Файл: Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами.pdf

жеиию (4.76), со значением /п= г, которое определяется из условия (4.78). Таким образом, план типа. Л включа­ ет в себя оптимальное планирование сначала на интерва­

жению (4.80), со значением m = k, которое определяется и з у с л о в и я (4.79), е с л и л = 0, или из выражения (4.83) со

значением m = q, которое определяется из условия (4.82), если л = 0.

Таким образом, план типа Б включает в себя опти­ мальное планирование вновь сначала на интервале (т, Т), а затем на интервале (0, -ѵт+і).

Если же д=0, то планирование осуществляется сразу на всем интервале- (0, Г). Как и в случае плана типа А, так и в случае плана типа Б, план справа от точки т — на интервале (т, Г) — будет оптимальным и таким, как в первом разделе п. 4.5.

В плане типа А проверка предусматривается в мо­ мент т и интервал (0, т) планируется оптимально сог­ ласно первому разделу п. 4.5. В плане типа Б не преду­ сматривается проверка в момент т, и интервал (0, хт+\) пли (0, Г), если /7 = 0, будет планироваться так же, как и в первом разделе, но с незначительными изменениями. Сравнение моделей, рассматриваевых в первом и втором разделах, подробно изложено в работе [64].

Определение плана проверок хранящейся системы при наличии минимальной информации о ее надежности. Случай бесконечного времени

По-прежнему считаем, что отказы системы выявля­ ются только при проведении проверок. Отличие решения задачи определения оптимального (в минимаксном смыс­ ле) плана проверок от решения, приведенного выше, бу­ дет заключаться только в том, что время работы систе­ мы примем равным бесконечности. Поэтому будем ми­ нимизировать максимальную среднюю стоимость, прихо­ дящуюся на единицу времени эксплуатации системы.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы вос­ становить систему (до первоначального состояния) или заменить ее при первой проверке, во время которой об-

166

иаруживается отказ (с вероятностью единица), или осу­ ществить восстановление (замену) системы через время

■Здесь мы Т трактуем как гарантийный ресурс работы

..., хп, Хп+\) со значениями, расположенными в интерва­ ле (О, Т) следующим образом:

ную с системой, которая имеет случайное время до отка­ за g. Обозначим через R(\) отрезок времени, в течение которого система, имеющая случайный срок службы |, находится в эксплуатации, и назовем его циклом заме­ ны. Функционирование системы состоит из бесконечной последовательности таких циклов замен (при проверках и по истечении времени Т) .

Пусть С,- — стоимость, связанная с і-м циклом заме­ ны, а Ri — длина г'-го цикла замены. Тогда средняя стои­ мость в единицу времени эксплуатации системы

при условии, что МСі конечно.

167

Задача заключается в выборе плана X таким, чтобы минимизировать Ф(Л'), но так как Ф(Х) зависит от функции распределения F(t), которая неизвестна, за исключением единственного значения, то рассмотрим сначала

[х(0)(Х ) = тахф (^),

где максимум .берется по всем функциям распределения положительных случайных величин, удовлетворяющих (4.87). В конечном итоге необходимо, найти такой план проверок Х=Х*, при котором

p.(0)= tnin|A<0) (X ) = г т (Х).

X —

Рассмотрим случай, когда стоимость, связанная с циклом замены, имеет вид (4.52). Приведем результат решения этой задачи, полученный в работе [65]:

плану проверок. Далее план вычисляется рекуррентно из следующих соотношений:

168

\

В рассмотренных выше и во многих других практиче­ ских задачах средние потери имеют вид либо линейного, либо дробно-линейиого функционала относительно функ­ ции F(t). Поэтому для решения задачи определения наи­ худшей функции распределения представляет интерес описание вида функции распределения, на которой до­ стигается экстремум исследуемого функционала. Ответ на этот вопрос дают доказываемые ниже утверждения.

Если f(x), g(x) — непрерывные ограниченные функ­ ции, G(x) — функция распределения, то положим

j _ _ J / ( * ) dG (X)

(4.92)

°1’ g (X) dG (х)

169