Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

__(Р(О/О)

P W ) \ =

(1-*U

pa*

V

( 5 3 1 )

4/>(i/o)

/7(і/і) ;

V ад;

î — рдг.

Каждый из элементов

матрицы (5.31)

легко находится

по уравнениям (5.'22),

(5.23).

Второй сомножитель в (5.29) является вероятностью

образования случайной величины %к

при условии

после­

довательного осуществления

событий хк-і, %к-і, хк.

Из-за

зования

| Й не зависит от значения хк-і

и

£/t_i

в

преды­

дущий момент времени, поэтому

v(lk\xh,

xk-i)=v(lk[xh).

(5.32)

Закон

распределения

при условии

хк

находится

просто, поскольку эти величины связаны

соотношением

(5.24)

со случайной

величиной пи, для

которой известен

закон

распределения

(5.28). Учитывая,

что

= 1 , и

подставляя в (5.28)

обратную функцию пь. = \ъ.—хк,

полу­

чаем

Таким образом, с учетом (5.31), (5.33) вместо (5.29)

имеем

и &, хк 1 %і -,. Хц _, ) = V (хк I хк _, ) у / - ^ - X

X ехр

No

w„<p.l + At) = ^jgg- К . (0,0(1

+

шр . (1Л + ДО = І ^ ± ! І [шР 5

(1, 0 ( 1 - ßAO +

+ Œ)w (О, 0 аДО | / —у- ехр (

h t f ^-àb>

• + - ( ' - 0 l ^ / ^ e x p ( - E Ä ^ )

+

+ [ ю и ( i , о ( і - р д о + » „ (о. о «д<1 v 7 " ^ -

X

Х е х р ( - ' » ' + У ' - " ' л А .

'

(5.37)

Выражения (5.35) — (5.37) позволяют

яснее

понять

структуру общих рекуррентных соотношений

(5.16),

ла

конечной длительности формула

Байеса

для двух

гипотез (1—сигнал

есть, 0 — сигнала

нет) записывается

следующим образом *):

w ( 0 \ m ) = ^ ^ l l f ^

;

(5.38)

w ( i \ m ) = ^ l l $ m { )

.

(5.39)

где

Wpr(i)—априорная

вероятность

гипотезы

і,

+

wpr(\)w(Ut)\l)

(5.40)

Числитель

выражения (5.35), также

как и числитель

соотношения

(5.38), состоит из двух

сомножителей.

Один из іних

в квадратных скобках, можно рассматри­

ряемой гипотезы (х=0)

в момент \t-\-At, т. е.

wpr(0, t+At) = wPs(0,

t) (1—aAt) + wps(\, t)$At-

(5-41)

ятность

образования

отсчета %(t+At)

при

отсутствии

сигнала

в момент (t+At),

т. е.

«.(*(* + Д 9 | 0 ) = с | / ^ e x p

( - J ' ( '

+ A °

At)-

(5.42)

Если іпо аналогии с(

5.41),

(5.42)

записать

ш р г ( 1 ,

t + Aî) =wpt(\,

t)

(1—.рД-0 +ш Р . (Р, t)aAt,

(5.43)

w ft (t +

àt) 11 ) =

exp { -

+

} , (5.44)

вания отсчета l(t+At)

как при отсутствии, так и при

наличии сигнала в момент

t+At.

Очевидно, что подобные рассуждения можно

провести

и относительно формулы

(5.36), так что аналогию между

соотношениями

(5.35) — (5.37) и (5.38), (5.39)

можно

считать установленной.

Обсудим теперь различие между указанными форму­

лами. В задаче

о приеме

детерминированного

сигнала

дения

[О, Т], равном

длительности

сигнала.

Поэтому

плотности w(l(t)\i),

w(l(t))

м н о г о м е р н ы ,

и в пре­

дельном

случае выражаются

функционалами

вероятно­

стей

і[9,

10] (см. также f3]).

Кроме того,

входящие

в (5.38),

(5.39) вероятности wpr(i)

несут в себе «чисто»

приема реализации

l(t).

В задаче фильтрации марковского сигнала в формулы

(5.35)

— (5.37)

входят

плотности,

относящиеся

не ко всей

реализации %(<t) (,t непрерывно),

а лишь к двум

значе­

ниям

в

близкоотстоящие моменты

времени

%(t) и

l(t+At)

(t- фиксировано). Следовательно,

плотности

wps(i,

t),

Wps(i,

t + At) о д н о м е р н ы .

Далее,

при опре­

4

171

мом процессе. После того как на вход поступает

первый

отсчет реализации

\(Ы),

приемник

на

основе

«чисто»

априорных

данных

(5.22),

(5.23) и принятого

отсчета

вычисляет по формулам (5.35) — (5.37)

апостериорные

вероятности

wps(6,

At) и wps(\, At).

Поскольку в качест­

ве критерия

оптимальности

принят

критерий максимума

ком

уже с использованием

ранее полученной

информа­

ции

wPs(0, At) и wps(\, At),

на основе которой

формиру­

по формулам (5.35) — (5.37)

апостериорные

вероят­

ности wps(0,

2At) и WpS(ï,

2At)

сравниваются

между

собой, после

чего выносится

решение о приеме

того или

Однако нельзя полагать, что с течением

времени качест­

во фильтрации будет

непрерывно

улучшаться.

Этот

эффект имеет место лишь в начальный

(переходный)

период времени, после

которого система входит в ста­

ционарный режим, характеризуемый

постоянством

сред-