Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 1
Посмотрим, как конгруенщш используется для конструи - рования линейчатых поверхностей (рис. 143).
Пусть имеются две кривые А В и СВ . Тогда множество всех прямых выделит какой-то отсек пространства. Можно указать граничные поверхности контруендии: это конические
поверхности (А |
); \ В ,ЛС )* ( Д |
, В А )\ ( С , A ß ) . |
||
Допустим, что к AB и СЛ добавили кривую E F , тогда |
||||
возможны три случая: |
|
|||
1) |
ЕF |
лежит внутри конгруенции |
, СЛ) ; |
|
2) |
EF |
частично входит внутрь этой конгруенции; |
||
3) |
ЕЕ |
расположена вне конгруенции [_АВ ,СЛ '\. |
||
1 - |
|
й случай. Через каждую точку пространства проходит |
||
какая-то прямая конгруенции (не отрезок!). Следовательно, |
||||
через каждую точку |
Е F будет проходить прямая конгруен - |
|||
ции и |
ЕF выделит линейчатую поверхность внутри нее (при |
|||
атом предполагаем, что через каждую точку внутри тела |
||||
конгруенции проходит одна прямая). |
|
|||
2 - |
|
й случай. Если дуга EF частично входит внутрь кон - |
||
груендии |
(рис. 144), |
то при наличии у |
дуги и отсека Т об |
щей части появляется некоторое множество прямых, пересе кающих все три дуги AB , СЛ и EF, т,е. из конгруенции выделится некоторый отсек линейчатой поверхности ф .
3-й случай. Если |
дуга ЕF расположена вне отсека |
Т |
, |
то никаких прямых конгруенции через Е F проходить не бу |
- |
||
дет, значит не будет |
и линейчатой поверхности (рис. |
145). |
97
â 5, ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА
Линейчатой поверхностью общего вида называется по - в-рхность, образованная перемещением прямой линии до трем направляющим.
Задание направляющих нельзя осуществлять произвольным образом. Третья из них должна полностью или частично вхо дить внутрь хонгруенлии, определяемой первыми двумя. При задании некоторых конгруендий возможен случай прохожие - ния двух или более образующих через каждую точку третьей направляющей. В этом случае имеем поверхность с самопе ресечением.
Пусть коягруендия задается двумя скрещивающимися пря
мыми |
r n .- z .r t (рис. 156). Каждая точка |
М |
направляющей |
т. и |
прямая п. определяют плоскость ос |
{ /И |
, гг ). Переме |
щая /И |
по прямой tn. , получаем бесчисленное множество |
||
плоскостей и конгруенцию прямых. |
|
|
|
Если т z n прямые, а не отрезки, то |
такая конгруендия |
заполняет пространство. Например, если взять какую-либо
точку L и рассмотреть две плоскости oc1[L , ггъJ и оі
то последние, имеющие общую точку, должны иметь и об - шую прямую. Условие задания трех направляющих линейна - той поверхности сохраняется и в этом случае. При задании отрезков прямых поверхность вообще может не получиться или получится неудобно расположенной. Если удалось виде - лить внутри конгруенции линейчатую поверхность, то это значит, что найден способ приведения в соответствие точеч ных рядов направляющих т и п (рис. 147).
Рис. 147
98
Рассмотрим четыре способа установления взаимно одно значного соответствия между точечными рядами исходных
направляющих. |
|
|
|
||||
1- |
|
|
й способ. Допустим, имеем две направляющие т и « , |
||||
Возьмем точку м ' на линии т |
и построим коническую по - |
||||||
верхность Ф 1\М %п~\^ . Выберем в пространстве третью ли — |
|||||||
ниго р |
|
и построим точку Р 1пересечения линии р и поверх |
|||||
ности |
|
ф ' \ |
р ' ~ р • ф ' (рис. 148). |
|
|||
Образующая м 'Р ' выделит на линиях т |
и п точки 1 и l^ |
||||||
Изменим положение точки |
|
|
|||||
М |
на линии т и повторим |
|
|
||||
построения. Появятся точки |
|
|
|||||
Р г ( Р 2~ р - Ф г), 2 и 2 / . |
|
|
|||||
Если продолжить построения, |
|
|
|||||
получим два точечных ряда, |
|
|
|||||
находящихся во взаимно одно |
|
|
|||||
значном соответствии: 1,2,... |
Рис. |
148 |
|||||
~ ~ X |
|
уЛ |
|
|
|
|
|
^ |
\ r |
|
|
|
|
|
|
2 - |
|
|
й способ. Задаются две направляющие m и « и некото |
||||
рая плоскость of (рис. 149). |
|
|
|||||
На одной из направляющих /гг |
|
|
|||||
выбирается произвольно точ |
|
|
|||||
ка М и через |
нее проводит - |
|
|
||||
ся плоскость |
ос м , параллель- |
|
|
||||
ная плоскости of , Плоскость |
|
|
|||||
о( |
пересечет линию п в не |
|
|
||||
которой точке |
N : /У = оIм-п. |
Рис. |
149 |
||||
В результате получим пару то |
|
|
|||||
чек 1 |
и 1', |
Смещая точку М |
по линии m и проводя ана — |
99
логичные построения, получаем еще ряд точек /V ... и пар
2 / ; 3 ,3 ';...
Таким образом, путем параллельного перемещения плос костей получаем взаимно однозначное соответствие точек на направляющих « и тг, Это соответствие определяет ли нейчатую поверхность.
3 - й способ. Пусть имеем две кривые т и п . Возьмем какую-либо прямую р . Задавшись точкой /И на линии т ,
можно построить коническую поверхность ф ' : Ф> [М, п] (рис. 150).
Построим точку пересечения прямой р с поверхностью
ф ' : Р ' = р • ф ' . Придавая новые
М
положения точке М на направляю
щей и выполняя соответствующие
построения, получаем еще рад то -
чек пересечения прямой р с поверх
ностями ф ' ... Нетрудно видеть,что
и в данном случае имеет место вза
имно однозначное соответствие меж
ду точечными рядами исходных на - правляющиX.
4 - й способ. Берут две направляющие т игп (рис. 151). Их хорды АВ и СЛ подвергают пропорциональному делению,
что устанавливает взаимно одно
значное соответствие между то
чечными рядами хорд: 1,2,3,...
Допустим, что в плоскостях
ос 1и а^через точки 1,2,3,... про
ведены перпендикуляры к хор
дам, тогда на кривых w и « ло-
100
лучим точки 1,2,3... Соединив их прямыми, получим отсек линейчатой поверхности.
Итак, можно сформулировать два подхода к конструирова нию линейчатых поверхностей:
1) задаются три направляющие, но таким образом,чтобы третья находилась внутри конгруендии прямых, определяе — мой первыми двумя;
2) задаются две кривые, на которых каким-либо прие - мом устанавливают взаимно однозначное соответствие то — чек.
8 6. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Поверхности с проецирующей направляющей. Поверхность на чертеже Монжа задается проекциями трех направляющих, одна из которых проецирующая прямая (рис. 152). Проекции образующих поверхности, пересекающих прямую р , в гори — зонтальной плоскости проекций будут проходить через точку Р . Следовательно, можно задать горизонтальную проекцию каркаса.
Нетрудно заметить, что между точечными рядами образу ющих т и п устанавливает ся взаимно однозначное со ответствие: 1,1; 2,2; 3,3;...
Фронтальная проекция каркаса строится по соот - ветственным точкам. Если задать горизонтальную про екцию точки N ( N ), при -
надлежащей данной поверх ности, легко найти ее фрон тальную проекцию /Ѵ2, а зна
чит, чертеж поверхности за дан.
Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Пусть имеется некоторая плоскость ос и две кривые т и гг . Требу ется построить линейчатую поверхность так, чтобы ее обра зующие [ ... опирались на эти кривые и были параллельны плоскости ос (рис. 153).
Легко выделить область существования поверхности при
101
заданной плоскости оі . Для этого надо через конечные точ ки кривыхт н п провести плоскости, параллельные ое . Пусть
ими будут плоскости ой', су2и ос3. Из ннх, очевидно, можно
выбрать ой2 и , , ограничивающие поверхности.
На комплексном чертеже задача решается несколько ина че. Задаются проекции направляющих т и гг и след проециру
ющей плоскости ой (плоскости параллелизма). Прямые I 1 и l fz
выделят область существования линейчатой поверхности (рис. 154).
Рис. 153 Рис, 154
Косая плоскость. Частным видом поверхности с плоско - стью параллелизма является косая плоскость (рис. 155).
Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, направляющими которой служат прямые линии. Образующие / ... поверхности должны выби раться так, чтобы они были параллельны некоторой плоско сти ог . На чертеже Монжа эта поверхность задается таким образом: берутся проекции прямолинейных направляющих ттг (гг г у .т ) и n { n f , п 2) и задается плоскость параллелизма
ой ( <*,) (рис. 156).
Обычно в качестве плоскости параллелизма берется прое цирующая плоскость* так как она упрощает построение карка са поверхности. Проекции образующих такой поверхности в соответствующей плоскости проекций будут параллельны про екции плоскости параллелизма с£. Значит, можно легко
102
построить горизонтальную проекцию каркаса поверхности. Ос тается восстановить фронтальные проекции образующих t
( t ...)» которые и дадут фронтальную проекцию каркаса.
Инженерный способ задания косой плоскости. Выбирают два отрезка скрещивающихся прямых AB и СЛ . Через точку В проводят отрезок прямой B E , равный и параллельный от резку АС . Точку Е соединяют с В и С . В результате полу чают параллелограмм А BE С и треугольник СЕВ (рис. 137).
Примем плоскость В ЕВ за плоскость параллелизма и по строим образующие поверхности, ей параллельные. Возьмем какую-либо точку /И на А В и проведем через нее плоскость
осм параллельно плоскости параллелизма: л^Ц пл. BED f Она пересечет параллелограмм по отрезку ML , а треугольник
СЕВ |
- по отрезку L N . Соединим точки М и N прямой лини |
||
ей и отметим два ее свойства: |
|
|
|
1) |
отрезок прямой MN параллелен плоскости ВЕЛ ; |
||
. |
имеет место отношение отрезков прямых |
AM |
СВ |
2) |
; Ч —- . |
||
|
|
ГАо |
NJJ |
В силу второго свойства получаем линейчатую поверх — ноетъ пропорционального деления направляющих отрезков: ли нейчатые образующие косой плоскости делят отрезок АВ и СВ в одном и том же отношении (рис. 158).
На чертеже Монжа такая поверхность задается проекция ми отрезков прямолинейных направляющих АВ( А1В/ , А2В2) и СВ (CfBr . С2В2 ) (рис. 159). Если при этом построить плОс-
103
кость параллелизма, то она окажется плоскостью общего по ложения. Для получения чертежа косой плоскости необходимо осуществить пропорциональное деление проекций отрезков пря мых А в и СВ в одной плоскости проекций и затем построить проекции каркаса поверхности как в первой, так и во второй плоскости проекций.
Отметим некоторые свойства этой поверхности. Если за направляющие отрезки поверхности принять отрезки АЛ и ВС,
на них |
можно построить второе семейство прямых I 2 {I |
1 - |
первое |
семейство прямых). Как видим, каждое семейство |
|
образующих выделило соответственно линейчатые поверхности
Ф1и ф \ ф'=[АВя Л С) ; фг [АП и ВС].
1 |
2 |
В аналитической геометрии доказывается, что |
Ф и |
несет на себе два семейства прямолинейных образующих. До кажем,»то средствами начертательной геометрии. Допустим, имеем два скрещивающихся отрезка прямых AB и СП (рис.
160). Возьмем прямую/ИЛ/- представителя первого семейст-
АМ TJN
ва прямых и запишем отношения отрезков —== —— . Далее
тв NС
возьмем любого представителя второго семейства образую -
щих, например PQ и составим пропорцию |
ВР |
AQ |
Если |
|
PC |
QB |
|
прямые /ИЛ/ и PQ пересекаются, то поверхности, которым они
принадлежат, - тождественны, а если не пересекаются - раз личны. Докажем, что существует точка пересечения указан - ных прямых.
104