Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-2 4 0 -

чу разбиения множества подобных вдтд5вддуумов на достаточ­

но однородные группы. Впрочем, в литературе не всегда с о ­ храняется четкое разграничение в терминологии; часто те задачи, которые мы отнесли к даскригяинантному анализу, на­ зывают также задачами классификации.

Чтобы дать некоторое представление о даюкриминаятном . анализе, рассмотрим лишь одну модель дискршдинации, в к о ­

торой используются байесовские представления. Допустим на­

личие всего

двух генеральных

совокупностей JC и

JC

с

плотностями

вероятностей

( х

)

и

р ^ ( э с ) .

Далее,

пусть

известны априорные вероятности

Ч

и

q. того,

что

наблюде-

пае ведется над индивидуумом, на пршадлежащим соответст­

венно

совокупностям ЗГ, и

JT^ .Наша задача заключается

в том,

чтобы

разделить

область

возможных результатов

эксперимен­

та на

две

подобласти

и

0г ,

соответствующие

двум

сово­

купностям

ЗГ и

.

 

 

 

 

 

 

Из теоремы

Байеса следует,

что условная

вероятность

ч

что

 

 

 

 

•

 

 

(при

того,

наблюдение проведено над совокупностью РГ

условии,

что результаты

заданы вектором х ) ,

равна

 

Вероятность неправильной дискриминации будет минималь­ на тогда, когда мы выберем ту генеральную совокупность, ко­ торой соответствует наибольшая условная вероятность. Гипотеза о принадлежности выборки х к совокупности Зц будет принята, если •*

241

Следовательно, прявкло гфинятия ряяннин задается соотно— гошинми

а *

* 4 t M * f c

( 9 . 4 )

Допустим теперь, что ив нмвви дело о двумя многомер­ ными нормальными функциями расдределвния: имевшими одну и ту аю иаымцтыур нам кшцриациоаную иятрипу L и отличаю­ щимися, следовательно, только своими шюештичбсяпйГЗДи— даниями, и р ^ . Тогда после преобразований правило ( 9 . 4 )

принятия ринвнии прявмвт вид

В частном случае, когда k • I , С а к * 0 . решение о

принадлежности внборки к совокупности 7Г, будет задаваться верах,евствии

Левая часть неравенства - это ддакриминантная функция. Она представляет собой лилейную функции результатов наблю­ дения

Это есть (Ъ.-1)-мервая гиперплоскость, разбивающая V. -мер-

ное пространство

на две части С^и 0 .^ .

Рассмотрим теперь поведение случайной величины

и - Г С ( V

1 ( j i ^ j t J T L " ( f t - ^ ,

значением которой определяется принятие одной из гипотез

3U, или

Здесь нужно найти две функции распределения:

одну, когда

х

принадлежит

к I t , , другую - к

Обозна­

чим через и,, и

и г случайные

величины, соответствующие этим

функциям распределения. Простые вычисления показывают, что

где

Эта величина называется "расстоянием" между двумя совокуп­ ностями Х п и 3 ^ . Поясним геометрический смысл этой вели­ чины на рис.9.4.

- • 7 0 I

О

С

l o t

 

Рис.9.4

 

№ видим, что центры двух

обсуждаемых функций распределе­

ния расположены симметрично относительно начала отсчета и находятся от неге на расстоянии ^-аС . Вероятности двух

- 2 4 2 > -

возможных ошибочных решений задастся двумя заштрихованны-

ш площадями под крыльями распределений

(в одной случае

это площадь под кривой в интервале от -

ею до с , в дру­

гом - от с до + оо , где с » i i v K . ) i

 

Из вышеизложенного следует, что в многомерных задачах результаты диокримантного анализа сложным образом зависят от обоих параметров функции распределения - вектора мате­

матических ожиданий я ковариационной матрицы.

К О М М Е Н Т А Р И И

Метод главных компонент имеет уже семидесятилетнею., ис­

торию: он был предложен еще в 1901 г. Пирсоном и позднее вновь открыт и детально разработан Хотеллингом в 1933 году.

Столь же давнюю историю имеет и факторный анализ . Эти ме­

тоды хорошо изучены с

теоретических позиций (см.например,

книги Т.Андерсона [ з ] ,

Д.Лоули в А.Максвелла [ 1 9 ] , С.Р.Рао

[ 2 9 ] . СУилкса [ э ф ,

но имеют совсем малое применение.

Объясняется это прежде всего тем, что природа надежно ох- - раняет свен тайны. Чтобы проникнуть в них, надо ставить или активный эксперимент, иди научиться их отгадывать. Фактор­ ный анализ и метод главных компонент служат лишь средства­ ми, облегчающими отгадывание". В последнее время появились

работы, призывающие применять эти метода в качестве вспомо­ гательных приемов в самых развхх>бразных.задачах (см.книгу

В § 9 -4 изложена лишь простейшая модель дискриминация.

— 2 М -

Желчггдгм познакомиться с

двскриминантншл анализом б о ­

лее; подробно, рекомендуем обратиться к обзору, составлен-.

нет ВЛЗ»Урбахои [ 3 7 ] . Здесь

содержится библиография работ

но довслхтаавЕШТНоцу анализу,

включающая около 500 наиме­

нований, зга них на русском языке — 32 .

Г Л А ВА X

ПРОгаОЗИРОВАНЙЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

§ I O - I . В в о д н а в з а м е ч а н и я и п о с ­ т а н о в к а з а д а ч и

ГЛногие задачи науки и техники связана с процессами,

которые можно представить как семейство случайных величин

(случайный процесс) на некотором интервале

времени

Т .

Значение процесса

^ в каждый момент *Ь

является

случай­

ной величиной. Такие процессы называются

в р е м е н н ы ­

м и р я д а м и .

Примерами временных рядов служат:, на­

пряжение в цепи в течение некоторого промежутка времени, высота волны в море.

Временные ряды возникают также при наложении случайных

флуктуации на систематическую (регулярную) составляющую.

Разработаны различные методы анализа временных рядов. Многие из этих методов созданы для оценки регулири->* сос­

тавляющей, возникающей во временных рядах при "усреднении", в более или менее эмпирическом-смысле, случайных флуктуа­ ции. Ниже мы познакомимся с задачей прогнозирования вре­ менных рядов в следующей постановке:

Имеется последовательность наблюдений • -

где Is к, - регулярная (систематическая) составляющая

 

 

 

 

 

 

- 2 , 4 6 -

 

 

 

изучаемого процесса ;

С ^

- аддитивная

случайная

помеха,

имеющая нормальный закон распределения с

нулевым средним

и дисперсией 6*{сУ; К - номер замера (наблюдения).

 

 

Условимся

называть регулярную

составляющую "§ ^

м о ­

д е л ь ю

процесса.

 

 

 

 

 

 

Чаще всего модель процесса представляют в виде по­

линома порядка

я. :

 

 

 

'

 

 

 

5

k

Н

i\

 

 

 

 

(юл)

Кроме полиномиальных возможны и другие виды моделей,

например,

экспоненциальные

или тригонометрические.

 

 

 

Задача прогнозирования состоит в предсказании значе­

ния

ц.

, отстоящего на

ж. шагов от последнего наблю-

денного значения

 

. Эта

задача

включает несколько

эта­

пов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 . Выбор интервала дискретности наблюдений

и интер­

вале

наблюдения

Т .

 

 

 

 

 

 

 

2 . Выбор модели процесса, т . е . определение характера

изменения регулярной

составляющей Tg ,

 

 

 

 

3 . Вычисление оценок коэффициентов модели по значени­

ям

1^, ,

наблюденным на интервале

Т с

дискретностью

A " t

(эта процедура называется сглаживанием).

 

 

 

4 . Использование полученной модели для предсказания

значения

ц,.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 . Оценка точности предсказания.

 

 

 

 

Подробное

рассмотрение

задачи

прогнозирования

начнём с

Смотрите также файлы