Файл: Козловский Ю.Г. Черчение учеб. пособие для слушателей подгот. отд. высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Плоскость, определяемая проецирующими лучами Аа' и Ла, перпендикулярна как к плоскости проекций V, так и к плоскости

проекций

Н (ибо она

содержит перпендикуляры

к

этим

плоскос­

тям), а

следовательно,

она

перпендикулярна

и

к

линии

их пере­

сечения

X

(оси

проекций). Эта плоскость пересекает ось

проекций

X в точке

ах,

причем

а'ах±аах.

а проекции

некоторой

Значит

фронтальная а'

и горизонтальная

точки А, находящейся в пространстве, находятся на двух перпен­

дикулярах а'ах

и аах,

пересекающих ось проекций

X

в

одной и

той же

точке

ах.

 

 

 

вокруг

оси

проекций

Теперь, повернув плоскость проекций Н

X на угол 90° до совмещения с плоскостью проекций V, получим

изображение, называемое эпюром точки в системе

 

(рис. 75). Но

так как плоскости вообще, в том числе и плоскости

проекций,

безграничны, то линии

их ограничения

не

проводятся

и

эпюр не-

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

которой

точки

А

в системе -ту — это

изображение,

приведенное

на рис.

76.

 

эпюром называется

 

 

 

 

 

Следовательно,

изображение,

полученное в

результате совмещения плоскостей проекций поворотом горизон­

тальной плоскости

проекций вокруг

оси проекций на

угол 90°.

На эпюре а'ах — расстояние

точки

А от плоскости

проекций Н,

а аах — расстояние

точки А от

плоскости проекций

V.

 

 

Проекции точки на три плоскости проекций

 

 

На

рис. 77

система

 

дополнена

третьей плоскостью — плос­

костью W, перпендикулярной и к плоскости V, и к плоскости Н.

Образовалась

система

из

трех

взаимно перпендикулярных

плоско­

стей

проекций — система

V,

Н,

W

(W — профильная

плоскость

проекций).

V, Н,

W взаимно пересекаются по прямым X,

Y, Z —

Плоскости

осям проекций. Точка

О — точка пересечения осей проекций.

Внутрь трехгранного угла, образованного взаимно перпендику­

лярными плоскостями

проекций

V, Н и W, помещена

некоторая

точка А. Проведя из нее перпендикуляры к плоскостям проекций до пересечения с ними, получим проекции точки А на три плоскости проекций, а" — профильная проекция точки А.

Теперь, повернув плоскость проекций Н вокруг оси X и плос­ кость проекций W вокруг оси Z на угол 90е до совмещения с плос­ костью V, получим эпюр точки А в системе V, Н, W (рис. 78).

При совмещении плоскостей проекций Н и W с плоскостью V ось Y как бы раздвоилась — она «ушла» вниз с плоскостью Н и впра­

во

с

плоскостью W — на эпюре это выразилось появлением осей

Y

и

Yi. >

На эпюре фронтальная и горизонтальная проекции любой точки всегда находятся на одном перпендикуляре к оси X, а фронтальная и профильная проекции — на одном перпендикуляре к оси Z. Эти

перпендикуляры называются линиями связи. Кроме этого, про­ фильная проекция точки всегда находится на таком же расстоянии от оси Z, как и горизонтальная от оси X . Поэтому, имея две проекции

какой-либо точки,

легко можно построить третью.

 

 

 

Система

прямоугольных координат

Координатами

точки

называются

числа,

выражающие ее рас­

стояние от трех взаимно перпендикулярных

плоскостей — плоскос­

тей координат.

 

 

 

 

 

 

На

рис.

79 показано

построение

точки

Л

по ее координатам:

А (х,

у,

г).

Оси X, Y, Z — оси координат;

точка О — начало коор­

динат;

х — абсцисса точки А (расстояние

ее от плоскости W); у —

ордината точки А (расстояние ее от плоскости

V); z — аппликата

точки

А (расстояние ее от плоскости

Н).

 

 

 

. Легко видеть, что точка а — горизонтальная

проекция точки А.

Для того чтобы построить фронтальную и профильную проекции точки А, положение которой в пространстве определено координа­ тами х, у, г, надо восстановить перпендикуляры из этой точки к плоскостям V и W (рис. 80) и пересечения их с плоскостями V и W дадут'фронтальную и профильную проекции точки А. Изображен­ ный на рис. 80 параллелепипед называется параллелепипедом координат. Из чертежа" видно, что фронтальная проекция точки определяется абсциссой и аппликатой (х и г), горизонтальная — аб­ сциссой и ординатой (л; и у) и профильная — ординатой и апплика­ той (у и г). Таким образом, зная координаты точки и принимая

плоскости

и оси координат за плоскости

и оси проекций, можно

построить

эпюр

этой

точки.

 

 

Построение

эпюра

точки А в системе

по

ее координатам:

Л (5;

3; 2) дано

на

рис. 81. Точка О — начало

координат, или

точка

пересечения

осей проекций.

 

 

Проекции прямой линии

На рис. 82 изображен отрезок прямой А В в пространстве и его эпюр в системе V, Н, W. Концы изображенного отрезка находятся на разных расстояниях от плоскостей проекций — прямая не парал­ лельна ни одной из плоскостей проекций. Такая прямая называет­ ся прямой общего положения. Очевидно, что каждая проекция отрез­ ка прямой общего положения меньше его истинной величины:

а'Ь' < АВ;

аЬ<АВ и а"Ъ" < АВ. '

 

Если прямая параллельна какой-либо

плоскости

проекций,

это — прямая частного

положения.

 

 

Отрезок прямой CD

в

пространстве и

его эпюр

в системе

V

 

 

 

 

-тг показан на рис. 83.

Отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций CD || Я . Такая прямая называется горизонтальной. Следует обратить внима­ ние на то, что фронтальная проекция с'а" горизонтальной прямой

всегда параллельна

оси

X,

а горизонтальная

равна

истинной

величине

отрезка (cd =

CD).

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 84 изображен отрезок прямой EF, параллельной фрон.

тальной

плоскости

проекций

EF \\ V, и его эпюр

в системе .

Такая прямая называется фронтальной прямой.

 

Горизонтальная

проекция фронтальной прямой всегда параллельна

 

оси X,

а фрон­

тальная

равна истинной величине отрезка (e'f

=

EF).

 

 

 

Отрезок прямой GH, параллельной профильной плоскости про­

екций GH || W, и его эпюр в системе V, Я, W показан

на

рис.

85.

Такая прямая называется

профильной прямой. Ее профильная про­

екция равна истинной величине отрезка (g"h"

=

GH).

 

 

 

На рис. 86 даны эпюры отрезков: АВ ± Я,

CD ±

V, EF ±

W.

Прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций,

называют

про­

ецирующими: А В — горизонтально

проецирующая

прямая, CD —

фронтально проецирующая прямая,

EF — профильно

проецирую­

щая прямая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение проекций точек, принадлежащих профильной прямой

Недостающую проекцию точки, принадлежащей профильной прямой, можно построить двумя способами:

1)при помощи профильных проекций (рис. 87);

2)пропорциональным делением (рис. 88).

На рис. 87 и 88 заданы фронтальные проекции с' точки С, при­ надлежащей профильной прямой А В. В первом случае ее горизон­ тальная проекция построена при помощи профильных проекций прямой и точки, во втором горизонтальная проекция отрезка А В разделена в том же отношении, в каком фронтальная проекция его делится фронтальной проекцией с' точки С (на том основании, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций — см. параграф «Параллельная проекция и ее свойства»).

Определение угла между

прямей и плоскостями проекций

и истинной

величины отрезка

Из курса стереометрии известно, что углом между прямой и плос­ костью проекций называается угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

На рис. 89 изображена в пространстве некоторая плоскость про­ екций Р и отрезок прямой АВ. ар Ър — проекция отрезка АВ на плоскость Р\а — угол между отрезком АВ и плоскостью проекций Р.

Проведя АК параллельно арЬр, видно, что угол а может быть определен из прямоугольного треугольника АВК, один катет кото­ рого— проекция прямой на эту плоскость (АК, = арЬр), а вто-

рой — разность

расстояний

концов отрезка от

данной плоскости

проекций (ВК

= ВЬр— Аар).

угол между пря­

Следовательно, чтобы определить на эпюре

мой и плоскостью проекций

Н (угол а), надо

на горизонтальной

проекции этой прямой, как на катете (рис. 90), построить пря­

моугольный треугольник,

вторым

катетом которого

должен

быть

отрезок ЬВ0, равный разности

расстояний концов отрезка АВ от

плоскости Н

фВ0 = Ь'1 = b'bx

— a'ax).

При этом гипотенуза

аВ0

построенного

треугольника — истинная

величина

отрезка

АВ.

 

Аналогично для нахождения угла между прямой и плоскостью

проекций V (угла Р) следует

на

фронтальной

проекции

прямой,

как на

катете

 

(рис. 91),

построить

прямоугольный

треугольник,

вторым

катетом

которого

должна

быть разность

расстояний

кон­

цов отрезка от

плоскости

V (а'А0 — Ь2 = ЬЬХ —

аах).

 

 

 

Гипотенуза

Ь'Ао построенного

треугольника — истинная вели­

чина отрезка АВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимное

положение

двух прямых

 

 

 

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересе­

каться

(иметь

 

общую точку)

или

 

скрещиваться.

 

 

 

Из свойств параллельных проекций следует, что проекции

двух

параллельных прямых на все три плоскости проекций всегда па­ раллельны между собой. И наоборот, если проекции двух прямых на все три плоскости проекций попарно параллельны между собой,

то

эти прямые параллельны.

 

 

 

 

О

параллельности

в пространстве

двух прямых

можно судить

 

 

 

 

 

 

 

V

и

по

параллельности

их

одноименных

проекции

в

системе

кроме

случая, когда

эти

прямые — профильные.

 

 

 

Изображенные на рис. 92 профильные прямые

не

параллельны,

 

 

 

 

 

V

 

 

хотя их одноименные проекции в системе -jj- попарно

параллельны.

Для того чтобы судить о взаимном положении профильных прямых, необходимо построить их профильные проекции. Если они окажут­ ся параллельными друг другу, прямые параллельны, если не парал­ лельными, прямые скрещиваются.

На рис. 93 показаны две пересекающиеся прямые, на рис. 94 — скрещивающиеся.

У пересекающихся прямых точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии связи; это — точка, общая для этих прямых (точка пересечения), у скрещивающихся — точки пересе­ чения одноименных проекций не лежат на одной линии связи. Точ­ ка пересечения проекций двух скрещивающихся прямых — про­ екция двух точек А и В.

Если

же

одна из заданных прямых — профильная (рис. 95),

то

несмотря

на

то, что их одноименные проекции в системе -гт

пе-

3 Черчение

65

Смотрите также файлы