Файл: Козловский Ю.Г. Черчение учеб. пособие для слушателей подгот. отд. высш. техн. учеб. заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 2
ресекаются и точки их пересечения лежат на одной линии связи, делать вывод о их взаимном положении в пространстве (пересе каются или скрещиваются) нельзя без построения профильных проекций. Изображенные на рис. 95 прямые скрещиваются.
О проекциях плоских углов
Известно, что плоский угол проецируется на плоскость проек ций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости (теорема о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами).
Плоский же прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину даже в том случае, когда только одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.
Докажем эту теорему. На рис. 96: Р — некоторая плоскость про
екций; Z ABC — прямой, причем ВС параллельна Р; ЬРср—проек |
|
ция |
стороны ВС на плоскость Р; К — точка пересечения стороны |
АВ |
с плоскостью Р. |
Из условия параллельности стороны ВС плоскости Р следует, что ЬрСр параллельна ВС. Проведем из точки К прямую KL, парал
лельную ЬрСр. Она также будет параллельна |
и ВС. Следовательно, |
|
угол BKL — прямой (на основании теоремы |
о трех |
перпендику |
лярах), а поэтому — прямой и угол сРЬРК, |
что и |
требовалось |
доказать. |
|
|
Изображенный на эпюре (рис. 97) угол FKL — прямой, так как одна его сторона — KL параллельна плоскости проекций V и фрон тальная проекция угла, т. е. проекция на ту плоскость, которой параллельна сторона KL, — прямой угол.
Способы задания плоскости на эпюре
Аналогично способам задания плоскости, известным из курса стереометрии, плоскость на эпюре может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями прямой и точки вне ее; проекциями двух пересекающихся прямых; проекция ми двух параллельных прямых (рис. 98).
|
Кроме этого, плоскость может быть задана проекциями любой |
||||||
плоской |
фигуры (треугольника, круга, квадрата и т.п.), а также |
||||||
ее |
следами. |
|
|
|
|
||
|
На рис. 99 внутри трехгранного угла, |
образованного плоскос |
|||||
тями |
проекций V, |
Н и W, |
помещена |
некоторая плоскость Р, ко |
|||
торая |
пересекает плоскости |
проекций |
по |
прямым, обозначенным |
|||
Pv, Рн, Pw- Эти прямые называются |
следами плоскости: |
||||||
Pv — фронтальный |
след плоскости; |
|
|
||||
Рн — горизонтальный след |
плоскости; |
|
|
||||
Pw — профильный |
след плоскости; |
|
|
||||
Рк, |
Ру, |
Рг — точки |
схода следов. |
|
|
||
з* |
• |
67 |
На рис. 100 и 101 приведены эпюры плоскости Р, заданной следами, в системе V, Н, W и - ~ .
Необходимо обратить внимание на то, что фронтальная проек ция фронтального следа плоскости совпадает с самим следом, гори
зонтальная проекция его совпадает с |
осью X, а |
профильная — |
||
с осью Z; горизонтальная |
проекция горизонтального |
следа — с |
са |
|
мим следом, фронтальная |
— с осью X, |
а профильная — с осью |
Y\ |
|
профильная проекция профильного следа — с самим следом, фрон тальная — с осью Z, а горизонтальная — с осью Y.
Задание на эпюре плоскости ее следами не является принципи ально новым способом — это частный случай задания плоскости двумя пересекающимися прямыми, которыми являются прямые пересечения плоскости с плоскостями проекций.
Характерные положения плоскости относительно плоскостей проекций
Изображенная на рис. 99 плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Такая плоскость называется плоскостью
общего положения.
Плоскости, перпендикулярные к одной или двум плоскостям про екций, называются плоскостями частного положения.
На рис. 102 показана плоскость, перпендикулярная к горизон тальной плоскости проекций. Такие плоскости называются гори' зонтально проецирующими. На рис. 103 приведены эпюры горизон тально проецирующих плоскостей, заданных следами, плоской фи гурой — треугольником и двумя параллельными прямыми.
Плоскости, перпендикулярные к фронтальной плоскости проек ций, называются фронтально проецирующими (рис. 104). Эпюры фронтально проецирующих плоскостей, заданных следами, треуголь ником и двумя пересекающимися прямыми, приведены на рис. 105.
Плоскости, перпендикулярные к профильной плоскости проек ций, называются профильно проецирующими (рис. 106). На рис. 107 приведены эпюры профильно проецирующих плоскостей, заданных следами и'треугольником.
Плоскости, перпендикулярные к фронтальной и профильной плос костям проекций, т. е. параллельные горизонтальной плоскости проекций, называются горизонтальными (рис. 108). Эпюры горизон тальных плоскостей показаны на рис. 109.
Плоскости, перпендикулярные к горизонтальной и профильной плоскостям проекций, т. е. параллельные фронтальной плоскости проекций, называются фронтальными (рис. 110). Эпюры фронталь ных плоскостей приведены на рис. 111.
Плоскости, перпендикулярные к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, т. е. параллельные профильной плоскости проекций — это профильные плоскости (рис. 112). Эпюры профиль ных плоскостей приведены на рис. 113.
УІ
Рис. І07~ |
У |
У
Рис. 108
к' Ґ
р - |
f |
ь' |
О |
||
X |
1/7> |
|
^ ^ ^ ^ |
||
/ |
|
|
Рис. 109
У
Рис. ПО
Очевидно, что плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций, следа на этой плоскости иметь не может.
Прямая и точка в плоскости
Прямая в том случае принадлежит плоскости, если она:
1)проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
2)проходит через точку, принадлежащую плоскости, и парал лельна какой-то прямой, лежащей в данной плоскости.
Если плоскость задана следами, то для того чтобы провести в ней произвольную прямую, руководствуясь первым признаком при надлежности прямой плоскости (рис. 114), целесообразно точки взять на следах плоскости (точки М и N) и через них провести прямую. Или же (руководствуясь вторым признаком принадлежности прямой плоскости) взять одну точку на одном из следов плоскости (на рис. 115 точка N) и через нее провести прямую, параллельную вто рому следу плоскости.
Изображенная на рис. 115 прямая принадлежит плоскости Р и параллельна плоскости проекций Н. Такая прямая называется гори
зонталью.
Прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная плоскости проекций V, называется фронталью (рис. 116).
На рис. 117 приведены эпюры произвольных горизонталей, про веденных в плоскостях, заданных двумя параллельными и пере секающимися прямыми. Построения выполнялись в следующей по следовательности. Вначале проводились фронтальные проекции горизонталей — параллельно оси проекций X (фронтальная проек ция любой горизонтали всегда параллельна оси X), затем отме
чались фронтальные проекции т' и п' точек |
пересечения искомых |
|
горизонталей (точек N и М) с прямыми, определяющими плоскости; |
||
линиями связи находились горизонтальные |
проекции тип |
этих |
точек и через них проводились горизонтальные проекции горизон талей.
Аналогично могут быть построены в заданных плоскостях и фронтали (у фронталей их горизонтальные проекции всегда парал лельны оси X), а также и прямые общего положения.
Если необходимо построить в заданной плоскости какую-либо точку, надо в этой плоскости построить прямую и на ней взять точ ку (точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости). Как в случае задания плоскости следами (рис. 118), так и в случае задания плоскости двумя пересекающимися прямыми (рис. 119), вначале построена в плоскости произвольная прямая MN, а затем на ней взята некоторая точка А.
О проекциях плоских фигур
Плоскими называются фигуры, все точки которых лежат в одной плоскости.
Рис. 115
Построение проекций плоских фигур обычно сводится к построе нию проекций характерных точек их контура. При этом необхо димо обращать внимание на то, чтобы обязательно соблюдалось условие нахождения всех точек фигуры в одной плоскости.
Рассмотрим такой пример. Даны фронтальная проекция четы рехугольника ABCD и горизонтальные проекции трех его вершин — точек А, В к С (рис. 120). Требуется построить горизонтальную про екцию четырехугольника (или же определить недостающую проек цию его вершины D). Так как четырехугольник ABCD является плоской фигурой, т. е. частью плоскости, то любая точка его, в том числе и искомая точкаО, должна лежать на прямой, принадлежащей этой плоскости. Проведем фронтальную проекцию одной из таких прямых, например, диагонали BD. Положение горизонтальной проекции диагонали BD можно определить, если известно положе ние еще одной точки ее, например точки К — точки пересечения диа гоналей АС и BD. Горизонтальная же проекция точки К находится, с одной стороны, на линии связи, а с другой,— на горизонтальной проекции диагонали АС. Теперь точка d (горизонтальная проекция вершины D четырехугольника) определится пересечением линии связи точки D и направлением горизонтальной проекции диагона ли — прямой bk.
Следует помнить, что плоская фигура проецируется на плос кость проекций в натуральную величину лишь в том случае, если она находится в плоскости, параллельной этой плокости проекций.
На рис. 121 приведены проекции круга, расположенного в плос кости, параллельной плоскости проекций V. На плоскость проек
ций V в этсгм |
случае |
круг проецируется в |
натуральную величину. |
На рис. |
122 |
пятиугольник ABCDE |
имеет горизонталь |
ную проекцию в виде прямой линии; значит, он находится в гори зонтально проецирующей плоскости.
Если плоская фигура ни на одну из плоскостей проекций не про ецируется в виде отрезка прямой, эта фигура находится в плоскости общего положения.
Проекциями окружности, лежащей в плоскости, не параллель ной ни одной из плоскостей проекций, являются эллипсы. На рис. 123 изображены проекции окружности, расположенной во фрон тально проецирующей плоскости. Горизонтальная проекция ее представляет собою эллипс, большая ось которого — диаметр окружности, а крайние точки малой оси получены проецированием крайних точек фронтального диаметра окружности — точек А к В.
Безосный эпюр
Внимательно рассмотрев рис. 124, нетрудно заметить, что про екции фигуры на две взаимно перпендикулярные плоскости проек ций ни по своей форме, ни по величине не изменятся, если эти плос кости проекций переместить по отношению к проецируемому объ екту параллельно самим себе. Изменятся только расстояния