Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

где точка сверху означает производную по времени. Прежде всего отметим, что правая и левая части дей­

ствительно являются многочленами типа а + Ьх + сх2. Это обстоятельство дает возможность, приравнивая коэффи­ циенты при одинаковых степенях х, получить дифферен­ циальные уравнения для математического ожидания m(t) и дисперсии а2(() апостериорной плотности вероят­ ности. Однако прежде чем выписать эти уравнения, обра­ тим внимание на то, что у нормального распределения мода совпадает с математическим ожиданием. Следова­ тельно, математическое ожидание в каждый момент времени совпадает с оценкой х* по критерию максималь­ ной апостериорной вероятности. Дисперсия апостериор­ ного распределения o2(t) служит оценкой качества филь­ трации. В дальнейшем параметры апостериорного рас­ пределения будут отмечаться звездочкой:

Начальными условиями для (5.71), (5.72) служат апри­ орные значения, определяемые стохастическим диффе­ ренциальным уравнением процесса х(і).

Для стационарного режима, когда a*2 (t)=0, из (5.72) можно найти среднюю дисперсию апостериорного рас-. пределения

182

•Как видно, дифференциальное уравнение (5.71) яв­

ется линейным устройством. Линейная теория Колмого­ рова— Винера (§ 5.1) и теория условных марковских процессов приводят в данном случае к одинаковым ре­ зультатам.

Действительно, если учесть, что в соответствии

с (3.87) при /—>-оо

Nx = Aaa,

жх >

то (5.73) легко представляется в виде (5.9):

s* = - f ( Х - * ) .

где у определяется выражением (5.7).

Рассмотренный вариант решения задачи фильтрации является более простым по сравнению с методом реше­ ния соответствующего уравнения Винера — Хопфа. Кро­ ме того, теория условных марковских процеосов имеет еще ряд преимуществ, состоящих в том, что с ее помощью описывается нестационарный режим фильтрации и ре­ шается задача фильтрации процессов, характеристики которых меняются во времени [6].

5.5.Уравнения фильтрации марковского

сообщения из белого шума и марковской помехи

В § 5.2—5.4 рассматривался наиболее простой случай, когда £ (t) =х (t) + п (t). Этот вариант характерен для задач автоматического управления. В радиотехнике важна задача фильтрации в общей постановке (5.1), из­ ложению которой посвящен настоящий параграф. Ниже­ следующие выкладки хотя и более громоздки, но по ха­ рактеру весьма сходны с теми, которые приводились в §§ 5.2—5.4, поэтому комментарии к ним будут менее подробными.

Итак, на вход приемника поступает реализация (5.1)

W)=S(x,t) + V(i\,t)+n(t).

Необходимо оптимальным образом отфильтровать из этой смеси сообщение x(t).

Ё такой постановке задача была впервые решена Р. Л. Стратоновичем и Ю. Г. Сосулиным [13]. Однако авторы проанализировали случай, когда х(і), r\(t)— диффузионные процессы. Подобное ограничение не яв­ ляется принципиальным, и уравнения оптимального при­ ема в такой помеховой ситуации можно получить для

Повторяя выкладки § 5.2, получаем рекуррентное соот­ ношение, подобное (5.17):

Л S Wp, (хт, Ч[т, •»)

*' В [5] приведен вывод -уравнений для случая, когда f(0 =

=S(x, о+л(0-

184

в предположении независимости процессов x(t) nr\(t) за­ пишем следующим образом:

18§

При записи (5.82) учтено, что

£ а (*1 * . ' ) = £ Мч h ' ) = Q.

*1

186