Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

§ 5. НЕПРЕРЫШО-ТОПОГРАфИЧЕСКИЕ п о в е р х н о с т и

Топографическими поверхностями называются поверхно - сти, заданные дискретным множеством их горизонталей (рис. 238).

Такое задание топографической поверхности главным об­ разом применяется в горном и строительном деле, а также в топографии. Наличие горизонталей дает возможность ре - шать некоторые задачи и на плоскости.

Непрерывнотопографическая поверхность - это топо — графическая поверхность, задаваемая непрервным множест­ вом линий уровня (.рис. 237).

148

Графически непрерывно-топографическую поверхность мож—

сте со своей горизонталью поднимается вверх так, чтобы они оказались на линии т. . Множество горизонталей^ ...

образуют поверхность.

Другой пример задания непрерывно-топографической по — верхности. Допустим, имеем в профильной плоскости тс3 одно­

параметрическое семейство линий £ ..., а в плоскости ТГ2 -

распределяющую кривую т г (рис. 238). Осуществив распре­

деление линий £ ... по кривой гп. , получим поверхность профильных линий уровня.

Рис. 238 Рис. 239

Непрерывно-топографические поверхности в основном при­ меняются в самолето- и кораблестроении. При их задании конструкторам приходится решать задачу увязки двух или трех семейств линий уровня на одной поверхности. Иначе говоря, требуется сконструировать поверхность, которая не­ сет на себе три семейства (рис. 239):

149

1)сечения горизонтальными плоскостями (линии широт);

2)сечения фронтальными плоскостями (линии батоксов);

3)сечения профильными плоскостями (линии шпангоутов). При этом заранее накладываются некоторые требования

на форму линий широт, батоксов и шпангоутов.

При конструировании таких поверхностей возникают слож­ ные задачи увязки вышеупомянутых сечений так, чтобы бы - ли выдержаны все необходимые требования.

Введем понятия: 'поверхности одной серии' и 'поверхно­ сти разных серий'. Если две непрерывно-топографические по*- верхиости образованы распределением одного и того же се - мейства линий уровня, говорят, что это поверхности одной серии, а если они образованы распределением разных семейств линий уровня, —поверхности разных серий.

Пересечение непрерывно-топографических поверхностей. Теорема 1. Если две непрерывно-топографические поверх­

ности одной серии пересекаются, то они пересекаются по го­ ризонталям (фронталям, профильным линиям).

Доказательство. Допустим, имеем некоторое семейство линий £ f ..., заполняющих горизонтальную плоскость. Возь -

мем распределяющую линию rrz'^m' ). С помощью семейст­

150

линий которых является множество концентрических окруж - ностей р ... (рис. 241).

Зададимся распределяющей кривой т 7{тгг1' ; т ^7 ) . Рас —

честве распределяющей можно взять любую кривую, напри — мер I ( l r , 12 ) I которая также дает эту поверхность вра -

щения.

Если в качестве распределяющей взять линию /гг2, то она определит новую поверхность вращения.

Соосные поверхности вращения являются поверхностями одной серии. Из доказанной выше теоремы следует, что если соосные поверхности вращения пересекаются, то они пересекаются по параллелям.

Теорема 2. Линия пересечения двух непрерывно-топогра­ фических поверхностей разных серий строится методом вспо­ могательных плоскостей уровня.

Доказательство. Предположим, что имеем два непрерыв­ ных семейства горизонталей, заполняющих плоскость так,

что через каждую точку плоскости проходит пара горизонта­ лей каждого семейства (рис. 242).

151

проекции т 7 и т г которых совпадают: т f = Л7.. Тогда поверх­ ность Ф 1 получается путем распределения первого семейст­ ва горизонталей в пространстве с помола»» кривой tn '%

поверхность Ф 2 —распределением второго семейства гори-

152

Поверхности вращения с параллельными осями есть по - верхности разных серий. Если такие поверхности пересека — ются, то линия их пересечения строится с помощью вспомо­ гательных плоскостей уровня (рис. 243).

дианы поверхностей вращения. Для построения линии пересе­ чения этих поверхностей используем способ вспомогательных плоскостей уровня.

9 6. КЛЮЧЕВЫЕ МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

При перемещении линии в пространстве получается одно семейство линий поверхности. Второе семейство (линии хода) не всегда удобно для исследования поверхностей, за исклю­ чением решения задач, например, в поверхностях вращения, где оно представляет собой параллели. Поэтому пытаются

153

конструировать поверхности таким образом, чтобы можно было строить сразу два каркаса линий. Для решения этой задачи в промышленности, начиная с середины прошлого ве­ ка, применяются методы конструирования поверхностей, по - лучившие название ключевых.

Сформулируем несколько вполне очевидных вспомогатель­ ных предложений:

1. Если между двумя линиями связи вычерчены какие— либо опирающиеся на них кривые, то любую пару из них можно принять за проекции некоторой пространственной ли­ нии (рис, 244), Это объясняется тем, что между точками таких линий можно установить проекционную связь.

2. Любые два многоугольника, опирающиеся на данную си­ стему линий связи, можно принять за проекции некоторого пространственного многоугольника (он может оказаться и плоским) (рис. 245).

Пусть даны два треугольника (рис. 246), опирающиеся на некоторые линии связи. Очевидно, их можно принять за проекпри пространственного треугольника, ограничивающего от­ сек некоторой поверхности.

3. Чтобы задать йоверхность на данном контуре, доста­ точно задать три произвольных семейства, находящихся по контурам в проекционной связи. Или, иначе, можно задать произвольно две проекции одного семейства поверхности, находящихся по контуру в проекционной связи, и одну про - екцию второго семейства этой поверхности.

154