Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл (7,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 234

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть реактивная лампа управляет изменением частоты синхронизируемого генератора по линейному закону

	Cù='CûcO—su(t),
где CÙCO — средняя	частота	синхронизируемого	генерато
ра при u(t)=0; s — крутизна линейного участка			модуля
ционной характеристики реактивной лампы.
Из соотношений	(4.81),	(4.82), (4.84) получим

	т = ѳ ,	-	ѳ , = к „ - «•>„) -				su (О-)- (Ѳ2			- Ѳ,),
или
<р =	Д0 --Д sin<p — -^-à(Ecsm						f —			Escos<p)-j-(4.85)
где
д о — шсо — <Ѵд		— ~2		psA1A2,ty		=	i)3 — 6,, Д0 — начальная
расстройка генераторов, Д—полоса								удержания.
Для того чтобы к уравнению							(4.85)		можно было		при
менить	аппарат		марковских				процессов,			необходимо
удовлетворить условию [7]
		H-s/U (Л, + £с )				^	I	Кф		к	*
	и X . — в р е м я						Л-				t(t) и
где					корреляции			для	процессов
<j> (t) соответственно. Неравенство (4.86),									характеризующее
флюктуации		£('0		и	ty(t)	как	быстрые,			справедливо
в ряде практических случаев [7]. С								учетом (4.86)			урав
нение (4.85) можно записать в виде
			? = ; д о - : Д 8 І п < р				+ Т6 (0.			(4.87)

где уб(0 —процесс, который может быть заменен экви валентным белым шумом.

Сопоставляя результаты анализа трех приведенных задач [см. уравнения (4.73), (4.80), (4.87)], приходим к выводу о том, что поведение фазы колебательной си стемы во всех случаях подчиняется одному и тому же стохастическому уравнению. Обращаясь для определен ности к уравнению (4.87) и полагая

<Y 5 (О Y6 (t + 1 ) > = 4 ^ 8 W = H T S M'

"14*4

запишем коэффициешы сноса и диффузии
	Я, (?) = Д0		— A sin ср, К2 (? ) = А .			(4.88)
Уравнение	Фоккера—I Іланка—Колмогорова для стацио
нарного состояния (w(<?) = 0)				согласно	(4.88) имеет вид
	д	rdw (у)	~(D0-Dsm<?)w(?)		=	0,	(4.89)
	а	г с Of
г.	4Д 0	р.	4Д
где D. =	-j^-\ D
Вследствие		периодичности		коэффициентов		сноса	по <р
плотность	w(<p) будет также			периодична, т.		е. функция
w(y+2nk)	будет удовлетворять уравнению					(4.89)	при

любом k. При отсутствии граничных условий нельзя указать такого значения k, для которого в стационарном режиме поток вероятности был бы равен нулю. Поэтому '

стационарное решение уравнения (4.89) следует		искать
из условия G— const, а не G = 0, как это бывает		в боль
шинстве случаев {см. выражение (3.129)].
Общее решение (4.89) записывается в	виде
ч>
w (<р) = С, ехр (£0<f -f- D cos <р) j exp (—	— D cos f') df,
c,		(4.9Q)
где Ci и C2 — постоянные интегрирования,		(4.9Q)
где Ci и C2 — постоянные интегрирования,	определяемые
из двух условий:

1) периодичности — w (<р + 2я&) = ai(q>) ;

2) нормировки на каждом периоде — j * tw(<p)d<p=l.

Вычисления [6,4] приводят к следующему результату:

		9+2*
o»(<f>) =	-ç-exp(D0 -\|-Z)cos<p)		J exp (—£>0?'—Z) cos ?')
			(4.91)
где С =	tâ<T*Do	I / . О о (D)\|2 ;	/ Ш о (D) —функция Бесселя мни
мого индекса и мнимого аргумента.
При нулевой расстройке (До—0) плотность вероятно
сти для	разности	фаз определяется выражением

10—186

145

и имеет симметричную формулу (рис. 4.6). Если шумы велики (Do мало),' то функция до(<р) близка к равно мерной.

Рис. 4.6.

Различные аспекты функционирования системы ФАП под воздействием шумов с помощью теории марковских процессов анализируются, например, в работах В. И. Ти хонова (7, 9—12], Э. Витерби [13].

4.5.Воздействие шума на детектор

сэкспоненциальной характеристикой

Разберем задачу [4] по определению плотности рас пределения напряжения на выходе экспоненциального детектора, состоящего из диода Д и параллельной

Mr J с " : Ü

Рис. 4.7.

цепочки RC (рис. 4.7). Характеристика нелинейного эле мента i=if\(u) выбрана экспоненциальной для того, что-

146

бы обойти трудности, связанные с использованием -не линейных зависимостей, не имеющих непрерывных про изводных [14—17].

Составим дифференциальное уравнение для выход ного напряжения г)(/). Имея в виду обозначения, ука

занные на рис. 4.7, запишем

і = і1-\-і1,

У —

^^dt^LR,

откуда

/ ( 6 - , ) = СІ + - | - .

или

Здесь

^ + Ж ^ І Г ^ - 7

! ) -

( 4 - 9 3 )

(Ç — 7j) =

ô e 0

( E _ , l )

;

a, b =

const.

(4.94)

Удобно ввести новую

переменную

х =

еа , ) ,

(4.95)

для которой уравнение (4.93)

примет вид

RCx +

л In X =

aWîe**.

(4.96)

Введем

обозначения:

a=\IRC,

k=>aabR,

(4.97)

x(f) = e o t - m ,

m = < e a

* >

(4.98)

Когда

\(t)—нормальный

процесс

нулевым

средним

значением,

величину

m легко

определить,

основываясь

на выражении для характеристической

функции

< е " ' * > = е

(4.99)

где и — вспомогательный

параметр,

а2 — дисперсия ве

личины g.

Полагая

в (4.99)

и = —га,

имеем

/п = < е ^ > =

е 2

С учетом (4.97),

(4.98)

уравнение

(4.96)

преобразуем

к виду

x =

— axlnx-\-mk-\-kx,(t).-

(4.100)

10*

147


При малом времени				корреляции		т к случайное воздейст
вие K(t)		можно	представить как белый шум с					нулевым
средним и функцией				корреляции
		< х ( 0 н ( * + т ) > = - ^ 8 ( - « ) ,
где	спектральная		плотность Na% определяется, как обычно,
по	соотношению		(3.61).
	Стохастическому			уравнению		(4.100)	соответствует
уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова
— 5 Г = — w \ { m k - a x \ n x ) w { x ) } - \ — Ä							^ L -	(4.101)
Отыскание нестационарного решения (4.101) затрудни
тельно. Что касается одномерного стационарного рас
пределения, то оно легко находится по формуле								(3.132).
(jc) = C e x p \| - - A - [ axa(lnx-±)-2mkx]}>								(4.102)
где С — нормировочная					постоянная.
	От распределения			(4.102) необходимо			перейти к плот
ности распределения для выходного напряжения ц, ко
торое связано с x безынерционным нелинейным								преобра
зованием (4.95). Используя известную формулу
окончательно получаем
W fa) =		Ca ехр J ~ -щ-			[ае 2 0 1 1 [а-ц ~~т)-		2 m k &	a n ]	} •

4.6.Анализ работы накопителя

Внастоящем и следующем параграфах рассматри

вается решение некоторых типичных ' п о р о г о в ы х за дач для марковских процессов, а именно обсуждаются методы вычисления такой важной характеристики, как вероятность достижения границы случайным процессом.

Разберем в этой связи [18] работу простейшего #С-накопителя, на выходе которого имеется пороговое устройство (рис. 4.8). Предполагается, что с момента ^о=0 на 'вход накопителя подается детерминированный сигнал s(rf) и белый шум n(t). На выходе фильтра на пряжение складывается из детерминированной b(t) и случайной x (t) составляющих и сравнивается в порого-

148

вом устройстве с напряжением Е. В момент равенства величин b(t) +x(t) —Е пороговое устройство срабаты вает. Задача состоит в определении вероятности сраба тывания порогового устройства за время t.

-CZ>
R		Пороговое
s(t)+n(t)	ßltl+xftj	истоойст-
s(t)+n(t)		во
		во

Рис. 4.8.

Поставленная задача эквивалентна задаче о вычис лении вероятности появления выброса случайного про цесса x(t) над переменным порогом Un(t)=E—b(t). При отсутствии сигнала порог становится постоянным: uu(t)=E. Согласно (3.157), (3.149) вероятность Р(х0, t) превышения за время t случайным напряжением x(t) уровня ua(t) находится по формуле

						«„О
P(x0,t)		= l -Q(x0,t)		=	\ -	j	q{x0,x,t)dx.		(4.103)
						—oo
При	отсутствии поглощающей						границы	в точке х =
= un(t)	плотность		распределения				вероятностей		выходно
го процесса		x(t)	характеризуется				нормированной плот
ностью	вероятности			w(xQ,	х,	і),	которая	подчиняется
уравнению		Фоккера — Планка — Колмогорова							(3.55).

Если же существует поглощающая граница, то процесс

описывается ненормированной				плотностью		q[xo, х, t),
удовлетворяющей тому же уравнению					(3.55),
dq	д	[X q}-		aW0	Ô*q	(4.104)
	дх
но с граничными	условиями		типа (3.148):
	д{хо,	ип,	-0=0.			(4.105)