Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Рис. 160

Для доказательства возьмем какую-либо плоскость проек—

I

ций тс и спроецируем на нее нашу конструкцию по направле —

нию отрезка PQ, . Из подобия подученных треугольников А*в'р'

VLC'D 'Q1 следует, что M'N ' проходит через точку р'= Q' . Сле - довательно, МN в пространстве пересекает PQ в точке L . Итак, в данном случае имеем одну поверхность, наглядное изображение которой показано на рис. 161, где I и 2 - плоскости параллелизма соответственно для семейства обра­

зующих I 7 ... и I 2... нашей поверхности.

Поверхность несет на себе два семейства прямых. Каж­ дое из них имеет свою плоскость параллелизма. Прямые одного семейства между с обой не пересекаются. Каждая

прямая одного семейства пересекает все прямые другого. Направляющие отрезки А6 и DC надо рассматривать как направ­

ленные отрезки. Как видим, эти отрезки определяют косую плос­ кость. Если у одного из отрезков изменить направление, напри­

мер у р С ,то получим две косые п л о с к о с т и и

на одних и тех же направляющих, но уже не тождественные между собой (рис. 162). Эти плоскости имеют общую плос­ кость параллелизма прямых AB и СВ и три общие прямые:

А В , СИ и прямую, делящую пополам отрезки AB жС В . Докажем, что косая плоскость есть поверхность второго

порядка. Пусть косая плоскость задана направляющими от - резками ОА ъВС : А (0,0, а ) , В (0 ,Ь ,0) и С

(рис. 163). Разделим отрезки 0А и ВС точками М и N в одном и том же отношении Л . Подсчитаем координаты точек М и

N :

106

Составим уравнения прямой MN :

Исключив таким образом Л из уравнений прямой Лі/Ѵ (12),

получим уравнение поверхности (ко­ сой плоскости). Очевидно, что это Уравнение есть уравнение второй степени;

(xfy-xy,)[xfz - x ( z r a )] =

106

8 7. КЛИНОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Некоторые поверхности с плоскостью параллелизма и одной криволинейной направляющей имеют форму клина. Их называют клиновидными поверхностями или коновдами. При­ ведем пример такой поверхности, часто рассматриваемой в учебной литературе.

В некоторой плоскости берут окружность г п , а какой-ли­

бо ее диаметр А 'ВПоднимают вверх на некоторую высоту к .

т2 )} Aß( AfB} , А2 ß2) и плоскость параллелизма ос ( ocf= сс2 ),

после Чего легко строят образующие этой поверхности (рис. 165).

^ 2 ^ 4

I

Рис. 165

Рассматриваемая поверхность ігоямого клина обладает одним интересным свойством: сечение поверхности плоскостью,па­ раллельной основанию, дает кривую, родственную этоілу оснотванию. Например, если в основании поверхности имели окруж­ ность, то сечение поверхности такой плоскостью представля­ ет собой эллипс. Это свойство вытекает из того, что такая

107

секущая плоскость делит образующие клина в одном и том же отношении.

Клиновидные поверхности с закруткой. Представим себе, что направляющая AB , повернутая вокруг точки М на неко­ торый угол, заняла положение A ß , а образующие I ... по — верхности остались прямолинейными. В результате получаем клиновидную поверхность с закруткой (рис. 166). Такие по ­ верхности применяются в технике.

Пример. Берут две фронтальные плоскости ос fjj3 и ограни­ чивающие их плоскости у и $ , пересекающиеся по прямой т (рис. 167).

В плоскостях а и р задают два сечения крыла летателъ - ного аппарата. Пусть в плоскости ос таким сечением будет направляющая кривая а , а в плоскости J3 —кривая 6 . Для простоты построений эти кривые выбраны так, что касатеяь-

ные к ним известны, т.е, і АЦt Си ITC,.

Хорды AB и СП принимают за направляющие косой плоско­ сти и строят прямые пропорционального деления хорд натрав­ ляющих. Образующие АС и ВЛ поверхности, лежащие в плоско­ стях К и 8* , высекают на прямой т отрезок 1-2. Все проме­ жуточные образующие косой плоскости будут пересекать от­ резок 1-2. _Из пропорционального деления хорд AB и CJJ можно

у AM CN

10В

Г л а в а УШ. ПОВЕРХНОСТИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

§ 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Циклической поверхностью называется поверхность, несу­ щая на себе непрерывное семейство круговых образующих. Примером таких поверхностей являются поверхности вращѳ — ния (рис. 168). Их параллели р образуют некоторое семей - ство круговых образующих.

Рис. 168 Рис. 169

Второй пример — однополостный гиперболоид, поперечные сечения которого есть эллипсы, несущий на себе два парал­ лельным образом расположенные семейства круговых обра - зуюпщх ттъ (рис. 169).

Определитель циклической поверхности. Пусть в простран­ стве имеется какая-то окружность m с центром в точке С

(рис. 170). Всегда существует векториальный отрезок А1А гг перпендикулярный к плоскости окружности & , длина которо —

го пропорциональна радиусу окружности: А'А2Lot и A1AZ~ 2 1сг. Если к = 1, то длина векториального отрезка равна диамет­

ру окружности. Представим себе, что нашокружность ш е -

ПО

сте с векториальным отрезком -перемещается в пространстве. Если это не какой-то особый случай, то для каждого поло­ жения точки С можно найти прямолинейную образующую / ,

определяющийся точками пересечения прямой I с кривыми

a f Я- a z . Наличие отрезка АГ^достаточно, чтобы восстало — Вить круговую образующую поверхности, лежащую в плоско­ сти ос , перпендикулярной I . Отсюда следует, что цикличес­ кую поверхность можно задать линейчатой поверхностью век­ ториальных отрезков ее круговых образующих.

Рис. 171

Таким образом, в геометрическую часть определителя

циклической поверхности войдут три линии а т, а 2жс 1 базо­

вой линейчатой поверхности a 2t c 1 %а ] , которые опре­ делят линейчатую поверхность векториальных отрезков.

Алгоритмическую часть определителя (для построения об­ разующих) находят так:

1)( с ) € с ;

2)) € С и € Ч34' (строят образующую I , проходящую через С и принадлежащую Ф 1 , где Ф * -> линейчатая по —

верхиость, определяемая направляющими а г, а 2 и с т);

3)строят ( А / А 2) і

4)(ос ) € С и 1 I ;

111

5) строят окружность тп £с , г = 1сА ’с ] .

Пример 1. Вернемся к поверхностям вращения и посмот­ рим, что представляет собой их базовая поверхность. Допу­

112

секающиеся в двух точках А и В , и векториальные отрез­ ки 1 и 2 (рис. 180).

Будем плоскость ос с окружностями Іс ... перемещать в пространстве так, чтобы в каждом но­ вом положении плос­

кость oif оставалась

параллельной плоско­ сти ос . Если этот

Рис. 180

пропесс представить себе непрерывным, то получим две линейчатые поверхности

При других движениях плоскости ос получим линейчатые поверхности с параллельными образующими разных надрав - пений. Если циклические поверхности в качестве базовых имеют линейчатые поверхности с параллельными образующи­ ми, то линия пересечения поверхностей строится с помо — шью вспомогательных плоскостей.

Пример 1. Допустим, имеем две поверхности вращения с параллельными осями Zf[\zZ , a m f t тп2- меридианы поверх­ ностей. Требуется построить линию пересечения этих поверх­ ностей (рис. 181).

Рассечем наши поверх­

ности вспомогательной пло­

скостью or ( а 2 ). Получим

всечении окружности р 1и

р, которые, пересекаясь, дают пару точек искомой

линии пересечения поверх - ноетей.

US