Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 236
Скачиваний: 3
обусловленное его внутреплим шумом. До срыва угловое рассогласование Ѳ флюктуирует в области слежения, в окрестности значения Ѳі, где находится дно потенци альной ямы. Срыв слежения наступает в том случае,
frei |
|
|
|
т і / |
|
\ |
f[Bt) |
ч«\ |
|
i |
\ |
а) |
|
1 |
|
ff, |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
,1 |
|
ФѲ
*) |
\ |
У7 |
\ |
|
|||
- |
|
и (ff,) |
|
|
Рис. 4.15. |
|
|
когда частица (координата. Ѳ) под действием шума пре одолевает потенциальный барьер и скатывается по его правому склону.
Вероятность срыва слежения P(t) за время t рассчи тывается по формуле
о
где о(Ѳг) —поток вероятности через сечение 02. При ма лой вероятности срыва поток G(ßz) считается постоян ным и его величина определяется выражением {22, 23]:
G (Ѳ,) = ^ |
V-U" |
(8.) U" (Ѳ2) exp |
[ - |
* ^ |
- ] |
. (4.125) |
|
Поток через |
потенциальный |
барьер |
Ѳз |
согласно |
|||
(4.Г25) зависит, |
с одной стороны, от характеристики по |
||||||
тенциального |
рельефа |
в экстремальных |
точках |
0j и 02, и, |
|||
160
с Другой стороны, определяется уровнем флюктуации,
ПОСКОЛЬКУ
При этом поток |
G(02 ) тем меньше, чем больше высо |
та потенциального |
барьера U(Q2) и чем меньше уровень |
флюктуации, что находится в полном соответствии с фи' зическимй представлениями описываемого явления.
Вопрос о достижении поглощающих границ много мерным марковским процессом представляет собой гораздо более сложную проблему, чем разобранная выше задача для одномерного процесса. Определение вероят ности достижения границы двумерным марковским про цессом, в частности, обсуждается в работах (27, 28], где формулируются условия поглощения в двумерном случае и рассмотрен ряд примеров. Количественные соотноше ния в конкретных задачах удается получить, только используя ЭВМ.
5
ТЕОРИЯ УСЛОВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ФИЛЬТРАЦИИ
ИОБНАРУЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
5.1.Вводные замечания
Прежде чем переходить к изложению теории условных марков ских процессов, обсудим постановку задачи о фильтрации случайных сигналов, с которой связаны основные применения указанной теории.
Пусть на вход приемника поступает реализация %{t), которая является смесью сигнала S (s, t), помехи V(r|, і) и белого шума n(t). Предполагается, что функции 5 и V детерминированы, а функции x(t) и т) (t) случайны. Взаимосвязь сигнала и помехи выражается некоторой детерминированной функцией Ф; белый .шум обычно
аддитивен, так что
І(0=Ф[5(*, 0. Ѵ(ті, t)]+n(t).
В предположении, что известны статистические характеристики случайного сигнала, помехи и шума, наблюдателю необходимо опти мальным образом решить, какая реализация сообщения x(t) содер жится в принятом колебании
Из-за наличия помехи f\(t) и шума n(t) оценочное значение сообщения х*{і) не будет в точности совпадать с переданным x(t), что приводит к ошибкам фильтрации. Очевидно, что чем меньше ошибка, тем выше качество фильтрации. Количественно качество фильтрации можно оценивать по-разному. В некоторых задачах ка-
11—186 161
чест.во фильтрации характеризуется величиной средней квадратичен
ской погрешности е 2 = <[**.(*) —x(t)]->. При ѳтом |
оптимальное |
||||
фильтрующее устройство |
должно |
обеспечивать |
минимум |
величи |
|
ны Б2. В ряде случаев фильтрация |
осуществляется |
по |
критерию |
||
максимума апостериорной |
вероятности, а точность |
фильтрации сце- |
|||
ннвается ее дисперсией. |
|
|
|
|
|
В дальнейшем будет рассматриваться практически важный слу чай, когда сигнал и помеха являются стационарными процессами и взаимодействуют аддитивно
|
Ut)°°S(x, |
*) +1/(11. /)+я'('0. |
(б.і) |
|
Сформулируем сначала |
задачу линейной фильтрации. |
Пусть |
||
S(x, i)=x(t) |
и Ѵ(\], 0 = |
ч(0і |
причем сообщение x(t) и помеха ц(<) |
|
являются независимыми |
стационарными нормальными процессами |
|||
с известными |
характеристиками |
|
||
<*(0>=0, <іі(0>=0,
<x(t)x(t+r)>=kx(z),
<vj (Ol С + ' ) >
Требуется определить характеристики системы, осуществляющей оптимальную фильтрацию сигнала (сообщения) из колебания £(/)• Решение поставленной задачи дается теорией линейной фильтрации, разработанной А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. По этой теории импульсная характеристика оптимального фильтра G0 (0 должна
удовлетворять интегральному уравнению t
j [A, (* - У) + А, <?-у) + А» - U)\ Go (</) dy = kx (г), |
(5.2) |
и |
|
которое называется уравнением Винера—Хопфа.
При этом среднеквадратнческая погрешность оптимальной филь трации е2 определяется выражением
е* = 'l+ [ G 0 (X,) d4 I j [*» (*» - 'i) + A, Сч - t.) +
ôlo -
|
+ кЛч-^г)} |
Go (*,) их, - |
2ft. Ы J. |
(5.3) |
|
Заметим, что обычно [1, 2] рассматривается задача |
фильтрации, |
||||
когда в |
смесь входят лишь два случайных |
процесса. |
Естественно, |
||
в таком |
случае |
в соотношениях (5.2), (5.3) фигурирует корреля |
|||
ционная |
функция |
лишь одного |
мешающего |
колебания. |
|
Разберем простой пример [3].
Пусть необходимо отфильтровать с минимальной среднеквадратической погрешностью нормальный стационарный процесс x(t) с функцией-корреляции
от аддитивного белого шума n(t).
L62
Уравнение |
Винера— Хопфа |
(5.2) |
для этого -случая |
запишется |
|
в виде |
|
|
|
|
|
2 e - « I W l + ! ^ -2 e ( T - 0 ) |
G o ( y ) ^ = 4 e ~ a | t | |
(5 '4 ) |
|||
u |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
или после преобразований |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
е - " j e«*G„ ((/) Л/ + e" j e—'ff, (</) dy = e " " - |
ЛГ.С (x). |
||||
|
|
|
|
|
(5.5) |
Умножим |
левую и правую |
части |
уравнения (5.5) |
на е^т ц затем |
|
дважды продифференцируем по т. В результате вместо интегрально
го уравнения (5.5) получим дифференциальное |
уравнение второго по |
|||
рядка |
G"o(T)-Y2 G0 (t)=0, |
. |
- (5.6) |
|
где |
||||
|
|
|
||
|
4aL\ |
|
|
|
Общее решение этого уравнения имеет вид |
|
|
||
|
G0 (x) = C l e - ^ + ?2eT\ |
|
(5.8) |
|
где |
(a + Y)2 («-Y) |
|
|
|
|
|
|
||
с, = (« -Ь Т)а — (« — Г)2 е ~ 2 ^ ' |
|
|||
= |
(а + •() fg - Y) 2 |
|
|
|
С г |
(« + Y ) 2 e 2 7 ' - ( * - Y ) 2 |
|
||
Величины С] и сг определяются из системы уравнений, которая полу чается* подстановкой решения (5.8) в уравнение (5.5) и приравнива нием коэффициентов при е—at и е—a (t—t)
Если теперь найденное выражение для импульсной характери стики GO(T) оптимального фильтра подставить в соотношение (5.3) и выполнить довольно громоздкие вычисления, то для t—»-°° можно получить следующую формулу, определяющую величину минималь ной среднеквадратической погрешности:
е 2 = - ^ - У Ѵ 0 ( г - а ) . |
(5.9) |
Этот результат будет использован в дальнейшем.
В рассмотренном примере уравнение Винера—Хопфа решается сравнительно просто. В большинстве же случаев решение этого урав нения наталкивается на значительные трудности, что является су щественным недостатком линейной теории. Кроме того, теория линей ной фильтрации охватывает мало практически интересных случаев.
Действительно,- линейные |
фильтры |
способны выделять |
сообщение, |
л и н е й н о связанное с |
сигналом |
и подчиняющееся |
нормальному |
11* |
|
|
163 |
