Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 3
Из (4.41) найдем |
соотношения для |
частных случаев: |
Т (О, А„ |
Ь) = lim Т (а, Д , |
6) = |
|
а-*0 |
|
- т М / т - Д - / - ! - » ) - |
In |
|||
|
||||
Г (a, Av |
oo) = l i m 7 > „ |
Л,, £>) = • |
•In |
|
При выводе |
последних |
выражений |
интеграл J (а, ß) |
|
вычисляется |
с |
помощью разложения |
подынтегрального |
|
выражения в ряд. |
|
|
4.3.Флюктуации амплитуды и фазы колебаний
вавтогенераторе
Рассмотрим вопрос о том, как влияют собственные флюктуации лампового генератора на стабильность па
раметров гармонических |
колебаний |
[2, |
4]. Для |
|
этого |
|||||||
|
|
|
|
обратимся |
к |
рис. 4.2, |
где |
|||||
|
|
+k(t) изображена схема генерато- |
||||||||||
|
|
|
|
ра |
с |
|
трансформаторной |
|||||
|
|
|
|
связью |
|
между |
сеточной и |
|||||
|
|
|
|
анодной |
цепями. На |
рисун |
||||||
|
|
|
|
ке помимо элементов |
конту |
|||||||
|
|
|
|
ра |
обозначены: / — анодный |
|||||||
|
|
|
|
ток лампы, |
представляющий |
|||||||
|
|
|
|
собой сумму среднего значе |
||||||||
|
|
|
|
ния |
< / > = / 0 |
и |
флюктуаци- |
|||||
|
|
|
|
онной |
составляющей |
|
\(t); |
|||||
Рис. 4.2. |
|
|
г) — ток в индуктивной |
цепи |
||||||||
|
|
|
|
контура; |
M — коэффициент |
|||||||
взаимоиндукции |
между |
анодной л |
сеточной |
катушками; |
||||||||
ие — напряжение |
сетка — катод. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для напряжения на контуре имеем |
уравнение |
|
|
|||||||||
b j + |
/?4 |
= |
- i - j ' ( / - T | ) < f r | |
|
|
|
(4.42) |
|||||
И Л И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
, / |
? |
• , |
1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
(4.43) |
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим для простоты, что сеточные токи от сутствуют, а анодио-сеточная характеристика лампы мо-
134
жет быть аппроксимирована кубической параболой
/0 .==s«g |
(4.44) |
где s — крутизна характеристики лампы; и — параметр. Поскольку ug = Mr\, то вместо (4.44) имеем
|
|
/ 0 = я Л Г і - - | - Ж Ѵ . |
(4.45) |
||
С учетом |
(4.45) |
уравнение |
(4.43) |
преобразуется |
к виду |
г,- + $ |
RCv + |
« и = % [sMy - |
- f Ж3-/]3 ] + |
(О |
|
или |
|
|
|
|
|
Ч + « о ^ = |
ш* ^ ( 5 М - і ? С ) - - ^ М Ѵ ] + с о ^ ( ^ ) . |
(4.46) |
|||
Введем обозначения: |
|
|
|
||
|
Л = 2 1 / ^ ^ |
= |
2 , / ^ . |
|
|
|
e = u0(sM-RC), |
|
7 , , = - ^ . |
(4.47) |
|
Тоііда вместо (4.46) |
|
|
|
||
Чі + шо іі ^«"оіі |
- ^ 2 і 2 j + Л 7 6 О ' |
(4.48) |
Точно так же, как это было сделано в предыдущем па раграфе, перейдем от дифференциального уравнения второго порядка к двум уравнениям первого порядка, описывающим поведение амплитуды и фазы. По анало
гии с (4.7), (4.8) представим |
в виде квазигармо |
|||
нического колебания со случайной амплитудой |
A (t) и |
|||
фазой Ф(і): |
|
|
|
|
|
i\i(t)=A(t)cosO(t), |
|
(4.49) |
|
|
Ф(0=юо*+<Рй+<р(0. |
(4.50) |
||
и в соответствии с (4.12) |
положим |
|
|
|
|
4, = —(v4(*)sm®(/). |
(4.51) |
||
Очевидно, |
что при этом |
остаются |
справедливыми соот |
|
ношения |
(4.13) —(4.16). |
Подставляя (4.15), |
(4.16) |
135
в выражение (4.48), с учетом замены ц на |
получаем |
* - і і ( і ~ £ ) - # и « . |
\ < 4 - 5 3 ' |
Если в (4.52), (4.53) подставить (4.49), |
(4.51), то |
после преобразований и исключения слагаемых, имею
щих |
|
гармонические |
функции |
с аргументами |
пФ(і) |
||||||
(п>\), |
можно |
получить |
укороченные |
уравнения |
лампо |
||||||
вого генератора: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А = |
^ |
(1 _ |
Л2 ) - J |
S (t) sin Ф (0. |
|
(4.54) |
|||
|
|
|
|
9 = -^ЩсовФ(Г). |
|
|
|
(4-55) |
|||
Для |
|
стационарного |
режима |
(Л=0) |
при |
отсутствии |
|||||
флюктуации |
(l(t)=Q) |
из (4.54) |
находим |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
< І 4 > = + |
1, |
|
|
(4.56) |
||
поскольку /4^0 . Кроме того, |
при |
1 ( ^ = 0 |
случайный |
||||||||
набег |
фазы |
ср(0> |
обязанный |
своим |
происхождением |
||||||
колебанию £(£), также равен |
нулю. |
Поэтому |
соглас |
||||||||
но |
(4.50) |
|
|
Ф(0=<оо*+<ро, |
|
|
|
(4.57) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
<ро — по определению случайная |
начальная |
фаза, не |
||||||||
зависящая от |
Для того чтобы |
отдать предпочтение |
какому-либо значению фазы q>o, не существует никаких физических предпосылок, так что естественно считать <ро случайной величиной, имеющей равномерное распреде
ление |
на интервале |
{—я, |
+jt]. С |
учетом |
выражений |
|
(4.47), |
(4.56), |
(4.57), |
для |
стационарного |
режима ток |
|
в контуре т|(^) |
без учета флюктуации |
представим в виде |
т і = т і і Л 0 = А 0 < A >cos ((ù0t +q>o) =А0 cos (©о* + фо). (4.58)
Соотношение (4.58) поясняет физический смысл величи
ны Аа, .которая |
представляет |
собой установившееся зна |
|
чение амплитуды тока ц (t). |
|
|
|
Рассмотрим |
флюктуации |
амплитуды. По |
аналогии |
с (4.19) осуществим замену |
уравнения (4.54), |
повторяя |
136
все выкладки, которые были проведены в предыдущем параграфе для получения уравнения (4.37). В результа те вместо (4.54) получим
^ Т ^ ^ + і і + ^ " , (0. |
(4.59) |
где с и ПІ-определяются соотношениями (4.38) и (4.35). Из (4.59) находим
/C1 (A) = ^ ( A - A ' ) + 4-gJ-l |
(4.60) |
На основе (4.60), (4.61) определяем по формуле (3.132) стационарное распределение
t»e T (A) = |
^-exp |
| — ^ - ( Л ' - l ) « ] , . |
(4.62) |
||
где К вычисляем |
из |
условия |
нормировки, |
C=ck, |
|
fe=const. |
|
|
wCT(A) |
|
|
Характер распределения |
показан на рис. 4.3. |
||||
|
>02 >і V |
у |
|
|
•гСз
0,5
О |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
а=АІА0 |
Рис. 4.3.
137
Что касается фазы автогенератора, то в предполо
жении малости флюктуации анодного тока |
ее по |
||||
ведение |
описывается дифференциальным |
уравнением |
|||
вида |
|
|
|
|
|
|
. ? = |
- ^ ( ' ) с о 8 ( ( у + |
с?0), |
(4.63) |
|
причем |
дисперсия |
приращения |
фазы |
Дер растет пропор |
|
ционально времени наблюдения |
Г [4, 2]: |
|
|||
|
|
a\y — kT, k = |
const. |
|
(4.64) |
Следовательно, в этом случае фазу автогенератора из-за наличия флюктуации анодного тока можно считать винеровским процессом.
4.4.Закон распределения фазы.автоколебаний
в колебательных системах, находящихся под воздействием гармонического сигнала и шума
В настоящем параграфе будут разобраны три прак тически важные задачи, характерной чертой которых является то, что на колебательную систему вместе с шу мом воздействуют синхронизирующий сигнал с флюктуи рующими параметрами. В качестве колебательных си стем будут последовательно рассмотрены параллельный контур, ламповый генератор и простейшая система фазовой автоподстройки частоты. Во всех случаях основ ное внимание будет сосредоточено на вопросе о том, как преобразуется фаза автоколебаний системы под воздей ствием внешних напряжений.
1. |
Параллельный |
контур |
под воздействием |
сигнала |
||
и шума [5, 2]. Пусть |
на контур LCR |
(рис. 4.1) |
помимо |
|||
белого-^шума n(t) |
поступает |
еще сигнал от автогенера |
||||
тора, |
обладающего |
определенной |
нестабильностью. |
|||
Вследствие этого |
сигнал s(t) |
можно |
записать |
в виде |
квазигармонического колебания со случайной фазой и амплитудой s (t) =A(t)cos[at+^+<(p(t)].
При малых собственных флюктуациях автогенерато ра амплитуду сигнала s(t) будем считать постоянной
A(t)=A0, так что s(t) =^ÖCOS[аі+цю + (р(і)]. Случайная фаза ц>(і) пр.и принятых предположениях описывается уравнением (4.63). Если повторить выкладки § 4.2, то легко можно получить дифференциальное уравнение для тока и (0 в индуктивной цепи:
і"+2аті + Ш ; т і = «о*[5(0 + л(0]- |
(4-65) |
183
|
Будем |
полагать, |
что добротность |
контура |
высока, |
||||
а |
расстройка между |
частотой сигнала со и |
резонансной |
||||||
частотой |
контура «о мала, |
т. е. |ш—шо|=Ао-Смо. При |
|||||||
таких условиях |
ток |
т) (t) |
молено |
представить |
в виде |
||||
квазигармонического |
колебания |
со |
случайной |
фазой |
|||||
и |
амплитудой |
r\ (t) =5(f)cosi[co/+o|)o + ip(0]- |
Применяя |
обычную процедуру (см. § 4.2, § 4.3), перейдем от одного дифференциального уравнения второго порядка (4.65)
кдвум укороченным |
уравнениям для амплитуды и фазы: |
||||||||
В = |
- |
a ß - |
^ |
sin [ф (0 + |
Ф0 - |
<р (t) - |
90] |
- |
|
|
|
_ т |
Л ( * ) 8 Н і К + ф0 + ф(/)]; |
|
(4.66) |
||||
|
Ф = |
Д 0 - |
|
cos [ф(0 + |
Фо - |
?(0 — 90 ] — |
|||
|
|
- - ^ д ф с о в К + |
Ф. + |
Ш . |
|
(4.67) |
|||
Из последнего уравнения |
при отсутствии шума |
(n(t)=0), |
|||||||
положив |
предварительно |
^ = 0, |
находим |
стационарное |
|||||
значение разности фаз |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Фет —<Pct = arccos^ - . |
|
(4.68) |
|||||
При А 0 = 0 из (4.68) |
имеем |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
> « = = ? « —-тр- |
|
|
(4.69) |
Это означает, что в отсутствие шума при нулевой на чальной расстройке среднее значение фазы тока в кон
туре отличается |
от среднего |
значения фазы сигнала |
на я/2. В более |
общем случае, |
когда АофО, из-за реак |
тивных свойств контура между фазами имеется разли
чие, определяемое |
(4.68). |
|
|
Для удобства |
анализа обозначим |
|
|
y(t)+tya-*p(t)—w |
+ n/2=%(t) =%. |
|
|
Тогда вместо (4.67) получим |
|
|
|
і = д о - w s i n * - * - т |
c o s И + *° + Ф |
<4-7 °) |
Заменим теперь в (4.70) амплитуду B(t) постоянной величиной Во — стационарной амплитудой колебаний при отсутствии шума. Очевидно, что замена B(t) на В0 возможна лишь в том случае, когда дисперсия шумового тока а" в индуктивной цепи колебательного контура
139