем построить проекции каркаса поверхности как в первой, так и во второй плоскости проекций.

Отметим некоторые свойства этой поверхности. Если за направляющие отрезки поверхности принять отрезки АЛ и ВС,

на них

можно построить второе семейство прямых I 2 {I

1 -

первое

семейство прямых). Как видим, каждое семейство

 

образующих выделило соответственно линейчатые поверхности

Ф1и ф \ ф'=[АВя Л С) ; фг [АП и ВС].

1

2

В аналитической геометрии доказывается, что

Ф и

несет на себе два семейства прямолинейных образующих. До­ кажем,»то средствами начертательной геометрии. Допустим, имеем два скрещивающихся отрезка прямых AB и СП (рис.

160). Возьмем прямую/ИЛ/- представителя первого семейст-

АМ TJN

ва прямых и запишем отношения отрезков —== —— . Далее

тв NС

возьмем любого представителя второго семейства образую -

щих, например PQ и составим пропорцию

ВР

AQ

Если

 

PC

QB

 

прямые /ИЛ/ и PQ пересекаются, то поверхности, которым они

принадлежат, - тождественны, а если не пересекаются - раз­ личны. Докажем, что существует точка пересечения указан - ных прямых.

104