Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл (7,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 235

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сущность которого состоит в суммировании отражении крыльев плотности вероятности, найденной из фунда ментального решения, от поглощающей границы с пере меной знака. Поясним этот метод на простом примере.

Пусть s(t)=0 и Е = 0, тогда задача сводится к вы числению вероятности пересечения выходным случайным процессом x{t) нулевого уровня.

Фундаментальное 'решение уравнения (4.104) опре деляется формулами (3.83), (3.73), (3.74):

w (Л'0, x, t) :		/	(Л; — х0,е- « * \	(4.106)
	(t)	е Х Р \	2»'(О

^	= - ^ - ( 1 - е - 2 к < ) .			(4.107)
На рис. 4.9 представлены зависимости w(xo,				x, t)	для
трех моментов времени		U<h<fa.	При этом	видно,	что

,д на границе х=0 плотности

w(xg,x,t)\	^ _„ (\	вероятности				w(x0,		0, U) и
		w{xo,		0, tz)		отличны		от	ну
		ля. Идея			метода		отражений
		при	определении				плотности
		q(x0,		x,	t)	состоит		в	том,
		чтобы		выразить			искомую
		функцию			q(xo, x,		t)	в	виде
		линейной			комбинации плот
		ностей w(xi,x,				/^являющих
		ся фундаментальными реше
		ниями		заданного			уравнения
		при различных целесообраз
		но	выбранных				начальных
		условиях			ХІ. Поскольку				за
		дача		линейна, то			линейная
		комбинация				плотностей			так
		же		будет		удовлетворять
		уравнению				(3.55).		Однако,
Рис. 4.9.		чтобы эта комбинация							была
		решением уравнения						(4.104),
необходимо	выполнение	граничного			условия			(4.105).

Изложенные соображения реализуются, если функ цию q(x0, x, t) представить в виде разности двух фунда ментальных решений:

q(x0, x, t)=w(xo,	x, t)—w(Xi,	x, t) (л:>0), (4.108)
где XI = — X Q .
150

На рис. 4.10 схематически изображено решение урав

нения (4.108) для		некоторого	t > t 0 .	Нетрудно заметить,
что для	'получения	функции	q{xo,	х , і)	необязательно
строить	плотность	w(t, x, Хі),	достаточно		лишь вычесть
из функции w(ti, x,		хо) ее отраженное от границы крыло
(см. пунктир на рис. 4.10).

w(x,x0,t)

(fç.fx0,x,tj \.

^ ^ * 0 ^

w(x,x„t) \

Рис. 4.10.

Таким образом, для того чтобы вычислить вероят ность достижения процессом x(t) нулевого уровня £ = 0 , необходимо в формулу (4.103), принимающую для дан ного случая вид

оо

Р {х0, t) — 1 — j q.(x0, x, t) dx,

	о
подставить выражения	(4.106) — (4.108)	и выполнить
интегрирование. После	преобразований	получим

р к , о = 2 [ і - Ф ( ^ ) ; .

Усложним несколько задачу и найдем вероятность того, что выходной процесс x(t) в отсутствие сигнала достигнет порога ЕФО. Поскольку в данном случае поглощающая граница уже не совпадает с центром сим метрии решения уравнения (3.55), определяющего фун даментальное решение (4.106), (4.107), то не существует

151

такого .полюса Ху, при котором удовлетворялось бы гра ничное условие

q(xo,E,t)=Q

(4.109)

для всех моментов времени t.

Принципиально можно отыскать такую комбинацию

полюсов ХІ ( t ' = l , 2,	п), при которых	функция
q (А-0, X, t) =	w (ха, X, t) —J^w (ХІ,	xj)
	i

будет удовлетворять условию (4.109) с необходимой степенью точности. Однако подобный путь весьма гро моздок. Для приближенного решения задачи можно использовать только один дополнительный полюс в неко торой точке ХІ, но при этом функцию q(xo, х, t) следует определить в виде

tq(xo, X, t)=w(x0,

X, t)—kw(xi,

х,

t),

(4.110)

где

коэффициент

выбирается

таким

образом, чтобы

ненормированная

плотность

q(xo, Е ,

за

время t

в с р е д н е м ,

удовлетворяла

условию

(4.109):

j [w {х0, Е, t) — km (JC„ E, t)} dt = 0.

(4. Ш )

Из

(4.111)

находим

f _ L _

(g-*oe~g f ')2

1 .,,

о (f)

e X P L

2a2 (f)

J a t

k = °-t

(4.112)

Г (E — х^-аі'у

J Т(РГехр

ьЧп—JdV

•

Подставляя

(4.110)

в (4.103)

учетом

(4.106),

(4.107),

получаем

о - - * ( ^ г 1

) - « К ^ т З г 1 ) • ( 4 - 1 I 3 )

Вероятность Р(х0,

зависит от выбора

дополнительного

полюса хи

однако

численные

расчеты {1.8] показали, что

эта

зависимость

незначительна.

Поэтому

по

аналогии

с предыдущим случаем удобно определить дополнитель ный полюс ХІ в точке зеркального отражения основного

полюса Хо	от границы	Е, т. е. ХІ=2Е—х0	при	Е>Хо.
Результаты	численных	расчетов по формуле	(4.113)	при

152

XQ = Q приведены на рис. 4.11. Графики построены для безразмерного времени at.

Допустим теперь, что на вход накопителя помимо белого шума воздействует сигнал s (t). Как указывалось выше, этот случай эквивалентен задаче вычисления ве-

P(0,t)	Е
	0,3
0,8	0,5
	0,5
0,6	0,7^

0,0-

0,2

0,5	f,0	1,5		cet
	Рис. 4.11.
роятности P(XQ, t) случайным процессом			x(t)	перемен
ного порога ип=Е—b[t).	Если	поместить	дополнитель
ный полюс ХІ в точку	зеркального отражения			основного
полюса х0 относительно границы в момент ^=0,					то для
расчета справедливы	формулы	(4.112),	(4.113)		с той