Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

щается

с

того момента,

когда

апостериорные

сведения

в силу

действия белого

шума

уже не

могут

уточнить

априорных

сведений,

выработанных

к предыдущему

Перейдем

теперь

от

рекуррентных

соотношений

(5.35) — (5.37)

к

дифференциальным

уравнениям

филь­

трации.

Преобразуем выражение (5.35). С учетом того, что

ехр(—zAt) = l—zAt+...,

пренебрегая

членами

второго

порядка малости, получаем

W p s (0, / +

Al) =

У

i j j g y l [ W p s

(0, f)

-

I

Сомножитель

соотношения

(5,45) также уп-

ростам, используя

(5.37)

и

разложение

(1 —

zAt)'1^

= l + z A * + ...

w (lm+l)

L

Ü2 (t + AQ

At-

r,N0

^

Л',

-^rwps([,t)At№(t

+

At)-l)

•

(5.46)

Подставляя (5.46)

в

(5.45),

имеем

wpe{0,t

+

M) =

wpa{0.t)(l-àÀt)-\-

+twp, (1,0 р д / - w p

s (0, t) wps

( 1, t) -àjjt \2\{t-\-M) — 1].

(5.47)

То обстоятельство,

что

ps ( i , 0 +

Œ)p ,(0,o = i .

(5.48)

dw-, (0.0

_

•atüpe (0.0 + ß[l

-wps(0,t)]

dt

No •wps(0,t)[l-wps(0,t)][2t(t)-l].

(5.49)

-а.

1

<

Wps(Q,t)

No

Реше­

>

> 3HZ

Порога

Зое уст.

ние

Которое

сравнивается

с

порогом. На

основе

еравиёния

выносится решение о приеме того или

иного

значения

x(t).

Важно

подчеркнуть,

что как вычисление

плотности

вероятности, так и сравнение в пороговом

устройстве

осуществляется

н е п р е р ы в н о

во

времени.

Благодаря

этому получаемое оценочное значение переданной реали­

зации также непрерывно во времени.

Специально отметим, что точное аналитическое

реше­

ние уравнений нелинейной фильтрации, не считая вы­

рожденного лнненногослучая

(см. § 5.4), возможно

край­

не

редко. В

частности,

известно

[6] решение

уравнения

(5.49).

Основная ценность уравнений нелинейной фильтра­

ции состоит в том, что по ним составляются схемы

опти­

мальных приемных устройств. В условиях, когда спра­

ведливо

гауссово

приближение

(см. § 5.6),

эти

урав­

нения позволяют также оценить качество фильтрации.

Физический

смысл

членов

уравнения

(5.49)

сводится

к следующему [8]. При большом

шуме извлечь

информа­

цию из реализации £(і) практически невозможно. Дейст­

вительно, при N0-+oo уравнение (5.4-9)

переходит в (5.'20),

так что первые два члена уравнения

(5.49)

выражают

изменение

апостериорной

вероятности

в

соответствии

с изменением априорных

сведений.

Если a=iß —0,

то

в

правой

части

уравнения

(5.49)

остается только третий

член

(О,

i) =

_

( 0 . t )

[

l

_

^

( 0 | {

) ] _ 1 _

{ t ) _ l

^

( 5 5

0 )

Этот случай соответствует отсутствию переходов из

нуля в единицу и наоборот, т. е. на

интервале

времени

[О,

t] передается

либо

x(t)==\,

либо

x(t)=0.

Следова­

тельно,

wp.(0,t)=w(0\Ut)),

где

Wps(0\l(t))

определяется

формулой

(5.38).

Как известно из теории оптимального

радиоприема

(см., например, [3]),

ш (0 | Ü (0) =

kwvr

(0) exp j -

-

i -

j

V (f) dt' J,

(5.51)

w(l

I б (0) =

Ät»p r

(І) exp j —

j

"

(^) — Ifdt'

J.

(5.52)

о

Ёеря

отношение

апостериорных

вероятностей

(5.51),

(5.52), приходим к алгоритму

«(оIi(0)

=

^ ѵ В

(

L

ГШ

п

-

№'

\ $

1

à

'

(5.53)

Этот же самый

результат

получается

и

из

уравнения

(5.50). Действительно, умножив (5.50)

на (1—ayp s (0, / ) ] ~ 2

и обозначив

(о, о

-Q(t),

[І-а-р, (0, О]2

вместо

(5.50)

имеем

dQ (t)

_

- О ( 0 т ^ [ 2 £ ( 0 - 1 ] .

(5.54)

d t "

Решение (5.54)

с начальным

условием

д ( 0

) = В!гЖ

ѵ

'

а>рг([)

полностью совпадает с (5.53).

Таким образом, рассмотрение частного случая a = ß =

= 0 оказалось

полезным

с двух точек зрения: во-первых,

•выяснено, что третий

член

правой

части

уравнения

(5.49)

отражает

влияние

на

апостериорную вероятность

наблюдаемых

данных,

и, во-вторых,

установлена

связь

минированного

сигнала конечной длительности.

Отметим, что несмотря на то, что в данном

случае

S(x,

t)=x(t),

уравнение (5.49) для

плотности

wps(0,t)

оказалось -нелинейным. Это обстоятельство

объясняется

иегауссовскнм

характером

процесса

x(t).

Если

x(t) —

нормальный процесс, то нелинейная фильтрация

вырож­

дается в линейную, осуществляемую

по критерию мини­

мума

среднеквадратической

ошибки

(см.

следующий

Пусть по-прежнему

S(x, t)=x(t),

однако

теперь x(t)

представляет собой разрывный марковский процесс с N

состояниями, который

рассматривался в §

2.3. Вероят-

ность

перехода

из состояния ХІ

в'состояние

х-}

{\Ф'\)

за

малое время Ы равна

Pij(t,

t+'M)=öi}+bi]M.

(5.55)

Матрица

перехода

для такого

процесса

записывается

в виде

P = (Pii(t,t + M)) =

1 +

XwAt

(\0,d^ . . .

(5.56)

На входе приемника наблюдается реализация

%(t) =

—x(it)

+n(t).

Рассмотрим

двумерный марковский про­

цесс

ll(t),

x(t)],

выражение для плотности вероятности

перехода

которого [8]

,

'

ѵ(%,

ЛЙИЙ - , .

^ f e - i ) =

( 8 f t - i . f t + A ^ f t - i , f e ) X

x / ^ r e x p f -

(5.57)

i

= S » , . ( X i . №

+ AH«)

e x p [ - ( g j - g ) 2 A / ] -

= Wps(Xj,

t) j /

^ [ l

i

12—186

177