Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Тогда, задавшись числами т и к , можно по формулам (7) подсчитать коэффициенты первого столбца матрицы.

Пусть w = 2 , /z= 1. Тогда получим преобразование, первы­ водящее пространство в плоскость:

<%' — 4х + у + 2 Z I

у ' — 2 х + 2 у - 2 2 ;

Возьмем какую-либо точку с координатами М ( 1,1,1),

Требуется определить координаты точки /И ' , соответствен ной /И .

По формулам (8) находим м ' (7,2,-1). Точка /И ' обязаг-

тельно лежит в плоскости векторов 0А' г 0ВГи ОС' ■ Легко показать, что эта плоскость не является двойной.

Полученная плоская координатная модель пространства не является ни параллельной, ни прямоугольной, ни централь­

ной аксонометрией. Такая координатная модель пространст — ва называется линейной аксонометрией. В линейной аксоно­ метрии прямая переходит в прямую, окружность - в эллипс и т.д. Направления проецирования в линейной аксонометрии не существует. Однако из линейной аксонометрии, как част­ ный случай, можно получить параллельную аксонометрию.

CC' { c t- 0 , сг - 0 , C3 - 1 } .

Теперь зададим линии связи коллинеарными, для чего необходимо условие пропорциональности координат векторов:

55

fs* 1s*

у= -

58

Легко проверить, что это преобразование удовлетворяет наличию двойной плоскости, поэтому можно записать урав - нение плоскости проекций ЭТ':

kz kf

А Я'*ТУ* z = О

или

к2 + к}У + Z = 0 .

Направление проецирования определяется вектором АА',

ВВ1или СС\ например, —вектором СС'. Тогда можно запи­

сать

п

А~

ярешить две задачи:

1)задать формулы преобразования и найти уравнение плоскости проекций и направление проепирования;

2)задать плоскость проекций, направление проѳцирова - ния и найти формулы преобразования.

Пример. Составить уравнения параллельных проекций на плоскость 5 л + 2у + 2 z = 0 по направлению вектораі^-І ,-т2,-4|.

Данный алгоритм дает возможность решать задачи по строения параллельных проекций с помощью ЭЦВМ.

37

8 3. МГНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНО-ОДНОРОДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Как известно, основное отличие движения от геометри — ческих преобразований заключается в том, что движение осуществляется непрерывно и параметры, характеризующие его, ведь..фуиилвт -времени, а длины отрезков сохраняются. Учитывая свойства непрерывности движения, облегчающие решение различных кинематических задач, введем понятие мгновенных преобразований, параметры которых изменяют — ся непрерывно и могут рассматриваться как функции време­ ни.

Комбинированное задание динейно-опнородных преобразо­ ваний. Пусть дано линейнооднородное преобразование

x'=afx +bfy +c,z ■

Предположим, что коэффициенты первых двух столбцов зада­ ны. Тогда для определения коэффициентов ст, с z и треть­

его столбца можно задать пару соответственных точек С ,

С г или какие-либо другие геометрические условия. В ре - зультате подучим комбинированное задание линейно-однород­ ных преобразований, в котором сочетаются как аналитичес­ кий, так и графический способы.

68

можно определить коэффициенты с , с „ , С-. третьего столбца.

Если теперь зафиксировать положение точки С , а точку С г непрерывно перемешать в пространстве по некоторой кри­

вой с ' , то получим бесчисленное множество пар соответст —

венных точек С , с'... (рис. 78).

Каждая такая пара определит ли­

нейно-однородное преобразование,

потому что по координатам ее

можно подсчитать коэффициенты

третьего столбца.

Следовательно, множеству пар точек С , С ' ... будет со - ответствовать непрерывное множество троек коэффициентов

cf ..., cz ..., Су..., а каждая тройка соответственных значе —

ний этих коэффициентов будет определять некоторое преобра­ зование Г. Очевидно, непрерывному множеству троек ( сг , С2,

) будет соответствовать непрерывное множество мгновен­ ных преобразований Г...

Пример мгновенных гтеобразовяний. Рассмотрим поверх - ность вращения (рис. 79).

Пусть она задана осью вращения

но, что проекции меридианов тг ...

иродственны, так как отно —

величина постоянная, зависящая от угла поворота ^ . При этом г — ось родства; M^MZ Lz^— направление родства;

Sc у - коэффициент родства.

59