Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сти, параллельной ху , получается поверхность параллельно­ го переноса.

Пример 1. Составить уравнения преобразований Г ..., за -

данных векторами 0Л'{ 1,1,2}, 08/ j l.—1,1 J- и линией с' , пред­ ставляющей собой окружность

 

рс2+ у 2 =

9

1

 

 

 

2 =

4

1 '

Определим значения с2 и с3 ,

задавшись значениями с .

Получаем:

 

 

 

 

 

cz = ± ] / s - c f 2 '

;

с3 = 4 .

Формулы преобразований Г... имеют вид:

 

X 1 = л: + у + c f z

•

 

 

У' = X - у ± 1 / 9 - С 2 'Z ;

 

z' = 2 х

+ у + 4 Z ,

 

где

Cj 'пробегает' значения

от -3

до

+3,

Пример 2. Составить уравнения мгновенных преобразова­

ний,

зная векторы ОА'^2,3,-1 j-, 0В'

 

когда точке С(0,0,4)

соответствует множество точек С' ...» 'пробегающих' винто­ вую линию

X

= 3

cos t

;

У

= 3

s i n

t ;

3

= 2

t .

 

Запишем уравнения преобразования;

х у = 2 X + 3у + с7z ;

у'

= З х + у + с 2 z ;

г '

= —л: + 2у + с2 з .

Подставив в последние уравнения координаты точек С и

с ‘ , получим:

 

Jcos t = 4 c t ;

3 sin, t - 4 c z ; 2 t —4 c 3 .

Далее находим:

 

137

3cos é

_

 

 

_

J s in

t

t

4

’

 

 

C2 ~ ~ 4

’

C3 = ~2 '

Уравнения преобразований имеют вид:

 

 

ос.

/

о

,

3cos t

2

 

 

= 2 х

+ З у

-+ — ^

/

„

 

JsinzJ-

J' =

З х

+ У +

--- з ----

г' =■- Ä + 2_у +

2 .

Пример 3. В плоскости х у

дана окружность fcf , опираю -

щаяся на отрезок А В как на диаметр и проходящая через на­ чало координат 0. В плоскости ,4 ß £ дан эллипс к , проеци — рующнйся в окружность к ; (рис. 225). Точкам? перемещает­

ся по кривой с 1 , проекции которой задаются уравнениями У = Х \ 2 = у ( х ) . Непрерывному множеству точек С'... со­

ответствует непрерывное множество эллипсов к располо­

женных в плоскостях АВС1.... образующих поверхность Ф покрытия (рис. 226), огражденного полуцилиндром с основа­ нием к и к .

Рис. 225

Рис. 226

Требуется составить уравнения преобразований Г ..,, раз­ множающих исходный эллипс к в образующие к ' ... поверхно­ сти Ф .

138

За исходный принимаем тетраэдр OABG, а за соответст -

веяные ему - тетраэдры ОАВС1... Тогда имеем векторы

СМ'{ і ,0,0} HÖS'j0,l,0}. Случайному положению точки С' со­

ответствует вектор О С ' { с г , c n

f ( c f ) ^ .

 

Уравнения преобразования имеют вид:

X '

= х. + Cj Z

;

У'

= У

+ С , г

;

Z ' = /

( с , ) Z .

 

Двупараметрические множества преобразований Г.., Предположим, что в исходном тетраэдре АВCJJзафиксировано положение двух его вершин А и 27 и вершины В к С пере­

мещаются в пространстве по кривым b' и с ' точек

В' ...

и

С' ... Прямые ребер С ' в ' ... тетраэдров AJJC'ß'...

образу -

ют конгруенцию с направляющими с ' и Ъ' .

__

 

 

Отнесем к тетраэдру А 8СП с помощью точек М и М

не­

которую точку М (рис. 227). Двупараметрическое

множест­

во пар тетраэдров АЛСВѵ. ABC'jj' ... определяет двупарамет­ рическое множество преобразований Г... Преобразования Г... .

размножают точку М

в двупараметрическое множество то -

чек _М 1

..., заполняющих поверхность параллельного перено­

са

Ф , образованную в данном случае по способу Софуса Ли.

Те

же преобразования Г... размножают точку М в двупара —

метрическое

множество точек

/И'

..., заполняющих поверх -

ность Ф

. Поверхность

Ф '

будет

центрально подобна по -

верхности

Ф ' с центром

подобия в точке А и коэффициентом

подобия

Je

-

А/11

:

МА/I

- А'м' :

М'А\'(рис, 228),

 

 

Точка

/И

размножится при этом в двупараметрическое

множество

точек

М1 ...,

заполняющих поверхность Ф ‘ . По­

верхность

Ф '

будят

центрально подобна поверхности

ф < с

центром подобия з

точке

JD и коэффициентом подобия

к 0 =

= Л М

: М М

-= И М 1 ; /й'Лі'Срис.

220).

 

Рис. 228

Таким образом, и поверхность Ф>' , и поверхность Ф '

будут представлять собой поверхности параллельного пере_носа. Если линии с ' и Ъ' прямые, то поверхности Ф ' , Ф>

и Ф ' вырождаются в плоскости.

Если через точку М проходит какая-нибудь линия f , то ее точки М ... размножаются преобразованиями Г... во

множество поверхностей Ф' ..., заполняющих отсек прост -

ранства, ограниченный поверхностями Ф ' , соответствующи­ ми концевым точкам дуги линии . Линия f размножится в

двупараметрическое множество кривых f ' ..., являющихся

линиями хода точек /И' ... при переходе их с одной поверх­

ности Ф ' на другую (рис. 230).

Рис. 229

Рис. 230

140

Таким образом, кривая f с ее точками /VI ... размножа­

ется двупараметрическим множеством преобразований Г...

в триткань F / пространства. Каждая точка М

размножает­

ся в поверхность параллельного переноса Ф '

. Последняя

несет на себе два семейства кривых: одно семейство - кри-

л/

вые Ь / , центрально подобные кривой Ь , другое семейст­

во - кривые с 1 , центрально подобные кривой С ' , При фик­

сированных положениях точек Б ' ... получаем поверхности

] , а при фиксированных положениях точек С ' - поверх­

ности [ j ' è'J. Последние представляют собой поверхности

подобно-родственных сечений. Следовательно, триткань F ’ образуется пересечением трех однопараметрических множеств

поверхностей: Ф ' , C'] и [f' b']*. Это значит, что через

каждую точку М' пространства проходит три указанные по­

верхности, пересекающиеся в этой точке по трем линиям:

/■«ѵ/

~

у ' , С

, b' %Если кривые Ъ' , с ' и у прямые, получаем

триткань прямых пиний.

Составим уравнения двупараметрического множества пре­ образований Г... Примем точку В за начало координат 0. Ось X направим по прямой БА *ось у - по прямой Б В , а

ось г - по прямой Б С •

Учитывая, что А = А ', записываем координаты единично­

го вектора 0А '^ 1,0,0}. Предположим, что кривая Ъ' точек

В ' ... задается своими проекциями

и

, уравнения кото­

рых известны:

, , ..

У

=

. ,

 

 

СЬг')

/ Г( х ) ;

 

 

(6 2')

Z

=

/ 2 О ) .

 

Тогда координаты переменного единичного вектора 0 В 1осей

у 1 ... запишутся так:

OB'

141

Смотрите также файлы