Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 1
A ( * i , y , > z t ) — A ' ( * L y U z l )
^ (x2>Уг>^г) |
*" & (xz’У2 >^2) |
С ( х З ? У з > z j ) |
*“ C ( X j , y J , 2 3) , |
Требуется до координатам заданных, точек найти коэффициен ты линейно-однородного преобразования.
Для нахождения коэффициентов первой строки необходимо в первое уравнение линейно-однородных преобразований под ставить координаты цервой, второй и третьей точек. В ре - зультате получим три уравнения:
я } = a }x y + t>jyf + c } z i;
Х2= а 1Х2+ |
2 + C/ ZZ ) |
|
х'3 = а , х 3 + 6fy 3 t c f z 3 , |
|
|
Решив эту систему уравнений относительно а 1% О, и сг , |
||
найдем коэффициенты первой строки преобразований. |
||
Аналогично система уравнений для второй строки преобра |
||
зований будет иметь вид |
|
|
у / = a2x f + bz y1 f C z Z l ; |
|
|
У 2 = а 2У г + b z y z + c z z z ; |
|
|
У 3 = а2х3+ ЬгУз +C2Z3 • |
|
|
По этим уравнениям находят коэффициенты а2 $ |
и С2 , |
|
Для третьей строки имеем |
|
|
z t —аз х 7 + &зУг +C3 Z 7 > |
|
|
Z2 = азх 2 + ^зУг + C3 Z 2 » |
|
|
г з ^ а з х з + 6зУ3 JrC3 z 3 . |
и с^ |
|
По этим уравнениям определяют коэффициенты |
||
третьей строки линейно-однородных преобразований.
Графический способ задания линейно-однопоиных преобразований
Линейно-однородные преобразования можно задавать тре мя парами соответственных точек. Это значит, что линейно
60
однородные преобразования можно задать двумя тетраэдра - ми с общей вершиной (рис. 75).
Допустим дана точка A4 . Графический способ построения
точки /И7, соответственной
точке АЛ , заключается в
следующем.
Отнесем точку АЛ к т ет - раедру ОАВС с помощью то чек A4 и М . Теперь поло -
жение точки АЛ характери -
зуется тремя числами (СМВ),
(АЛ4М), (ОММ ). Так как от
ношение трех точек в линейных преобразованиях сохраняет - ся, то положение точки М* будет характеризоваться такими жв по значению тремя числами:' (с'м'В1) , (а'М'/ИО» (O'ÂÂ'M'),
причем (СААЗ ) —(с'м'в'). Основываясь на этом положении,
можно построить точку М' . Далее проведем прямуюА'М' и
но второму отношению, т.е. (АЛАМ ) = (а‘м 'м ' ) , найдем точ —
ху М 1. Проведя прямую ОМ1, по третьему отношению опре -
делим положение точки АЛ' . Именно в такой последователь ности операций и заключается графический способ построе - ния соответственных точек.
Преобразование родства с двойной плоскостью
Преобразованием родства в пространстве называется пре образование с двойной плоскостью.
Чтобы задать двойную плоскость, необходимо взять два тетраэдра с обшей гранью (рис. 76). Пусть ОВС=- О'В С - двой
ная плоскость, где 0 ^ 0 ' , С=С' и В=В*. Докажем, что па
ры соответственных точек лежат на параллельных прямых.
Пусть точка АА отнесена к тетраедру ОAB С . Построим
51
точку М.' , соответственную М . Учитывая, что
ОМ |
ОМ |
__ CM |
AM |
|
0М' |
~ 0М' |
С М ' |
~ А'М> |
|
сделаем вывод, что |
ММ 'ЦлШ'Ц ММ1ЦАА1 , |
т.е. все пары |
||
|
|
соответственных точек ММ' , |
||
|
|
ММ1 ... лежат на параллель |
||
|
|
ных между собой линиях свя |
||
|
|
зи, так как порознь они па - |
||
|
|
раллельны АА1( /М —направ |
||
|
|
ление |
родства). |
|
|
|
Таким образом, родство в |
||
|
|
пространстве |
задается графи |
|
чески двойной плоскостью ОвС и парой родственных точек
М , /И'.
Итак, рассмотрен случай, как по заданной системе урав
нений линейно-однородных преобразований |
|
х' - агх + Ъ}у + cfz ‘ |
|
y r=а2х + b2y-tc2z ; |
( 6) |
найти точку М ' , соответственную /И .
Обратная задача; по точке ЛА‘ найти точку М . Для ре шения ее необходимо, чтобы определитель матрицы преобра зований (6) не был равен нулю;
А = |
bz ^2 7^ 0 * |
а 3 |
с з |
Если окажется, что А =0, то все точки пространства преобразуются в одну плоскость, и обратная задача не мо -
R9
x _f быть решена. Но для этого необходимо наличие линейно зависимых столбцов матрицы, столбцов с равными
или пропорциональны ми элементами, столб
цов, составленных из нулей. При этом воз - можны два случая
(пусть имеем исход |
- |
ную пространствен |
- |
|
Рис. 77 |
ную систему коорди |
- |
нат х у z , рис. 77): |
|
1)проецирующие лучи ( ММГ ...) параллельны между со бой (параллельная аксонометрия);
2)проецирующие лучи пересекаются в одной точке (цен тральная аксонометрия).
§2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть в декартовой системе координат х у г |
масштабные |
|||
единицы определены равенствами ОА = а , 08 - Ь |
и ОС=с . |
|||
Отнесем точкам А { а г О , 0 |
) г В |
((7 , Ь t 0 ) |
и С (О , 0 , с ), |
|
расположенным на осях х , у |
и г , |
в качестве |
соответствен - |
|
ных точки АҢ х ' , у ' , г ' ) , |
в ' { * 1 |
, у ^ , г 2 ) |
И с ' { х'3 , у'3 ,zj). |
|
Это даст возможность определить величины коэффициентов линейно—однородного преобразования:
х / = a fa + 6 f 0 i-cf 0 -
у' = aza + 6z0+ez0;
z f = а 3а + bj 0
или |
|
|
|
|
|
|
= У/ |
|
/ |
а |
= —г- |
а , |
z 1 |
|
1 |
а |
а |
|
а |
При а —1 получим координаты точки |
А' : |
|||
А ' ( а г * а г > * з ) ■
Аналогично для точек /9'и С ' будем иметь
* ' ( Л , b2 , h ) 1 ^ с / ( сп С 2 , с з ) -
Рассмотрим векторы 0д>, OB' и öS' • Если они окажутся ас одной плоскости, получим вырожденное линейное преобра зование. При этом столбцы коэффициентов матрицы преобра зования будут линейно зависимы, а это значит, что опреде литель матрицы преобразования равен нулю:
|
сt |
а Z |
Ь2 с 2 |
а з |
с з |
Условием расположения трех векторов в одной плоскос ти является равенство
ОА' = гг? OB' + tbOC'.
Если мы хотим, чтобы тетраэдру ОАВС соответствовала
плоскость О'А'В'С', необходимо, чтобы линейно-однородное преобразование задавалось так:
X ' = (гг7 Ь1 + ttC1) X + bty |
+ CjZ • |
У* = (?T7b2 + n.cz) X + Ь2у |
+ |
Z ' а ( т б з + / z c 3 ) x t b3 y |
+ c 3 z . |
Говорят, что линейное преобразование вида (7) дает кос ординатную линейную модель пространства.
Пример. Пусть в формулах линейно-однородного преобра зования второй и третий столбец коэффициентов заданы про извольно:
X ' = a f x +у + 2 z ; у ’ = аг х. + 2 у - г ъ
з ' = а 3х - у + Z .
54