Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,54Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

есновного этапа - этапа сглаживания.

§ 1 0 - 2 . М е т о д			э к с п о н е н ц и а л ь н о г о
			с г л а ж и в а н и я
Пусть	имеется ряд		значений	^	vj,^ , наблю
денных на	интервале	времени Т		с интервалом дискретно
сти д"Ь ,	так что	Т	=* ( - hl - A)	д"Ь.

Искомая модель	задана	в виде полинома		степени	п,;
коэффициенты которого а о ,		о ^ , . . . , а Л		неизвестны.
Для получения	опенок	неизвестных		коэффициентов
естественно брать взвешенные значения наблюдений					i j ^ ,
К = 4 , 2 . , 3 , . . . ,	J f .	, причем веса	t J ^ убывают		соот

ветственно возрасту наблюдений.

Взвёшгаание наблюдений позволяет корректировать доэф-

фшхиенты подели по мере поступления новых данных ; при

этом давние наблюдения как бы "забываются", так как их

вклад в•коррекцию пропорционален их весу.

Для получения искомых оценок используется процедура,

называемая сглаживанием.


О п е р а т о р		п р о с т о г о		э к с п о н е н
ц и а л ь н о г о			с г л а ж и в а н и я
Предположим,	что моделью процесса можне считать пос
тоянную величину	§	= а,	. Так как" наблюдения включают в

себя шум, то выражение для текущего Ч. -го наблюдения име

ет вид:

v a * v

- 2 Л 8 -

Для оценки о. можно использовать метод скользящегосреднего. Согласно этому методу, среднее из наблюде нии рвзно

* ь !	я	= т ы * —	( 1 0 - г )
•	Отсюда видно, что для внчисления скользящего		среднего
необходимо сохранять		большое количество информация ( J f - I

последних данных).

Для сокращения необходимого объема информации можно

вместо Л воспользоваться оценкой этой величины

. Подставив в выражение	( 1 0 . 2 )	вместо действительно из
меренного значения ^ ^	величину	^ , получим


Из этой формула следует, что для					вычисления	С ^ ( ^		)
требуется	сохранение только		величины. Ц ^ .
Величину		( ^ ) , вычисленную			по формуле	( 1 0 . 3 ) ,
называют сглаженным значением текущего наблюдения							^ .
Коэффициент —у		обозначают	через	оС	и называют		постоян-
ной сглаживания. Процедура			вычисления		по формуле (10 . 3) на
зывается	с г л а ж и в а н и е м .			Сглаженное		значение		и ,
выраженное через		oL , имеет	вид:

-ZkS-

щ е	^ ^ ( . ^ J -		отека среднего	значения ^	, вы
щ е
численная на основании нового измеренного значения ;
	C ^ f « j j	-	предадущая ооэнка	^ .
	Если вместо аредндущей сглаженной величины
и о д с т а А		ей выражение через еще более ранние величины, то
получим

C k l V ) - ^ i l	* ( < - ^ [ ^ * t < - ^ ) C 1			b	. i l	( i i ) ] -
ы		i	к.
i - f l 4		7 * " *	-	7	»	(10.5)
Отсюда видно,	что функция		( ^ я в л я е т с я			линейной комби-

напией всех прошлых каблхщеянш значений. Веса, прнписнваемае этим значениям, уменьшаются с "возрастом" данных.

Операция, производимая над любым рядом данных согласно формуле ( 1 0 . 4 ) , называется экспоненциальным сглаживанием. Осуществляя в правой части выражения (10,5) предельный пе

реход, получим оператор экспоненция тгыгого сглаживания в интегральной форме:

йз этого соотношения становится ясным смысл названия мето-

С р а в н е н и е м е т о д а		п р о с т о г о
э к с п о н е н ц и а л ь н о г о		с г л а ж и
в а н и я с м е т о д о м	с к о л ь з я щ е г о
с р е д н	е г	о

Для сравнения этих методов введем понятие "среднего

возраста данных".

В методе скользящего среднего "возраст" текущего наб

людения принимается равным нули, предыдущего наблюдения -

- единице и т . д . , тогда "средний возраст** данных равен

- _ О-М + гч- • •.		_ Н- 1
f "	Я	~ г

В методе экспоненциального сглаживания вес значения,

наблюденного а- интервалов тому назад, равен «С( <-d.)^y

и "средний возраст" данных запишется так:

J0.=, О-eL + i d . (!-<*.)+ Zdi (t-ot)*+... -

4-о<-

- * | | ^ 4 k - * - t ) J t - 1 ^ „ f

Методы экспоненциального сглаживания и скользящего среднего будут эквивалентны в смысле ошибки предсказания, если "средний возраст" наблюденных значений в этих систе мах одинаков, т . е .

251 —

1-е*,	я	- 1	,	г
_ =	_	и л и		•	(10.6)

При выполнении условия (10 . 6) дисперсии предсказания

обоих методов равна.

Оценим суммарный вес W последних 3\ наблюденных

значений при экспоненциальном сглаживании с постоянной сглаживания, удовлетворяющей условию (10.6), которое можно

преобразовать к виду

\-*.-±±.

Я +1

Тогда суммарный вес W равен

~ i-lj	=1-0,155		(для J / M O ) ,
т . е . при Я	>	10 последним Н		наблюденным значениям при
надлежат около		87% веса.
О п е р а т о р м н о г о к р а т н о г о					э к с
п о н е	н циа л ь н о г о			с г л а ж и в а н и я