Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
ным коглпонентом, в этом сыысле оказываются более устойчи выми, если, конечно, оэш главные компоненты вычислялись по наиболее важным независимым переменным. Например, в ста
тье П.Ф.Андруковича [ 4 ^ методом главных компонент была про изведена ортогонализации матрицы независимых переменных, затем коэффициенты регрессии вычислялись по всем главным компонентам и компоненты с незначимыми коэффициентами рег рессии отбрасывались.
§ 9 - 3 . |
Ф а к т о р н ы й |
|
|
а н а л и з |
|
|
|
|||||
Здесь выбирается небольшое число факторов, |
способных |
|||||||||||
" о б ъ я с н и т ь " |
корреляционную |
матрицу. Нужно |
найти |
|||||||||
м и н и м а л ь н о е |
ч и с л о |
|
таких'случайных |
вели |
||||||||
чин ( ф а к т о р о в ) |
X , |
1 |
|
I |
, после |
учета |
которых |
|||||
|
|
|
|
•м |
Ji |
|
J |
m. |
|
|
|
|
к о р р е л я ц и о н н а я |
м а т р и ц а |
х |
-перемен |
|||||||||
ных |
п р е в р а т и т с я |
в |
|
д и а г о н а л ь н у ю , |
||||||||
ляыми |
словами, это |
значит, что после учета-действия пг фак |
||||||||||
торов все |
корреляции, между х~переме«тадиэгоякны стать |
не |
||||||||||
значимыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О с н о в н а я |
м о д е |
л ъ |
|
факторного |
анализа |
за |
||||||
писывается |
следующей системой |
равенств |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
jj;—j |
|
-ft простой фактор; m . - заданное |
число |
простых |
|||||||
фактороЕ; |
Ь^- |
остаточный |
член с |
дисперсией |
< э 8 { Ь ) |
, дейст |
||||||
вующий только |
на хи, |
часто его |
называют специфическим фак |
|||||||||
тором. |
|
|
|
|
|
|
|
™*~ *"^~ |
|
|
в
- 2 5 5 -
Коэффициенты t^.^ называются нагрузкой с -й переменной на j -й фактор, иди нагрузкой J -го фактора на L -ю переме-
менную. Вначале ради простоты будем полагать, что факторы 4 j взаимно независимы. Далее предположим, что случайные
величины |
L. |
не |
зависят друг от друга, а также от всех фак- |
торов |
j |
= |
1,2,...,(П'.- |
Разработаны приемы, позволяющие определять минималь
ное число простых факторов, необходимое, для объяснения ко вариационной матрицы (подробнее см. [19]).
Дадим теперь представление об |
|
о с н о в н о й |
|
т е |
||||||
о р е м е |
факторного анализа. Допустим, что исходные пе |
|||||||||
ременные х 1 |
и хг |
имеют один простой фактор | . ; тогда |
лег |
|||||||
ко показать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
В общем случае, |
когда к. переменных имеют |
m простых |
||||||||
факторов, можно написать |
|
|
|
|
|
|||||
Ч |
|
*, **) - |
|
К *и Ч Л ^ • • • |
|
|
|
|||
Это основное соотношение факторного анализа показыва |
||||||||||
ет, что |
|
к о э ф ф и ц и е н т |
к о р р е л я ц и и |
|
||||||
л ю б ы х |
|
д в у х |
н е з а в и с и м ы х |
п е р е м е н |
||||||
н ы х |
м о ж н о |
|
в ы р а з и т ь |
с у м м о й |
н р о - |
|||||
и з в е д е н и й |
|
н а г р у з о к |
н е к о р р е л и |
|||||||
р о в а н н ы х |
ф а к т о р о в ; |
|
|
|
|
|||||
Построим матрицу F 0 размерности |
( KTtnv) из "строк, |
эле |
||||||||
ментами которой служат нагрузки на факторы. Какая-нибудь, |
||||||||||
скажем, |
t |
-я |
строка будет вметаьввд |
|
|
|
|
-2 о 6 -
то г д а в матричной форме основная теорема запишется
так: |
Я = ¥ 0 |
Т0 Т . |
|
оо
З а д а ч а ' ф а к т о р н о г о |
а н а л и з а , |
к а к |
|||
м ы |
в и д и м , з а к л ю ч а е т с я |
в л и . н е й - |
|||
н о м |
п р е о б р а з о в а н и и |
К. - м е р н о г о ' |
|||
п р о с т р а н с т в а |
в т - м е ^ н о е . |
|
|||
Ее нельзя решить однозначно. Представление корреляци |
|||||
онной матрицы факторами, |
как говорят, ее факторизацию, мож |
||||
но произвести бесконечно |
большим числом различных |
способог. |
Если нам удалось произвести факторизацию с помощью некото
рой матрицы |
F 0 , то любое |
ее линейное ортогональное преоб |
||
разование (ортогональное |
вращение) приведет к такой же |
|||
факторизации. |
|
|
|
|
Может случиться, что первая факторизация окажется не |
||||
благоприятной, т . е . трудно поддающейся интерпретации. |
Тог |
|||
да исследователь может,начать "вращать" факторы. Он шлет |
||||
это дехать до тех пор, |
пока не получит результаты, легко |
|||
поддающиеся физической |
интерпретации. |
|
||
Проиллюстрируем основную идею факторного анализа п р и - |
||||
м е р о м, в |
котором его применили к 'задаче .металловедения |
|||
[ 2 0 ] . .Там была сделана |
попытка изучить взаимную связь |
шес |
ти показателей, характеризующих механические свойства метал
ла: |
Н в ~ твердость по Бринелю; 6 ^ - прочность на разрыв; |
• 6 Т |
- предел текучести; у - относительное сужение; S- от - |
т |
- 2 5 7 - |
носительяое удлинение, об ^ - ударная вязкость;
Изучению подвергалась выборка из 79 сортов сильно ле
гированных сталей. На основании статистического анализа,-
на деталях которого до здесь останавливаться не будем, бы
ло показано, что результата можно представить двумя факто
рами.
Далее выяснилось, что переменные 6 д ж <&t линайно-за- висаш, и поэтому одна из них - 6 Д - бела в дальне8ивм| •
опущена.
Ф а к т о р I
Ф А К Т О Р 1
Рио.9.2
Па рис.9.2 в координатной системе, задаваемой двумя
факторами, исходные переменные представлены 5 векторами.
Координаты конца каждого вектора задаются нагрузками соот
ветствующих переменных на факторе.
Из рис.9.2 следует, что переменные естественно представлять не прямоугольными, а косоугольными (коррвлировая-
ннш) факторами (рио.9.3)^
В результате проведения факторного анализа были одела-
-2 3 6 -
шследующие выводы; Векторн-лризнаки группируются по на
правлению в два пучка, которые выражают прочностные ( Н в . 6 Т ) и пластические ( Y , <**к) свойства металлов."
Рис.9.3
Интересно отметить, что вектор признака о*" обратен по на правлению векторам пучка, выражающим свойство прочности.
Отсюда авторы делают вывод, что это веское основание считать^ о* характеристикой' разупрочнения," вопреки принятой сейчас ее трактовки как характеристики пластичности.
Этот пример служит хорошей иллюстрацией того, что пред
ставление результатов методом факторного анализа позволяет •исследователю лучше осмыслить материал, чем представление,
задаваемое в терминах обычной парной корреляции.
В.заключение напомним еще раз, что как метод главных
компонент, так и метод факторного анализа - это лишь мето
ды, еонованные |
на линейных моделях |
и нормальном |
законе |
||
распределения. |
' |
~ |
" |
•—~ |
- |
|
|
- |
2 3 9 - |
|
|
|
§ 9 - 4 . Д и с к р и м и н а н т н ы й |
а н а л и з |
|||||
КовариачЕОннке тдатркцы используются и в |
задачах |
д и- |
||||
с к р и м и н а ц и и , |
когда выборку, |
задаваемую многомер |
||||
ным вектором |
наблюдений |
х?= |
( х , , х г |
, x j |
^ , надо |
от |
нести к одной |
из К -мерных нормально распределенных гене- |
,ральных совокупностей. Напомним, что в одномерном случае • параметры нормального распределения задаются двумя скаляр-
кши величинами - иагештическим ожиданием ш деспероией» В многомерном случае первым параметром служит вектор ма-
тематических ожиданий j x , вторим - ковариационная матри ца I .
5-дачи такого рода встречаются повседневно. Простей ший пример подобных задач ? диокримкаалия по результатам призмных экзаменов или любой другой системы тестов. Каж
дый абитуриент характеризуется вектором значений экзамена
ционных или тестовых оценок. Этот вектор надо отнеота к одной из двух генеральных совокупностей. Второй пример -
медицинская диагностика, где пациент опять-таки характери зуется многомерным вектором признаков и т.д.
Возможна и иная постановка задачи - к л а с с и ф и
к а ц и я . В этом случае, имея множество наблюдений, за
данных шогомерными векторами, нужно разбить их на группы
так, чтобы была достигнута максимальная однородность
внутри групп и минимальная - между группами. Такие задачи• решаются методом кластеранализа. Так,например, в биологи ческих или медицинских исследованиях можно поотавить зада-