Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 238
Скачиваний: 3
закону распределения. Однако в радиотехнике обычно используются радиосигналы, которые не являются нормальными процессами, хотя модулирующее сообщение чаще всего предполагается нормальным. Иначе: для радиотехники актуальна задача фильтрации нормального сообщения, которое существенно и е л и и е й и ы м образом связано с сигналом. Из других недостатков линейной теории следует отме тить то обстоятельство, что в результате весьма сложного решения уравнения (5.2), характеристики оптимальных фильтров получаются трудно реализуемыми. В разобранном выше простом примере опти мальный фильтр должен иметь импульсную характеристику, которую
на практике |
нелегко |
получить из-за наличия функций |
е |
и е 1 |
В радиотехнических устройствах рекомендации теории |
линейной |
|||
фильтрации |
можно |
использовать при проектировании |
низкочастот |
ных трактов, расположенных в функциональных схемах после ди скриминаторов сообщения.
В связи с приведенными соображениями особый практический интерес представляет созданная Р. Л. Стратоновичем [4, 5, 6]. теория условных марковских процессов, на основе которой построена теория н е л и н е й н о й фильтрации. Настоящая глава посвящена изложе нию основ этой теории.
Отметим, что используемые в дальнейшем интегралы, содержа щие в подынтегральных выражениях случайные функции, будут по ниматься как снмметризовапные [6, 7]. Операции дифференцирования и интегрирования с симметрированными интегралами можно произво дить по правилам, которые справедливы для обычных интегралов.
5.2. Рекуррентные соотношения для условных вероятностей состояний марковского процесса
Рассмотрим сначала простой случай, когда
|
S(x,t)=x(t), |
Ѵ ( Л , |
0 = л ( 0 |
|
|
|
||||
и |
|
|
m=x(t)+4(t), |
|
|
|
|
|
||
где x(t) |
и r\(t)—одномерные |
|
марковские |
процессы, |
не |
|||||
обязательно непрерывные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В качестве критерия оптимальности выберем крите |
||||||||||
рий максимума |
апостериорной |
вероятности*) |
wps(x, |
t) |
||||||
параметра х(і) |
при известной |
реализации |
l(t). |
|
|
|||||
Рассмотрим |
двумерный |
процесс |
[x(t), |
l(t)]. |
|
Каждый |
||||
из двух |
компонентов этого |
процесса |
является |
марков |
||||||
ским процессом, следовательно, и сам двумерный |
процесс |
|||||||||
также является |
марковским.. Компонент |
£ (t) |
на |
прием |
||||||
ной стороне известен, компонент x{t) |
требуется |
опреде |
||||||||
лить. Таким образом, основная задача |
теории |
условных |
*) -Ниже для вероятности -и .'плотности вероятности попользуется одно и то же обозначение, которое позволяет проводить выкладки, не конкретизируя вид марковского процесса.
164
марковских процессов состоит в том, чтобы, р а с п о л а
г а я о д н и м из ко м п о н е н т о в |
м н о г о м е р н о г о |
||
м а р к о в с к о г о п р о ц е с с а , в ы ч и с л и т ь |
р а с п р е |
||
д е л е н и е в е р о я т н о с т е й д л я з н а ч е н и й |
н е н а |
||
б л ю д а е м о г о к о м п о н е н т а . |
|
|
|
Следуя [4, 8], рассмотрим |
отсчеты |
принятого колеба |
|
ния, взятые с интервалом At. |
Тогда | m |
= (t0 , ёь • • •. Im) — |
вектор поступивших на вход 'приемника да'нных за время от 0 до t = niAt\ х,„= (л'о, xlt..., хт) —• вектор неизвестных значений сигнала. Обозначим совместную плотность рас
пределения |
значений | т |
п х т через |
ш ( | т , х,„). В силу |
||||||||
марковкости |
процесса |
(§„,, х,п ) |
многомерную |
плотность |
|||||||
вероятности |
w(%m, |
х,„) |
можно представить в |
виде (3.5) |
|||||||
w(tm, |
xm) |
= w0(%,x0)Д |
ü ( ^ , ^ f t l ^ _ , . ^ f t - i ) . |
(5.10) |
|||||||
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
где vfâk, |
Xk\£,k-i, |
Xk-i) —плотность вероятности |
перехода |
||||||||
двумерного процесса (g,„, х,„). |
|
|
|
|
|
||||||
По аналогии с (5.10) |
запишем |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
/п+і |
|
|
|
|
|
W ( | m |
+ l , |
X m + |
1 ) = |
Wa |
X0) |
Y[ V (Çft, |
Хк |
\ Çft.j, xk_t) |
= |
||
|
|
|
|
|
|
ft=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(І7П> "m) ^ (^/;г + і I X m+ 1 |
I |
£m , X m ) . |
|
|||||
По формуле |
условной плотности |
|
вероятности имеем |
||||||||
|
|
|
« ( x w i u = = |
w{bi%y |
|
• |
|
(5-И) |
|||
Подставляя |
в |
(5.11) |
соотношение |
(5.10), |
|
получаем |
|||||
M ( x m | § m ) = |
^ ( Ѵ ) |
П 0 |
^ - - ^ - , . - * * _ , ) ; (5.12) |
аналогично
V m+l
Будем интересоваться апостериорным распределением последнего значения хт сигнала, для которого введем специальное обозначение
w(xm\%m)=Wps(Xm, |
m), |
(5.13) |
165
Одномерную плотность (5.13) определим из многомер ной (5.12) интегрированием по «лишним» аргументам
wP8 (хт, m) |
J - • • j дао ft. хй) X |
|
X П V |
(tk. х„. \%h_v |
хк.,)dxk•_,. |
Точно так же имеем |
|
|
*>Р*(хм+ , . т+ |
1) = |
j • • j ®о №.. А 'о) X . |
Х П У (?ft. хк I Sft_л-,£ _, )гіл',£_,и(Е,„+1,
•^от+і I 5m. X m ) d x m —
Исключим из (5.14) неизвестный множитель |
. , |
||||
для |
чего проинтегрируем (5.14) по хт+,- |
По усло |
|||
вию |
нормировки левая часть должна быть |
равна |
едини |
||
це, |
так что |
|
|
|
|
^ = |
= ш (I ^,) j J |
(•^mi |
(5">+i> ^m+i|5m. |
Xm)dXmdXm+1. |
|
|
|
|
|
|
(5.15) |
С учетоім (5.15) из (5.14) окончательно получаем рекур
рентное соотношение для апостериорной |
плотности веро |
||||||||||
ятности на (/п+1)-м шаге |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
MPS {хт+ѵт-\-1) |
|
= |
|
|
|
|
||
|
= T 7 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16) |
|
Если |
|
] J'^ps ( \ . « ) ö (im + i . *m + t I S.u. *m) |
dxmdxm+l |
марков |
|||||||
сигнал |
(сообщение) |
представляет |
собой |
||||||||
ский |
процесс |
с дискретными состояниями, |
то |
соответст |
|||||||
вующие |
интегральные |
выражения заменяются суммами |
|||||||||
|
|
|
Wps |
{Хт + 1, |
/П-\-1) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
У Ща (хт, |
т) V (1,п+ 1, хт |
+ 1 |
I |
|
|
|
|
||
|
~ |
Е Е |
Wv(*m, |
'П)ѵ(£т+1, |
X |
m + i \ l |
m , |
Хт) |
' |
( 5 - 1 7 ) |
46fi
Соотношения (5.16), (5.17) позволяют по мере наблю дения одного компонента |.г- (г'=0, \,...,т) двумерного марковского процесса вычислять условное распределение для другого компонента х{. Рекуррентные формулы (5.16), (5.17) дают возможность пересчитывать значения апостериорных вероятностей от шага к шагу. При этом не требуется помнить все значения go, gi, ... , gm наблю даемой реализации, посколькудля определения апосте риорной плотности на следующем шаге используются лишь последние значения gm и | m + i . .
5.3. Фильтрация марковского процесса с двумя состояниями из белого шума
Продемонстрируем применение рекуррентных соотно шений, полученных в предыдущем параграфе, на кон кретном примере (4, 5, 8]. Пусть x(t)—марковский про цесс с двумя состояниями, a r\(t) =n(<t). Таким образом, необходимо отфильтровать процесс х(і) из белого шума.
Марковский процесс с двумя состояними рассматри вался в § 2.5. Положим для простоты
М < 0 - « . |
M * ) = ß . |
* І = 0 , * 2 = 1 , |
(5-18) |
|||
и а п р и о р н ы е |
сведения (2.61), |
(2.62) о процессе x(t) |
||||
с учетом новых обозначений |
(5.18) |
примут вид |
|
|||
^ |
= |
- а р в |
( 0 + |
РР,('). |
(5.19) |
|
^ |
= |
- В Р . ( 9 + |
« Л Ю - |
(5-20) |
Поскольку рекуррентные соотношения (5.16), (5.17) «ра ботают» при дискретном времени, то ниже нам понадо
бятся априорные сведения |
(5.19), (5.20), записанные так |
||||
же в дискретном |
времени. Если производную |
dpi(t)/dt |
|||
заменить допредельным |
соотношением |
|
|||
|
dpt (t) __ |
Pi(t + àt) — Pi (t) ^ |
• ^21) |
||
то с учетом (5.21) |
вместо |
(5.19), (5.20) будем |
иметь |
||
• |
p0(t+At)=po(t)(l—aAt)+Pi{t)№t; |
(5.22) |
|||
|
Pi(t+At) |
=РІ(І) |
(1 — ßAO +ро(і)Ш. |
(5.23) |
|
Итак, на |
вход приемника |
поступает реализация |
|||
|
|
•№=x(t)+n(t), |
(5.24) |
которая подвергается дискретизации во* времени.
167
Случайный процесс ii(t) при дискретном времени это последовательность независимых значений гауссовой слу чайной величины.
В качестве .дискретного отсчета будем использовать среднее за интервал дискретизации (th—At, th) значение колебания n(t):
Подобная замена справедлива в интересующем нас слу чае, когда Д/-9-0. Вычислим характеристики величины nr.
< я к > = |
_±- |
j " < и ( * ) > Л = 0; |
(5.26) |
|
|
th-At |
|
|
'к |
fh |
|
< = < < > = W |
j * f < " f t ) ^ a ) > ^ = w - |
||
|
|
|
(5.27) |
Здесь учтено, что < « {ts) a ( У > = -^£ - 8 (tt — t).
С учетом (5.26), (5.27) закон распределения пк запи
шется в виде |
|
• » W = ) / ^ e x p ( - 4 ^ ) . |
(5.28) |
В рекуррентных соотношениях (5.16), (5.17) фигурирует плотность вероятности перехода процесса ( | т , х,„), осо бенностью которого в данном случае является то обстоя тельство, что один компонент (|т а ) является непрерывной случайной величиной, а второй (х т ) принимает только
два |
значения. Запишем плотность вероятности перехода |
процесса {\т, х т ) за один шаг Д^ из состояния Цн-и |
|
Xh-i) |
в состояние (£h , x h ) : |
|
= ö(*f t |i,l _.b xk-i)v(lh\xh, |
Ik-i, xh-i). |
(5.29) |
Поскольку |
вероятность значения |
хи не зависит |
от вели |
чины l h - h |
то |
|
|
|
^ - * Й 1 ^ - І . ^ - І ) = |
Я(-*)ІІ-**-І)- |
(5-30) |
168